Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §

Пример. Решить уравнение x 3 x 2 x 4 3.

Решение. Применим метод интервалов для уравнений с модулями

- 2 3 4 x

Нанеся на числовую ось корни выражений, содержащихся

под знаками модулей ( x

3, x

2 и x

4 ), получим четыре

интервала, в каждом из которых каждое из этих выражений сохраняет постоянный знак (какой именно, нетрудно опреде- лить, например, используя сведения о характере монотонно- сти функций, находящихся под модулями). Схематично ука- жем эти знаки на рисунке; они помогут нам освободиться от модулей. Исходное уравнение равносильно совокупности сис- тем:

Пусть, например,

^x₀ является решением неравенства

f (х)

g(х) ,

т. е.

f (x₀ )

(5)

Тогда

g(x₀ ) 0 . Если

f x₀ 0 , то f x

, и неравенст-

во (5) принимает вид

^{f (x}₀ ^{) g(x}₀ ⁾ . (6)

Поскольку

f (x₀ )

и ^g(x₀ ^{) 0} , то

f (x₀ )

^g(x₀ ⁾ . (7)

Неравенства (6) и (7) означают, что в рассматриваемом случае ^x₀

является решением системы

Если же

^{f (x}₀ ^{) 0} , то f

и неравенство (5) прини-

мает вид

f (x₀ )

g(x₀ ) , что равносильно неравенству (7). Неравен-

ство (6) вытекает в этом случае из того, что

f (x₀ ) 0 , а

g(x₀ ) 0 .

Таким образом, утверждение (3) доказано. Аналогично доказывается утверждение (4). Теорема, безусловно, остаётся справедливой при замене повсюду знаков нестрогих неравенств и соот- ветственно знаками < и >.

Пример. Решить неравенство 2 x 1

2x 2

x 4 .

x 4,
x 2,

Решение. 2 x 1 x 4

2x 2 x 4

x 2.

Ответ: x ( ; 2) (2; ) .

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональным уравнением (неравенством) называется такое урав- нение (неравенство), в котором неизвестное содержится под знаками ра- циональных операций (сложения, вычитания, умножения, деления, возве- дения в целую степень) и извлечения корней.

Напомним определения арифметических корней различных степеней.

Для числа a корнем чётной степени ^{2n a (n}

называется

число b такое., что выполняются два условия: 1) b

Для a корень чётной степени не определяется.

0 , 2) b²ⁿ a .

Для любого действительного числа а корнем нечётной

степени ^{2 n} называется число b такое, что b^{2n 1} a .

Поэтому при решении иррациональных уравнений (неравенств) нуж- но учитывать следующее:

1. 
   Для корней чётной степени, входящих в уравнение и содержащих неизвестное под своими знаками: если подкоренное выражение отрица- тельно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно ну- лю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.
   
2. 
   Для корней нечётной степени, содержащих неизвестное под свои- ми знаками: они определены при любом действительном значении подко-