Дискреттік кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары
жүктеу/скачать 177.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық күтімі
Анықтама: Егер Х кездейсоқ шамасының үлестірім кестесі
түрінде берілсе және рк=Р(Х=хк)=Скаркqn-к; р>0, q=i-р болса, Х кездейсоқ шамасын Бернулли заңы бойынша үлестірімді деп атайды. Бернулли заңына А оқиғасының бір-біріне тәуелсіз жүргізілген тәжірибелердегі пайда болу саны бағынады, мұнда n – тәжірибе саны, р=Р(А), q = Р(Ā)=1-р, Скn – терулер саны. Мысал: Атқыш нысанаға үш рет оқ атқан. Оның әрбір атқанда нысанаға тигізу ықтималдылығы – 0,8 және әрбір тигізгенде бес ұпай алады. Атқыштың жинаған ұпай санының үлестірім кестесін жасаңдар. Шешуі: Х- атқыштың жинаған ұпайлар саны. Оның қабылдайтын мәндері: 0, 5, 10, 15. Атқыш нысанаға тигізеді не тигізбейді. Демек, бұл тәжірибе Бернулли схемасына жатады. Ықтималдықдықтарды есептелік: Р0=Р(Х=0)= С30·(0,8)0·(0,2)3= 0,008. Р1=Р(Х=5)= С13·(0,8)1·(0,2)2= 0,096. Р2=Р(Х=10)= С23·(0,8)2·(0,2)1= 0,384. Р3=Р(Х=15)= С33·(0,8)3·(0,2)0= 0,512. Сонымен, Х-тің үлестірім кестесі мынадай:
Егер р0, р1, р2, р3 сандарын қоссақ, ол 1-ге тең болады. Жалпы алғанда, Бернулли үлестіріміндегі барлық ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең болады: Анықтама. Егер Х кездейсоқ шамасының үлестірім кестесі мына түтде берілсе:
Мұндағы онда Х кездейсоқ шамасы Пуассон заңы бойынша үлестірімді деп аталады. Дискреттік кездейсоқ шаманың математикалық күтімі Айталық Х кездейсоқ шамасының үлестірім кестесі берілген болсын:
Сонда Х кездейсоқ шамасының матеметикалық күтімі деп, х1р1+ х2р2+ ... хnрn қосындысын айтады. Математикалық күтімді М(Х) таңбасымен белгілейді. Ал, егер Х-тің үлестірім кестесі
Болса, онда математикалық күтімі қатарының қосындысы болады. Бұл жерде және бұдан былай да қатарды абсолютті жинақты деп түсінеміз, яғни қатары жинақты. Сонымен, дискреттік кездейсоқ шаманың матеметикалық күтімі дегеніміз, Х кездейсоқ шамасының мәндерін оның сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысы. Матеметикалық күтімін былай жазуға болады: немесе
Бұл анықтамалар Х шамасының шекті немесе шексіз мәндер қабылдауына байланысты. Теорема. Матеметикалық күтімі Х кездейсоқ шамасы қабылдайтын мәндерінің жуықтап алғандағы орта мәніне тең болады. Осыған орай, матеметикалық күтімді кейде кездейсоқ шаманың орта мәні деп те атайды. Мысал: Бернулли заңы бойынша үлестірімді кездейсоқ шаманың матеметикалық күтімін есептеу. Бұл үлестірімнің анықтамасынан және де Ньютон биномының формуласын пайдаланып табамыз: Сөйтіп, Бернулли үлестірімі бар кездейсоқ шама үшін М(Х)=nр (20) Мысал: Пуассон заңы бойынша үлестірімді кездейсоқ шаманың матеметикалық күтімін есептеу. Бұл үлестірім анықтамасы бойынша және де ех функциясының қатарға жіктеуін пайдаланып табамыз: Сөйтіп, Пуассон үлестірімі бар кездейсоқ шама үшін М(Х)=λ (21) (20) және (21) формулалар Бернулли және Пуассон заңдарына қатынасын параметрлердің не екендігін айқындайды. Матеметикалық күтімнің физикалық мағынасы – дененің ауырлық ортасының координаттары, өйткені ауырлық орталығы координаттары элементарлық массалар бойынша Болатындығы белгілі. Матеметикалық күтімді білудің зор маңызы бар. Мысалы: Айталық, А телефон станциясы көрші В станциясымен 2000 абонент қосу керек болсын. Сонда А-дан В-ға 2000 бірдей линия жүргізудің қажеттігі жоқ, ол өте қымбатқа түскен болар еді. Айталық, ең қызу уақытта абонентке бір сағат ішінде 2 минутқа линия керек болсын. Сонда әр абоненттің телефон соғу ықтималдығы 2/60=1/30-ге тең. Телефон соғу санын Пуассон заңы бойынша үлестірімді деп алуға болады: n = 2000 үлкен сан, р = 0,033 аз сан (2) формула бойынша М(Х)=λ, λ≈nр≈66. Сөйтіп, А-дан В телефон станциясына қарай бір сағатта орта есеппен 67 шақыру түседі деп есептеуге болады. Матеметикалық күтімнің мынадай қасиеттері бар: Тұрақтының (кездейсоқ шама болмайтын шамаларды тұрақты деп атайды) матеметикалық күтімі өзіне тең, яғни С тұрақты болса, онда М(С) =С. Тұрақты көбейткішті матеметикалық күтімнің таңбасының алдына көбейткіш ретінде шығаруға болады, яғни М(СХ) = СМ(Х). Қосындының күтімі матеметикалық күтімдердің қосындысына тең, яғни М(Х+У) = М(Х)+М(У). Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда көбейтінің күтімі көбейіткіштердің күтімдерінің көбейтіндісіне тең, яғни М(ХУ) = М(Х)·М(У). Кездейсоқ шамалардың тәуелсідік ұғымы былай анықталады. Анықтама. Егер Х пен кездейсоқ шамалардың біреуінің үлестірім заңы екіншісінің қандай мәндер қабылдауына байланыссыз болса, онда мұндай кездейсоқ шамаларды тәуелсіз деп атайды. Мысалы: Тәуелсіз Х және У кездейсоқ шамалары өздерінің үлестірім кестелері бойынша берілген:
Мына кездейсоқ шамалардың матеметикалық күтімін табу керек: а) Z = X+Y; ә) Z =X; б) Z = 3X – 2Y+1. Шешуі: Алдымен Х және У шамаларының күтімдерін табалық. М(Х) = 1· 0,2+ 2· 0,5+ 3· 0,3=0,2+1+0,9=2,1. М(У) = 0,1 · 0,6 + 0,3 · 0,4 = 0,06+0,12 =0,18. Енді матеметикалық күтімнің қасиеттерін пайдаланамыз: а) М(Z) = М(Х+ У) = М(Х)+М(У) =2,1 -0,18 =2,28. ә) М(Z) = М(ХУ) = М(Х)·М(У) = 2,1 · 0,18 = 0,378. б) М(Z) = М(3X – 2Y+1) = 3М(Х)-2М(У)+1=6,3 – 0,36 + 1= 6,74. жүктеу/скачать 177.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|