Дифференциальное уравнение (ДУ)



Дата24.03.2024
өлшемі79.5 Kb.
#496374
түріРешение
Определения ДУ


Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.
Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.
Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно



В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида   или  , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x)).
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.
Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X.
Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения  ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл.
Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения.
Функции   или   можно назвать решением дифференциального уравнения  .
Одним из решений дифференциального уравнения   является функция  . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество  . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например,  . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.


Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.
Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения   имеет вид   или  , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения   при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.
Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения  , удовлетворяющим условию y(1)=1, является  . Действительно,   и  .
Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X.
Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям  , где   - числа.
Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x0 и x1 :
f (x0) = f0 , f (x1) = f1 , где f0 и f1 - заданные числа.
Краевую задачу часто называют граничной задачей.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно имеет вид  , а коэффициенты   есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.
Если  , то уравнение   называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Когда коэффициенты   являются постоянными функциями (то есть, некоторыми числами), то соответствующие дифференциальные уравнения называют ЛОДУ с постоянными коэффициентами (если  ) или ЛНДУ с постоянными коэффициентами (при ненулевой f(x)).

Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет