Бүтін сандарда шешілетін байырғы қазақ есептері

Көктем. Жасыл жазираны жайлап отырған ауыл үстінен терістікке қарай үшбұрыш тәрізденіп бір топ қаз қаңқылдап ұшын өтеді. Қаздардың бірі қанаты қайрылып, жерге құлап түседі.

Өз тобынан қалып қойған қаз қайта ұша алмайды. Келесі күні оның үстінен үшбұрыштанып көп қаз баяу ұшып өтеді. Жаны жабырқау жалғыз қаз қанаттастарына:

- Сәлем алейкум, жүз қаз,- деп сағынышпен сәлемдеседі.

- Уәлейкум үссәлем, жалғыз қаз,- деп үн қатады қаздардың көсемі. Бірақ біз сен айтқандай, жүз емеспіз. Жүз болу үшін бізге әуелі өзіміздің санымыздай сан қос, одан соң сол қосқаныңның жартысын, одан кейін оның жартысын, ең ақырында өзіңді қос, сонда бәріміз жүз боламыз.

Көл жағасында отырған жалғыз қаз әрі-бері ойланып-толғана келіп, үстінен ұшып өткен қаздардың қанша екенін біледі.

Жаз өтіп, күз таяған шақта жалғыз қаз жайлаған көл үстінен оңтүстік жаққа бет алып бір тізбек қаз жіптей созылып өтеді.

- Сәлем алейкум, жүз қаз,- деп көлдегі жалғыз қаз оларға ебелектеп сәлем береді. Қаздардың көсемі оның сәлемін қабылдап алысымен үн қатады:

- Біз жаздай балапандап көбейдік, енді бес топ болып ұшып барамыз. Артымыздағы қаздар біздей ғана, одан кейінгісі екі есе, одан кейінгісі үш есе, ең соңғымыз төрт есе көппіз. Бәрімізге сен қосылсаң жүз боламыз.Жалғыз қаз олардың әр тобында қанша қаз бар екенін дәл есептеп табады. Мұны жалғыз қаз қалай білген.

Шешуі: Көктемде ұшқан қаздар санын табу үшін, олардың әуелгі санын деп алып, бір белгісізі бар теңдеу құрастырамыз және сол теңдеуді шешеміз.

Күздегі қаздар санын табу үшін, бірінші топтағы қаздар санын деп алып, әуелдегідей теңдеу құрастырамыз.

Жауабы: Көктемде ұшқан қаздар саны 36. Күзде ұшқан қаздардың бірінші тобы 9, екінші тобы да 9, үшінші тобы 18, төртінші тобы 27, бесінші тобы 36.

Біреу алты жылқысына күн сайын он қадақ сұлы беріп жүреді. Жем жылқысының жасына қарай бөлінеді: биеге-үш қадақ, құнандарына- екі қадақтан, ал тай басына бір қадақтан жем береді.

Мал иесі үйіне алыстан келіп, қонақ болып отырған жекжатына әңгіме арсында өзінің осы тірлігін айтып қалады.

«Сонда бие нешеу, құнан нешеу, тай нешеу болғаны?»-деп, қонақ жылқы санын іштей есептеуге көшіпті.

Шыққан теңдеулер жүйесін шешсек, , , мәндерін аламыз.

Жауабы: Мал иесінде бір бие, екі құнан, үш тай болғаны.

Бес саулық

Ауыл ақсақалдарының төрт ұлы болыпты. Олардың үшеуі өз алдына отау тігіп кеткен екен. Ақ сақалды кісі төртінші баласын үйлендіріп, оның алдына бес саулық салып беруді ойластырады.

Бір күні ол үш ұлының үйлеріне қонаққа барып, бәрінің қойы қырық бір бас екенін біліп қайтады да, оларды шақырып алып: «Әрқайсысың өздеріңдегі қойларды төртке бөліп, бөлінбей қалған қойларыңды кенже інілеріңе беріңдер»- дейді.

Үш жігіт қойларын әке айтуынша бөліп, бөлінбей қалғанын інісіне әкеліп береді.Сөйтіп кенже жігіт бес саулыққа ие болады.

• 
  Екеуіңнің қойың менікінен артық еді, енді теңесті,-дейді қой берген үш жігіттің бірі өзгелеріне. Бұл үш ағайындының қойлары алғашында қаншадан болған?
  

мұндағы болғандықтан,

1. , , .

2. , , .

Есептің шарты бойынша , сондықтан біз екінші жауапты қабылдаймыз. Демек, 12+1=13, 12+2=14, 12+2=14.

Жауабы: Үш ұлының қойларының саны, сәйкесінше, он үш, он төрт, он төрт болған.

Қалың ала боталы даламен келе жатқан аңшы бала екі інге тап болады. Топыраққа түскен ізге қарап жас аңшы екеуі де қоян іні екенін бірден біледі. Еңкейіп ін аузына кезек-кезек құлақ тосады.

Әр нәрсені білуге құмар бала әуелі бірінші інге, одан соң екіншісіне құлаштап қол сұғып, көжектерді санап шығады. Екі іннің оң жақтағысының көжектері көбірек, ал сол жақтағысынікі азырақ екен. «Енелері білер ме екен, әлде білмес пе екен?»-деп, ол көжек сандарын өзгерткісі келді.
«Көбін көбейтіңкіреп қояйын»- деп, бала сол жақтағы індегі бір көжекті оң жақтағы інге салады. Енді оң жақтағы көжектер саны сол жақтағысынан үш есе көбейіп кетеді. «Қой, мұнымды біліп қояр, одан да екі іннің көжектерін теңестіріп кетейін»-деп бала оң жақтағы інге салған көжекке тағы бір көжек қосып, сол жақтағы інге салады.

Бала үйіне келген соң, мұны шешесіне айтады.

- Бәрі қанша көжек?-деп сұрайды шешесі. -Әуелі әр інде қанша көжектен жатты екен?

Шешуі: Оң жақтағы көжектер санын деп, сол жақтағы көжектер санын арқылы белгілейік. Сонда келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл теңдеулер жүйесін шешсек, , екендігі шығады.

Жауабы: Оң жақтағы інде бес көжек, сол жақтағы інде үш көжек болған. Барлық көжектер саны сегіз.

Тазы мен түлкі

Жапан далада бір жігіт аң аулап жүреді. Ойда жоқ жерде бір шеңгел түбінен қызғылт түлкі ытқи жөнеледі. Аңшының алғыр тазысы оны бірнеше арқан бойы жерден қуып береді.

Зымырап қашқан түлкі арқан бойы жерге жеткенде, тазы оның қашқан орнына келеді. Жан сауғалап түлкі тағы сонша жерге ұзағанда тазы оны қуып жетіп, бас салады.

Аңшы ауылға келіп, достарына түлкіні қалай ұстағанын қыздырмалатып әңгімелейді. Тазысын мақтайды.

- Түлкі шеңгел түбінен бастап, ұсталғанға дейін қанша арқан бойы жерге қашты екен?-деп сұрайды достарының біреуі.

- Түлкіні қойшы, тазы қанша арқан бойы қуғанын айтсайшы,-дейді екіншісі.

- Тазы түлкіден неше есе жүйрік болды екен?-деп үшінші адам саусақтарын санайды. –Арқан бойы жердің төтелігі бар ғой, төтесін айтсайшы.

Тазы түлкіден неше есе жүйрік? Ол түлкіні неше арқан бойы жерден қуып жеткен?

теңдеулер жүйесін шешсек, , шығады.

Жауабы: Тазы түлкіден екі есе жүйрік. Ал түлкі барлығы он екі арқан бойы жерге дейін қашып барған. Олай болса, тазы түлкіні жиырма төрт арқан бойы жерге дейін қуған.
Әр түліктен нешеден?

Жеті жасар баласын есепке үйреткісі келген әкесі бір күні:

- Ендігі жеті жылда түйеміз екі есе, жылқымыз үш, сиырымыз төрт, қойымыз бес есе көбейсе, онда бәрін қосқандағы саны сенің қазіргі жасыңнан екі есе көп болады екен,- дейді.

- Ол кезде біздің үйдегі жылқының, түйенің, сиырдың, қойдың әрқайсысы қаншадан болады?-деп бала әкесіне қарайды.

- Оны білу қиын емес. Өзің-ақ табасың,- деп әке баласын ойландырып тастайды. Көп өтпей-ақ бала өз сұрағының жауабын айтады.

Бұл үйдің түйесінің, жылқысының, сиырының, қойының саны қанша?

Жауабы: Бұл үйде алғашында бір түйе, бір сиыр, бір қой, бір жылқы болған.

Біреу қасапқа жылқы соятынын көрші қолаңына хабарлайды. Белгіленген күні ол бордақысын сояды. Әр жерден ет алушылар келеді. Сойылған малды төңіректеп тұрғандарды көзімен санап шығып, ол сәл ойланып қалады:

«Бұлардың әрқайсысына бір жіліктен берсем, онда үш жілік ет артылып қалады. Екі жіліктен сатсам үш адамға ет жетпей қалады. Енді қандай амалын табамын?». Ет алуға келгендер неше адам?

Шешуі: Жілік санын деп, адам санын деп теңдеулер жүйесін құрастырайық:

Жүйенің шешімдері , болады.

Жауабы: тоғыз адам, он екі жілік.
Жерден қоян тапқандай

Бір аңшы қартайған шағында қақпанын баласыны тапсырады. –Мына үш қақпан мені қырық жыл асырады,- дейді ол ұлына.

- Бұл үшеуі сенің балаңның баласын да аш қылмайды.

- Жарайды көке, -деп бал үш қақпанды, сонша темір қазықты, әрқайсысы бір құлаш келетін темір қазықты қабылдап алады.

Бала тұтасқан қалың шеңгелдің ішіне қақпандарын құрып, бетін шөп-шаламмен жауып қайтып кетеді. Келесі күні таңертең үш қақпанның біреуіне ғана қоян түседі. Солайша, ертеңіне де бір қоян алып қайтады.

- Екі күнде әкелгенің екі қоян, жерден жеті қоян тапқандай қуанасың, балам,- дейді әке бала тіршілігіне көңілі толмай.

- Қалайша, көке, бір қақпанға екі қоян түссе де жеті қоян болмайды ғой,-дейді бала әке сөзіне таңданып.

Әкесі сол күні түнде қақпанды өзі құрып, жиырам бір қоян ұстап әкеледі. Бала қоян санын үш қақпанға бөліп, әрқайсысына жеті қояннан түскеніне аң-таң қалады.

- Олай емес... Екінші қақпанға бірінші қақпаннан екі қоян көп, ал үшіншісіне қарағанда екі қоян кем түсті,-дейді әкесі.

«Қай қақпанға қанша қояннан түсті екен?»-деп бала ойланып қалады.

Теңдеуді шешсек, шығады.

Жауабы: Бірінші қақпанға бес қоян, екіншісіне жеті қоян, үшіншісіне тоғыз қоян түскен.

Тоғыз тораудағы кездесу

Талас өзенінің төменгі бойындағы көкмайса жерге тұс-тұстан тоғыз жол келіп түйіседі. Сондықтан тоғыз жолдың торабы Тоғызторау деп аталады. Әйтеуір бір жылы сондағы құдық басына тоғыз аңшы келіп, бір-бірімен түгел қол берісіп амандасып шығады.

- Бәріміз қанша рет қол алыстық?-дейді сонда жолаушылардың бірі.

Кім білсін, ал мен өзім сегіз адаммен аманадастым, -дейді жолаушы.

Тоғыз жолаушы бір-біріне қанша рет қол берісті.

Шешуі: Бұл есепте бірінші адам сегіз адаммен амандасады. Екінші адам жеті адаммен амандаса. Сол сияқты соңғы адам ешкіммен амандаспайды. Сондықтан келесі теңдеуді шешкен жеткілікті:

Жауабы: Тоғыз жолаушы бір-біріне 36 рет қол берісті.

Ағаш уықты, киіз туырлықты, ауыл үйінің бас аяғы он жеті бас малы-жылқысы, сиыры, қойы болыпты. Үйдің ер-азамат болып қалған баласы дамыл таппай жүріп, қыстау басына мая-мая шөп жинап алады. Қыс түсіп, мал қолға қараған кезде ол анасынан әр түлікке қанша баудан шөп салайын, -деп сұрайды.

- Күн сайын әр жылқының алдына алтау, әр сиырға төртеу, қой басына екі баудан салсаң, мал қыстан қысыла қоймайды, балам.

- Жарайды апа, -деп баласы шешесінің айтқанындай етіп, бау-бау шөпті алып келеді.

- Барлық малға қанша бау шөп салдың, балам?-дейді шеше ұлына.

- Бәріне қырық сегіз бау шөп кетті,-дейді баласы. Барлық жылқыға қанша бау салсам, барылқ сиырға да сонша бау салдым, апа. Ал жылқы мен сиырды қоса есептегенде барлығына кеткен бау саны барлық қойға салынған бау санымен бірдей болады.

- Дұрыс болған екен балам,-дейді шешесі сонда, енді шөпті малдарға күнде осылай салып тұрғайсың.

Бұл үйдің неше сиыры, неше қойы, неше жылқысы болған?

Теңдеулер жүйесін шешсек, , , шығады.

Жауабы: Екі жылқысы, үш сиыры, он екі қойы болған.
Ешкілі жігіт

Ертеде бір жарлы жігіт жылдар бойы байға жалданып жүріп, ірілі-ұсақты біраз ешкі жинап алады. Бұлардың үлкен ешкілерінен тушалары екі есе, ал шыбыштыры үш есе көп болады. Жігіт қыс бойы осы ешкілерін көзінің қарашығындай сақтап, аман-есен бағып шығады. Көктемде шыбыштары –жалқы, тушалары егізден, ал үлкен ешкілері үшеннен лақ табады. Сөйті енді жарлы жігіттің барлық ешкілерінің саны алпыс төртке жетеді.

Бұл үйде ең алғашында қанша шыбыш, қанша туша, қанша ешкі болған?

Шешуі: Үлкен ешкілерін десек, тушалары , ал шыбыштары болады. Енді теңдеу құрастырайық:

Теңдеудің шешімі .

Жауабы: төрт ешкі, сегіз туша, он екі шыбыш.
Табақ тарту

Тәттібек дейтін меймандас адам екен. Бір күні оның үйіне бір топ қонақ келеді. Үй иесі оларды жылы шыраймен қабылдап, төріне шығарады. Дастарқан жайылады. Шайдан кейін қазанға ет салынады.

Тамақ пісіп, табақ тартылар шақта үй иесі меймандарын көзбен шолып шығады да, сәл ойланып қалады. Ошақ басында жүрген жұбайына келіп:

- Екеуара бір табақ тартсақ, онда бір табақ ет жетпей қалады, үшеуара бір табақ тартсақ, онда бір табақ ет артылып қалады, енді не істесек екен?-дейді.

Бұл үйдің меймандары қанша? Үйде бар табақ саны қанша?

Шешуі: Табақ санын десек, адам санын деп белгілеп, теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Бұл жүйеден , шығады.

Жауабы: Қонақ саны он екі, табақ саны бесеу.
Асық саны

Үш бала ойыннан кейін қайтып келе жатады.

- Үшеумізде он-оннан асық бар еді ғой. Енді кімде қанша асық қалды?-деп сұрайды бойшаңдау бала серіктерінен.

- Онша көп ұтқыза қойған жоқпын,-деп ең кіші бала екі қалтасына қолын сұғады. Оң қалтамдағы асықтың біреуін сол қалтама салсам, онда екі қалтамдағы асық теңеледі. Ал егер сол қалтамдағы асықтың біреуін оң қалтама ауыстырсам, онда оң қалтамдағы асық саны сол қалтамдағыдан үш есе көп болады.

- Онда сендегі барлық асық менің ұтып алған асығыммен тең екен, -дейді балалардың үлкені.

- Ең көп ұтылған мен болдым,-дейді сонда ортаншы бала үлкеніне, менде қалған асық саны сенің барлық ұтып алғаныңның жартысындай екен.

Ойыннан кейін қай балада қанша асық қалды?

Шешуі: Кіші баланың оң қалтасындағы асық санын , сол қалтасындағы асық санын деп, теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Осы жүйені шешсек, шығады. Кіші балада барлығы сегіз асық қалды. Үлкенінің ұтып алған асықтар саны сегіз, оған алдыңғы он асығын қоссақ, он сегіз болады.

Жауабы: Үлкенінде он сегіз асық, кішісінде сегіз асық, ортаншысында төрт асық қалады.
Қап-қап бидай

Егіні бітік болып, қырманы қызылға толған диқан барлық бидайын есік алдындағы тақырға түсіріп алады да, оның біразын екі ұраға тең бөліп көмуді ойлайды.

Диқан бірінен бірі үш пұт артық сыятын үш қап дайындайды да, оның ең кішісін қызыны, орташа қапты ұлына береді. Өзі үлкен қапты алады. Сөйтіп үшеуі есік алдындағы тақырда жатқан таза да құрғақ бидайды ұраға құюға кіріседі. Әке екі ұраның біреуін иемденеді де, ұлы мен қызын тап осындай екінші ұраға жібереді.

Өзара бәсекеге түскен үшеуі бірінен-бірі қалыспай өз ұрасына қапшығымен он реттен астық тасығанда екі ұра да толады. Бұдан кейін әкесі ұраға сабан шаншып, бетін топырақпен жұқалап көмеді. Мұнысы астық қызып кетпеу үшін істеген қамы еді.

Бұлардың әрқайсысының қабы неше пұттық? Қай ұраға қанша пұт астық құйылған және әркім қанша пұт астық тасып төккен?

Шешуі: Ең кіші қапқа пұт сыяды деп алайық. Сонда бір белгісізі бар теңдеу шығады:

Бұдан екенін көріп тұрмыз. Қаптар бір пұттық, ек іпұттық, үш пұттық екенін таптық. Әр ұраға отыз пұт астық тасылған.

Жауабы: Әкесі отыз пұт, ұлы жиырма пұт, қызы он пұт тасыған.
Ат пен қашыр

Ескілікті есептердің бірі мынандай болып келеді.

Ауыр жүк артылған ат пен қашыр қара жол үстінде қатар келе жатады. Үстіне артылған жүгінің шамадан тыс ауыр екенін айтып, ат қатты налиды

- Сен несіне ренжіп келесің? –дейді оған қашыр.

- Егер сенің үстіңдегі бір қапты менің арқама артса, онда менің жүгім сенікінен екі есе ауыр болып кетер еді.

- Ал егер мен сенің үстіңдегі бір қапты алсам ше?- деп сұрайды ат.

- Онда екеуміздікі тепе-тең шығар еді,-дейді қашыр.

Айтыңдаршы, данышпандар, ат үстінде және қашыр үстінде қанша қаптан жүк болды?

Жүйені шешсек , шығады.

Жауабы: Ат үстінде бес қап, қашырда жеті қап.
Қорытынды.

Жалпы айтқанда оқу үрдісінде бүтін сандар жиынында теңдеулерді шығарудың әдіс – тәсілдерін пайдалану, оларды терең зерттеу сабақтың сапасын арттырады. Сондай – ақ оқушылардың белсенділігі мен ой - өрісін дамытуға септігін тигізеді және олардың пәнге, техникалық ғылымға деген қызығушылығын арттырады. Ең негізі оқушылар бағдарламадан тыс мағлұматтар алып, білім сапасын арттырады.

Қазіргі таңда жоғары білім беру үздіксіз білім алуға дайын, өзінің сана сезімін жан – жақты жетілдіріп, кәсіби қорын толықтыруға қабілетті, қоғам дамуындағы нарықтық қатынастың құбылмалы саясатына тез бейімделетін шығармашыл, еңбекқор жастарды тәрбиелеп, білімді де білікті мамандар дайындауды мақсат тұтады. Сол себепті, жастардың білім алуы үшін барлық жағдай жасалған және дүниежүзілік олимпиадаларға шығуға жол ашық. Соңғы кезде математикалық олимпиадаларға, ғылыми жобаларды қорғауға көп көңіл бөлінуде. Жыл бойы әр – түрлі халықаралық дәрежедегі математикалық сайыстар өткізіледі, атап айтсақ, “Жібек – жолы”, “Кенгуру”, “Ақбота” және т.б. Бұл сайыстарға қатысу үшін оқушылардың дайындық дәрежелері өте жоғары деңгейде болуы шарт.

Сонымен қатар қазіргі мектеп математикасындағы оқыту үрдісінің нәтижесін жоғарылату бағытында оқушылардың алған білімдерін практикада өздігімен орындауға үйрету керек.

1. 
   Баймұханов Б. және т.б. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 7 – сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2003.
   
2. 
   Алдамұратова Т. А. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 5 – сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2001.
   
3. 
   Шыныбеков Ә. Н. Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8 – сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2004.
   
4. 
   Никифорович В. А. В мире уравнений. – Москва: Наука, 1987.
   
5. 
   Моралишвили Т. Д. Современные поблемы методики преподавания математики. – М.: Просвещение, 1985.
   
6. 
   Гельфонд А. О. Популярные лекций по атематике. – Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983.
   
7. 
   Көбесов А. Математика тарихы. – Алматы: Кітап, 1993.
   
8. 
   Қырық қазына. Қазақ халқының ауызша есептері. Алматы: Мектеп, 1987.
   
9. 
   Асқарова А. Теңдеулер, теңсіздіктер және олардың системалары. – Алматы: Рауан, 1992.
   
10. 
    Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. – Москва: Наука, 1988.
    
11. 
    Коягин С. Д., Тоноян Г. А., Шарыгин И. Ф., Копылов И. А. И др. Зарубежные математические олимпиады. – М.: Наука, 1987.
    
12. 
    Ли В. А., Егизбаев С. Е. Математические олимпиады в Казахстане. – Алматы: Рауан, 1993.
    
13. 
    Симонов А. Я и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.
    
14. 
    Куланин Е. Д., Норин В. П., Федин С. Н., Шевченко Ю. А. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
    
15. 
    Лурье М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений. – М: наука, 1990.
    
16. 
    Олехник С. Н. И др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. – М.: МГУ, 1991.
    
17. 
    Пойа Д. Как решать задачу. Вып.І. – Львов: Квантор, 1991.
    
18. 
    Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей. – Москва: Просвещение, 1982.
    
19. 
    Журнал “Математика в школе” отдел задачи за 1986 – 2004 годы.
    
20. 
    Қалиев С. Республикалық математика олимпиадалары есептерінің жинағы. – Алматы: Мектеп, 1982.