ДЩрістіЈ ›ыс›аша тезистері


§ векторлардыЈ арасында“ы µ § б±рышты



бет3/6
Дата25.02.2016
өлшемі4.79 Mb.
#21895
1   2   3   4   5   6

На›ты евклид кеЈістігінде берілген екі µ § векторлардыЈ арасында“ы µ § б±рышты

µ § (4.5)
формуламен аны›тау“а болады.

Егер µ § теЈсіздігін ескерсек, онда (4.5) формуладан Коши теЈсіздігін аламыз.

Теорема. Егер берілген µ § векторын кез келген на›ты сан“а кйбейтсек, онда µ §х вектордыЈ ±зынды“ы µ § берілген x вектордыЈ ±зынды“ы µ § мен µ § саныныЈ модулініЈ кйбейтіндісіне теЈ: µ §

ДЩлелдеуі.НорманыЈ аны›тамасын ескерсек, онда

µ § Теорема дЩлелденді.

в) Ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі жЩне оныЈ ›асиеттері.

Аны›тама. Егер евклид R кеЈістігіндегі

µ § (4.6)

векторлар жЇйесіне

µ §


теЈдіктері орындалса, онда (4.6) векторларды ортонормалдан“ан векторлар дейміз, егер (4.7) теЈдіктердіЈ тек бірінші теЈдіктері “ана орындалса, онда оны ортогоналды векторлар деп атаймыз.

Теорема. Нйлдік вектор кез келген вектор“а ортогонал: (х, 0) = 0, µ §.

ДЩлелдеуі. Кез келген уµ § вектор“а (х, у) = 0 теЈдеуі орындалсын делік. ДЩлелдеу керек х=0. у = х бол“анда (х, х)=0. Б±дан х = 0. Теорема дЩлелденді.

Теорема (Пифагор). Егер х, у векторлары ортогонал болса: (х, у) = 0, онда

µ §

ДЩлелдеуі. Егер (х, у)=0 болса, онда (4.5) формуладан соsµ § = 0, я“ни µ § Ендеше х, у векторлары бір-біріне перпендикуляр: хµ §у. Олай болса, µ § тік б±рышты Їшб±рыштыЈ катеттері, µ §оныЈ гипотенузасы ретінде ›арастырылады. НорманыЈ аны›тамасы бойынша:



µ §
Теорема дЩлелденді.

Теорема. Ортонормалдан“ан µ § векторлар жЇйесі сызы›ты тЩуелсіз.

ДЩлелдеуі. Берілген векторлардыЈ сызы›ты тЩуелсіз екенін дЩлелдеу Їшін

µ § (4.8)

теЈдеуді ›арастырып, оныЈ тек µ § бол“анда “ана орындалатынын дЩлелдесек жеткілікті. Ол Їшін (4.8) теЈдеудіЈ екі жа“ында lµ § векторына скаляр кйбейтелік, я“ни: µ § µ §

Осыдан µ § µ §

i-діЈ біртіндеп 1,2,...,n мЩндерін ›абылда“анын жЩне µ § ортонормалдан“ан векторлар екенін ескерсек, онда µ §. Теорема дЩлелденді.

Теорема. Егер евклид R кеЈістігіндегі µ § µ § µ §сызы›ты тЩуелсіз векторлар жЇйесі болса, онда о“ан сызы›ты тЩуелді µ § ортогоналды векторлар жЇйесі мына тймендегі

µ § µ § µ § (4.9)

формулалармен йрнектеледі, м±нда“ы

µ § µ § (4.10)

ДЩлелдеуі. Теореманы индукция Щдісімен дЩлелдейміз. Іздеп отыр“ан µ § векторын берілген µ §вектор“а теЈ деп аламыз: µ § ал µ § векторды

µ § (4.11)

теЈдеуінен аны›таймыз, м±нда“ы µ § белгісіз т±ра›ты коэффициент. Егер µ § болса, онда µ § векторлары сызы›ты тЩуелді, ал б±л теореманыЈ шартына ›арама ›айшы, себебі µ § сызы›ты тЩуелсіз. Сонды›тан, µ § . Белгісіз µ § коэффициентті табу Їшін (4.11) тендікті µ § векторына скаляр кйбейтеміз: µ §

Іздеп отыр“ан µ § вектор белгілі µ § векторына ортогонал болу керек:

µ §= 0. Онда

µ §µ §

Сонымен, (4.9), (4.10) формулалардыЈ i = 2 ,j=1 теЈ жа“дайлары дЩлелденді.



µ § ортогонал векторларын (4.9)-дан, оныЈ µ § коэффициенттерін (4.10) формуламен йрнектелетіндей етіп µ §µ § векторын ізделік. Ол ек векторды

µ § (4.12)

теЈдігінсн аны›таймыз, м±нда“ы µ § белгісіз т±ра›ты коэффициенттер. Егер µ §, онда µ §векторлары сызы›ты тЩуелді, ал ол теореманыЈ шартына ›арама ›айшы. Ендеше, µ §. Белгісіз µ §,т±ра›ты коэффициенттерді табу Їшін, (4.12) теЈдеуді µ §векторларына біртіндеп скаляр кебейтіп жЩне µ § ортогонал векторлар екенін ескеріп, белгісіз µ § коэффициенттері (4.10), µ §формулалардан аны›талатынын дЩлелдейміз. Теорема дЩлелденді.

Жо“арыда“ы теореманы дЩлелдеу Щдісін, я“ни берілген сызы›ты тЩуелсіз векторлар жЇйесінен ортогоналды векторлар жЇйесін ›±ру Щдісі, ортогонализациялау тЩсілі деп аталады.

Теорема. Егер евклид кеЈістігіндегі µ § ортогоналды векторлар жЇйесі болса, онда о“ан сызы›ты тЩуелді µ § ортонормалдан“ан векторлар жЇйесін мына тймендегі

µ § (4.13) (4.13)

формулалармен йрнектеуге болады.

ДЩлелдеуі. Теореманы дЩлелдеу Їшін (4.13) формулалармен йрнектелген µ §ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі екенін дЩлелдесек жеткілікті. Шынында да, егер µ § болса, онда: µ §


ал егер i= j болса, онда µ §

Теорема дЩлелденді.

Теорема. Кез келген п йлшемді евклид R кеЈістігінде п вектордан ›±рыл“ан ортонормалдан“ан базис бар.

ДЩлелдеуі. µ § векторлар жЇйесі евклид R кеЈістігініЈ базисі болсын делік. Сонды›тан, 4.7-теорема бойынша µ § векторларына сызы›ты тЩуелді µ § ортогонал векторлар жЇйесін ›±рамыз: µ § Енді 4.8-теореманы пайдаланып, µ § векторларына сызы›ты тЩуелді µ §, ортонормалдан“ан вектор жЇйесін ›±рамыз, ал ол жЇйе 4.6-теорема бойынша сызы›ты тЩуелсіз, я“ни µ § евклид R кеЈістігініЈ ортонормалды базисі. Теорема дЩлелденді.

Мысал. [-1,1] сегментте аны›тал“ан дЩрежесі Їштен аспайтын кйпмЇшеліктер кеЈістігіндегі ортогонал базисті табалы›.

Ортогонал базисті табу Їшін µ § µ § µ § µ § элементтерін базис ретінде ›арастыралы›. Енді 1,µ § элементтеріне сызы›ты тЩуелді µ § ортогонал базис ізделік. (4.9) формула бойынша: µ § µ §

М±нда“ы µ §.

Сонымен, µ §

(.9) формуладан µ §

м±нда“ы µ §

Сонымен, µ §

ЕЈ соЈында (4.9) формуладан:

µ §

м±нда“ы µ §



µ §

Сонымен, µ §

г) Ортонормалдан“ан базисте координаттарымен йрнектелген екі вектордыЈ скаляр кйбейтіндісі

Теорема. Евклид Rп кеЈістігіндегі кез келген екі вектордыЈ µ § µ § скаляр кйбейтіндісі

µ § (1)

формуламен йрнектелу Їшін, оныЈ µ § базисі ортонормалдан“ан болуы ›ажетті Щрі жеткілікті.



љажеттілігі. (4.14) формула орындалсын деп, µ § базис ортонормалдан“ан болуын дЩлелдейік. х пен у векторларын берілген базисте жіктелік: µ § µ §
(4.14) формуладан

µ §СоЈ“ы теЈдіктіЈ орындалуы Їшін евклид µ § кеЈістіктіЈ базисі ортонормалдан“ан болуы жеткілікті: µ §

Жеткіліктігі. Евклид µ § кеЈістігініЈ µ § базисі ортонормалдан“ан болсын деп ±й“арып, (1) формуланы дЩлелделік. Ол Їшін х пен у векторларыныд скаляр кйбейтіндісін ›арастырамыз:

µ §


Теорема дЩлелденді.

Теорема. Евклид µ § кеЈістігіндегі µ §ортонормалдан“ан базисте µ § вектордыЈ координаттары µ §:

µ § µ § (4.15)

формуламен йрнектеледі.

ДЩлелдеуі. Берілген µ § векторды µ §базис бойынша жіктейік:

µ §


Осы жіктеудіЈ екі жа“ында µ § векторына скаляр кйбейтсек жЩне µ §ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі екенін ескерсек, онда

µ §
Теорема дЩлелденді.

Аны›тама. Егер кез келгенµ § векторы кез келген µ § векторына ортогонал болса, я“ни (х, у) = 0, онда евклид R кеЈістігініЈ екі ішкі µ § менµ § кеЈістіктерін: µ § µ § йзара ортогонал деп атаймыз, я“ни µ §

Теорема. Евклид R кеЈістігініЈ ішкі µ § мен µ § кеЈістіктегі бір-бірімен ортогонал болу Їшін, я“ни µ § кеЈістігініЈ барлы› базистері µ §кеЈістігініЈ барлы› базистеріне ортогонал болуы ›ажетті Щрі жеткілікті.

љажеттілігі:

µ § мен µ § кеЈістіктері йзара ортогонал болсын деп ±й“арайы›, я“ни µ § Онда аны›тама бойынша µ § кеЈістігініЈ барлы› базистері µ § кеЈістігініЈ барлы› базистеріне ортогонал болады.

Жеткіліктілігі:

µ § векторлар жЇйесі µ § кеЈістігініЈ базисі, ал µ § кеЈістгініЈ базисі болсын жЩне µ § µ § µ § теЈдіктері орындалсын деп есептелік. Енді кез келген µ § µ § векторлардыЈ сЩйкес базистерде жіктеулерін


µ § µ §
алып, олардыЈ скаляр кебейтіндісін ›арастыралы›. Онда

µ §


я“ни кез келген µ § µ § векторлары ортогонал немесе µ § Теорема дЩлелденді.

Теорема. Егер евклид µ § кеЈістігініЈ екі ішкі µ § мен µ § кеЈістіктері йзара ортогонал болса: µ § онда олардыЈ ›иылысуы нйл вектор болады: µ §

ДЩлелдеуі. Кез келген х вектор µ § кеЈістігініЈ элементі болсын деп ±й“аралы›, я“ни µ § Онда µ § µ § жЩне (х, х) = 0. Б±дан х = 0. Теорема дЩлелденді.

Айталы›, евклид R кеЈістігініЈ кез келген ішкі µ § кеЈістігі берілсін: µ § ал µ § оныЈ ортонормалдан“ан базисі болсын делік. Енді ол базисті евклид µ § кеЈістігініЈ ортонормалдан“ан базисіне дейін толы›тыралы›, я“ни µ § м±нда“ы п ЎЄ diт R, k = dimµ §. µ § векторлар жЇйесі евклид R кеЈістігініЈ йлшемі (n - k)-“а теЈ ішкі µ § кеЈістігін ›±растырады, я“ни µ § µ §


Теорема. Егер кез келген µ § вектор ішкі µ § кеЈістігініЈ кез келген векторына ортогонал болса: µ § , онда х ішкі µ § кеЈістігініЈ векторы: µ §

ДЩлелдеуі. ТеореманыЈ шарты бойынша µ § жЩне µ §, я“ни µ §, µ §

Енді х вектордыЈ жіктелуініЈ екі жа“ында µ § µ § векторларына біртіндеп скаляр кйбейтелік:

µ §
Егер µ § ортонормалдан“ан векторлар жЩне µ § екенін ескерсек, онда

µ § µ §

Демек, х вектордыЈ жіктелуі мына тЇрде жазылады:



µ §

Б±дан, µ § . Теорема дЩлелденді.


Аны›тама. Егер µ § векторлар жиыны ішкі µ § кеЈістігініЈ кез келген векторына ортогонал болса, онда ондай µ § векторлар жиынын µ § ішкі µ § кеЈістігініЈ ортогонал толы›тауышы деп атаймыз, ал ол ішкі µ § кеЈістікті µ § символымен белгілейміз µ § м±нда“ы µ § ЎЄ пернендикуляр таЈбасы.
Теорема. Егер µ § жЩне dіт µ §=k, dіт µ § онда µ § немесе dіт µ §+dim µ §.

ДЩлелдеуі. µ § векторлар жиыны ішкі µ § кеЈістігініЈ базисі, ал µ § на›ты сандар жиыны µ § вектордыЈ координаттары болсын деп ±й“аралы›:

µ § µ §

µ § векторлар жиыны евклид R кеЈістігініЈ ортонормалдан“ан базисі болсын (4.9-теорема). Онда:



µ § µ § µ § (4.16)
м±нда“ы µ § берілген µ § вектордыЈ координаттары.

Берілген вектор µ § ішкі µ § кеЈістігініЈ элементі болу Їшін, я“ни µ §,

µ § (4.17)

теЈдіктердіЈ орындалуы ›ажетті Щрі жеткілікті (4.12-теорема). Енді (4.16) формулаларды (4.17) теЈдіктерге ›ойып, жЩне µ § ортонормалдан“ан векторлар екенін ескерсек, онда


µ § (4.18)

м±нда“ы µ § вектор х-тіЈ координаттары. Б±л (4.18) біртекті сызы›ты теЈдеулер жЇйеніЈ матрицасыныЈ рангісі k. Сонды›тан, (4.18) жЇйеніЈ (n - k) сызы›ты тЩуелсіз шешімі бар. Олай болса, µ §. Теорема дЩлелденді.

Жо“арыда“ы теоремаларды ескеріп, мына тймендегі т±жырым“а келеміз.
е) Евклид кеЈістіктерініЈ изоморфтылы“ы.

Аны›тама. Егер екі евклид R мен R' кеЈістіктерініЈ элементтері (векторлары) арасында бір мЩнді сЩйкестік аны›талып: µ § µ § µ § тймендегі шарттар орындалса, онда олар изоморфты болады. Б±л жа“дайда:

1) егер R кеЈістігініЈ х, у элементтеріне R' кеЈістігініЈ µ § элементтері сЩйкес келсе: µ § онда µ § элементіне µ § элементі сЩйкес келеді,

2) егер µ § онда µ § м±нда“ы µ § ЎЄ кез келген на›ты сан,

3) егер µ § онда µ § Сонымен, олар сызы›ты кеЈістіктер ретінде изоморфты болса жЩне олардыЈ екі сЩйкес элементтерініЈ (векторларыныЈ) скаляр кйбейтінділері йзара теЈ болса, онда екі Евклид R мен R' кеЈістіктері изоморфты болады.

Теорема. Бірдей йлшемді барлы› евклид кеЈістіктері йзара изоморфты.

ДЩлелдеуі. Теормеманы дЩлелдеу Їшін барлы› п-йлшемді евклид кеЈістіктері арнаулы алын“ан бір n-йлшемді евклид кеЈістігіне изоморфты болатынын дЩлелдесек жеткілікті. Б±л арнаулы n-йлшемді евклид R' кеЈістігі ретінде 4.1-та›ырыпта“ы 2-мысалды ›арастырайы›, я“ни онда х' вектор кез келген п на›ты µ § сандарыныЈ жиыны: µ §ал µ § векторларыныЈ скаляр кйбейтіндісі (4.2) формуламен йрнектеледі, я“ни

µ §


п-йлшемді евклид R кеЈістігін ›арастыралы›, ал µ § векторлар жЇйесі оныЈ ортонормалды базисі болсын деп ±й“аралы›. µ § вектор“а на›ты µ § сандар жиынын, я“ни µ § векторын сЩйкестендірейік. Б±л келтірілген сЩйкестік бір мЩнді. Енді оныЈ изоморфты екенін дЩлелдейік. Ол Їшін аны›тамада“ы Їш шартты тексерсек жеткілікті. Бірінші мен екінші шарттар орындалады. ®шінші шартты тексерелік. µ § мен µ § векторларыныЈ скаляр кйбейтіндісі 4.10-теорема бойынша мына формуламен йрнектеледі:

µ §


ал µ § пен µ § векторлардыЈ скаляр кйбейтіндісі 4.1-та›ырыпташ 2-мысал бойынша (4.2) формуламен йрнектеледі:

µ §


Сонымен, µ § Теорема дЩлелденді.
Шдебиеті: [1], [3], [4].
ДЩріс 14-15.

Та›ырып: Жазы›ты›та“ы тЇзу.

Ма›саты: Студенттерге аналитикалы› геометрия ±“ымдарымен, соныЈ ішінде жазы›ты›та“ы сызы› теЈдеулерін беру, олар“а ›олданылатын амалдарды Їйрету. Жазы›ты›та“ы тЇзу Ї“ымы, оныЈ берілу тЩсілдерін ›арастыру.

љарастыратын с±ра›тар:

ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі.

Екі тЇзудіЈ арасында“ы б±рыш.

ТЇзудіЈ б±рышты› коэффицент ар›ылы берілу жолы.

ТЇзудіЈ б±рышты› коэффициентпен берілген теЈдеуі.

ТЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі.

ТЇзудіЈ нормальды› теЈдеуі.

ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі.

ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуін нормалды› тЇрге келтіру.


Бір (а) тЇзуі ордината осініЈ бойынан в кесіндісін ›иып йтсін, абцисса осініЈ оЈ ба“ытымен а б±рыш жасасын. Осы тЇзудіЈ теЈдеуін табайы›. ТЇзу сызы›ты координаталар системасында берілген шартына сЩйкес жЇргізіп, оныЈ бойынан еркімізше бір М нЇктесін алайы›.

Осы М нЇктесінен обцисса осіне МД перпендикулярын жЇргізіп, осы оске парраллель ЕГ сызы“ын жЇргіземіз.

ЕМГ тік б±рышты ±шб±рышынан:

µ § µ §


µ §б±рышы белгілі болса, µ § да табылады, оны былайша белгілейік: µ § Б±л тангенсті немесе к-ны тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенті деп атайды.

Жо“арыда“ы теЈдік енді былай жазылады: µ §

Б±дан ізделінді теЈдеуді табамыз:

µ § (1)


м±нда“ы х пен у айнымалы шамалар, в мен к т±ра›ты шамалар. (1) теЈдеуді тЇзудіЈ бойында барлы› нЇктелердіЈ координаталары ›ана“аттандырады. Б±л (1) теЈдеу тЇзудіЈ б±рышты› коэффициентімен берілген теЈдеуі деп аталады. Егер тЇзу координаталар бас нЇктесінен йтсе, Онда теЈдеу мына тЇрде болады:

µ §


ТЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі.

ТЇзу бас нЇктеден йтпей, координаталар остерін ›иып йтсін .Сонда ОВ=а6 ОД=в В(а;0)6 Д(0;в) болады.Осы тЇзудіЈ теЈдеуін табайы›. ЕсептіЈ шартына сЩйкес берілген кесінділерді белгілеп, тЇзуді жЇргізеік. ТЇзудіЈ бойынан еркімізше бір М(х;у) нЇктесін алып, сол нЇктеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын тЇсірейік. ОВ=а, ВЕ=а-х, ОД=х, ЕМ=у ОДВ жЩне ЕМВ Їшб±рышыныЈ ±›састы“ынан:µ § Осыдан іздеген тЇзудіЈ теЈдеуіЈ табайы›:

µ §

µ § (2)


м±нда а мен в берілген кесінділер, х пен у бойында“ы кез келген нЇктеніЈ координаталары. Осы теЈдеуді (2) тЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі деп атайды.

Мысал: Обцисса осінен 3-ке теЈ жЩне ордината осінен 4-ке теЈ кесі,нділерді ›иятын тЇзудіЈ теЈдеуін табу керек.

Шешуі: Берілген кесінділер: а=3; в=4. Сонда (2) формула бойынша тЇзудіЈ теЈдеуі мынандай болады: µ §.

ТЇзудіЈ нормалды› теЈдеуі.

КоординаталардыЈ ьбас нЇктесінен бір (а) тЇзуіне жЇргізілген перпендикуляр обцисса осініЈ оЈ ба“ытымен а б±рыш жасайды. Б±л перпендикулярдыЈ ±зынды“ы р болсын Осы (а) тЇзуініЈ теЈдеуін іздейік. (а) тЇзуініЈ бойынан ерекше бір М(х,у) нЇктесін алайы›. Осы нЇкттеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын тЇсірейік.. Онда МЕВ тік б±рышты ±шб±рышы шы“ады. М±нда ЕМВ=µ § ОЕ=х, ЕМ=у болады. ОДВ тік б±рышты Їшб±рышынан

µ §


Осыдан µ §

ЕМВ тік б±рышты Їшб±рышынан µ § Осыдан ЕВµ §

Осы ЕВ- ныЈ мЩнін жо“ары теЈдікке ›ойса›, іздеген тЇзудіЈ теЈдеуін табайы›: µ §

µ § (3)


(3) теЈдеуі тЇзудіЈ нормальды› теЈдеуі деп аталады.

Мысал: КоординаталардыЈ бас нЇктесінен тЇзуіне жЇргізілген перпендикулярдыЈ ±зынды“ы 4-ке теЈ. Осы перпендикуляр обцисса осімен 30 б±рыш жасайды. Ізделіп отыр“ан тЇзудіЈ теЈдеуін жазайы›.

Шешуі: Есеп шарты бойынша; µ § µ § µ § µ §

µ § µ §


ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі.

Жазы›ты›та екі нЇкте берілген. µ §Осы екі нЇктеден бірдей ›ащы›ты›та жат›ан нЇктелердіЈ геометриялы› орнын табайы›.Берілген екінЇктеден бірдей ›ашы›ты›та жататын нЇкте М(х,у) болсын. Осы нЇктеден берілген нЇктедніЈ арасында“ы ›ашы›ты›тар есептіЈ шарты бойынша йзара теЈ.

µ §

Осыдан


µ §Енді коэффициенттер мен бірге бос мЇшелерді белгілейік:

М±нда“ы, А,В,С ЁCт±ра›ты шамалар, х пен у тЇзудіЈ бойында жат›ан кез келген нЇктеніЈ координатасы (L` тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі.

ШртЇрлі жа“дайда ›арастырайы›:

А=0 µ §Bµ §, Cµ § By + c=0 У=-µ §=Bµ §-ке параллель тЇзу.

В=0 A µ § Cµ § Ax+C=0 X=-µ §=a µ §OУ-ке параллель тЇзу

3) А=0 С=0 Ву=0 У=0µ § Ох осі


4) A µ §µ §Bµ § С=0 Ах+Ву=0 бас нЇктесінен йтетін тЇзу болады.

5) В=0 С=0 онда х=0 µ §ОУ осі

6) А=0 В=0 Cµ §жа“дайыныЈ болуы мЇмкін емес тЇзудіЈ жалпы теЈдеуін коэфицентпен жЩне кесінділік тЇрге келтіруге болады.

1) Ах+Ву+с=0 Ву=-Ах-с У=-µ §х-µ §, ал -µ §=к -µ §=в деп белгілесек у=кх+в

2) Ах+Ву=-с µ §+µ §=1 µ §+µ §=1 µ §=а, µ §=в десек, µ §+µ §=1

Мысал 1µ §+µ §=1 тЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі берілсін. Осыны жалпы тЇрге келтіретін бйлшектен ›±тылып, берілген теЈдеуді тЇрлендіріп, мынаны табамыз: 2х+3у=6 2х+3у-6=0

Мысал 2 у=2х-6 теЈдеуін жалпы жЩне кесінділік теЈдеуге келтір

2х-у-6=0 А=2 В=-1 С=-с

2х-у-6=0 µ §µ § а=3 в=-6

Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттар

Жазы›ты›та“ы тЇзЇдіЈ теЈдеулері.

Аны›тама. Ах+Ву+С=0 теЈдеу тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. М±нда“ы к=µ § - тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенты.

Ба“ыттауыш векторы µ § (тЇзуге параллель), М0(x0,y0) нЇктесін басып йтетін тЇзуініЈ теЈдеуі µ § .

Нормаль векторы µ §, М0(x0,y0) нЇктесін басып йтетін тЇзуініЈ теЈдеуі A(x-x0)+B(y-y0)=0.

Б±рышты› коэффициенті к белгілі жЩне М0(x0,y0) нЇктесін басып йтетін тЇзуініЈ теЈдеуі y-y0=k(x-x0).

Берілген екі нЇкте М1(x1,y1) жЩне М2(x2,y2) нЇктелері йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі µ § .

Координаталар йстерін А(a,0), B(0,b) нЇктелерінде ›иып йтетін тЇзудіЈ теЈдеуіµ §.

Екі тЇзу арасында“ы б±рыш. Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттары. НЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы.

d1 жЩне d2 тЇзулері йздерініЈ сЩйкес жалпы теЈдеулері ар›ылы берілсін дейік:

А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0

Б±рышты› коэффициенттері к1=µ §, к2=µ §

Егер d1 „К„К d2, онда к1 = к2.

Егер d1 µ § d2, онда к1 =µ §.

Екі тЇзу арасында“ы б±рыш tgµ §.

M(x0,y0) нЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы d=µ §

љайталау с±ратары:

Жазы›ты›та“ы тЇзЇдіЈ теЈдеулері.

Екі тЇзу арасында“ы б±рыш.

Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттары.

НЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы.


Шдебиеті: [1], [3], [4].

ДЩріс 16-17.

Та›ырып: Екінші ретті сызы›тар жЩне олардыЈ канонды› теЈдеулері. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Ма›саты:Екінші ретті сызы›тар, олардыЈ кононды› теЈдеулерін ›арастыру.

љарастыратын с±ра›тар:

Жазы›ты›та“ы екінші ретті сызы›тар.

ШеЈбер.

Эллипс, оныЈ ›асиеттері.



Гипербола, оныЈ ›асиеттері.

Парабола, оныЈ ›асиеттері

Екінші ретті сызы› тймендегі теЈдеу ар›ылы беріледі:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Б±л теЈдеу тйменде келтірілген теЈдеулердіЈ біріне келтірілетіндей координаталар жЇйесі (тік б±рышты болуы міндетті емес) болуы мЇмкін.


µ § - эллипстіЈ теЈдеуі.

µ § - “жорамал” эллипстіЈ теЈдеуі.

µ § - гиперболаныЈ теЈдеуі.

a2x2 ЁC c2y2 = 0 ЁC екі ›иылысушы тЇзудіЈ теЈдеуі.

y2 = 2px ЁCпараболаныЈ теЈдеуі.

y2 ЁC a2 = 0 ЁCекі параллель тЇзудіЈ теЈдеуі.

y2 + a2 = 0 ЁC“жорамал” екі параллель тЇзулердіЈ теЈдеуі.

y2 = 0 ЁC беттесуші тЇзулер.

(x ЁC a)2 + (y ЁC b)2 = R2 ЁCшеЈбердіЈ теЈдеуі.
ШеЈбер.

(x ЁC a)2 + (y ЁC b)2 = R2 (1) шеЈбердіЈ центрініЈ координаталары (a; b) болады.

Мысал. 2x2 + 2y2 ЁC 8x + 5y ЁC 4 = 0 теЈдеуі ар›ылы берілген шеЈбердіЈ центрініЈ координаталары мен радиусын тап. .

Шешу. ШеЈбердіЈ центрі мен радиусын табу Їшін теЈдеуді (1) теЈдеу тЇріне келтіріп аламыз. Ол Їшін теЈдеудіЈ сол жа“ында“ы кйпмЇшеніЈ толы› квадратын бйлеміз.

x2 + y2 ЁC 4x + 2,5y ЁC 2 = 0

x2 ЁC 4x + 4 ЁC4 + y2 + 2,5y + 25/16 ЁC 25/16 ЁC 2 = 0

(x ЁC 2)2 + (y + 5/4)2 ЁC 25/16 ЁC 6 = 0

(x ЁC 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16


Б±л теЈдеуден мынаны табамыз: О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс жЩне оныЈ ›асиеттері

Аны›тама. Эллипс деп фокустары деп аталатын нЇктелерден ›ашы›ты›тарыныЈ ›осындысы сол фокустары ара›ашы›ты“ынан (F1F2 = 2c) арты› болатын т±ра›ты 2а санына теЈ болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ геометриялы› орнын айтады, оны былайша белгілейді:

F1М + F2М = 2а (2) .

у
М

r1


r2

µ § F1 O F2 µ §

F1, F2 ЁC эллипстіЈ фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c.

с ЁC фокустары ар ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F1М жЩне F2М ›ашы›ты›тарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (2) теЈдік мына тЇрде жазылады:

r1 + r2 = 2а (21)

Екі нЇктені ара ›ашы›ты“ыныЈ формуласы бойынша: µ §

µ §.

Б±л теЈдеуді тЇрлендіріп, эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін табайы›:



µ §

µ §


х 2+2сх+с2+ у2 = 4а2 ЁC 4аµ §

аµ § теЈдіктіЈ екі жа“ын а - “а бйліп, квадраттайы›:

х2 -2сх+с2+у2 = (а - µ §

х2 -2сх+с2+у2 =µ §

а2х2+а2у2+а2с2= а4 + с2х2,
(а2- с2) х2+а2у2+ = а2 ( а2 - с2),

аѓ® с бол“анды›тан, а2 - с2ѓ® 0 болады, сонды›тан а2 - с2ѓ­ в2 (3) деп белгілейміз.


Сонда в2 х2+а2у2+ = а2 в2 шы“ады, осыдан µ § (4), м±нда“ы х пен у -

эллипстіЈ бойында“ы кез келген нЇктелердіЈ координаталары, а ЁC эллипстіЈ Їлкен жарты йсі, в ЁC оныЈ кіші жарты йсі. (4) теЈдеу эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуі деп аталады.

Теорема. ЭллипстіЈ фокусты› ара ›ашы›ты“ы мен жарты йстері мынадай ›атынас бойынша байланысады:

a2 = b2 + c2.

Дэлелдеу: Егер М нЇкте эллипстіЈ вертикаль осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r1 + r2 = 2µ §( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нЇкте эллипстіЈ горизонталь осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r1 + r2 = a ЁC c + a + c. ЭллипстіЈ аны›тамасы бойынша r1 + r2 ЁC ›осынды т±ра›ты шама, ендеше жо“арыда“ы екі теЈдікті теЈестіріп, мынадай теЈдік аламыз:

a2 = b2 + c2 .

Аны›тама. µ § = с/a ›атынас эллипстіЈ эксцентриситеті деп аталады. с < a

бол“анды›тан, µ § < 1 болады.

ЭллипстіЈ тЇрін оныЈ жабайы теЈдеуі бойынша зерттеу.
(4) теЈдеу бойынша эллипстіЈ бірнеше ›асиеттерін аны›тайы›..х=а

х=-а

у

у=в


М

М2

В2



х

А1

А2



О

1). (4) теЈдеудегі х пен у екінші дЩрежелі бол“анды›тан, ол теЈдеуді М(х;у) нЇктесініЈ координаталарымен ›оса М1(х;-у), М2(-х;у), М3(-х;-у) нЇктелерініЈ де координаталары ›ана“аттандырады.

у=-в

М1

М3



В1

Ендеше эллипс координат осьтеріне,

Координата басына ›ара“анда симметриялы .

2) у=0 болса, µ § болады, б±дан х = „b а. Сонды›тан эллипс ох осін А1(-а; 0) жЩне А2(а;0) нЇктелерінде ›ияды. Ал х=0 бол“анда µ § шы“ады да, у=„b в. Демек, эллипс оу осін В1(0;-в), В2(0; в) нЇктелерінде ›ияды. ЭллипстіЈ осьтермен ›иылысу нЇктелері (А1, А2, В1, В2 ) тйбелері деп аталады.

3) (4) теЈдеуден µ §. Б±дан ѓмхѓм „T а жЩне ѓмуѓм„T в. Б±дан ЁC а „T х „T а жЩне ЁCв „T у „T в. Сййтіп, эллипстіЈ нЇктелері жазы›ты›тыЈ ›абыр“алары 2а жЩне 2в болатын тік тйртб±рышпен шектелген бйлігінде жатады.

Теорема. ЭллипстіЈ кез келген М(х, у) нЇктесі Їшін тймендегі ›атынас орындалады:

r1 = a ЁCµ §x, r2 = a + µ §x.

ДЩлелдеу. Жо“арыда r1 + r2 = 2a болатыны кйрестілген. Сонымен ›атар,геометьриялы› кескіндеме бойынша:

µ §. Осы формулаларда“ы у2 ЁCты эллипстіЈ канонды› теЈдеуінен тауып алып, алдыЈ“ы формулалар“а ›ойып тЇрлендірсек, тймендегі теЈдік шы“ады:

µ §


µ §

ДЩл осылайша r2 = a + µ §x.

Аны›тама. x = a/µ §; x= -a/µ §. теЈдеулерімен аны›талатын екі тЇзу эллипстіЈ директрисалары деп аталады.

Теорема. НЇкте эллипсте жату Їшін оныЈ фокус›а дейінгі ›ашы›ты“ыныЈ сЩйкес директриса“а дейінгі ›ашы›ты“ына ›атынасы µ § эксцентриситетке теЈ болуы ›ажетті жЩне жеткілікті.

Мысал. µ § теЈдеуімен берілген эллипстіЈ сол жа› фокусы мен тйменгі тйбесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуін ›±р.

ЭллипстіЈ тйменгі тйбесініЈ координаталары: x = 0; y2 = 16; y = -4.

Сол жа› фокусыныЈ координаталары: c2 = a2 ЁC b2 = 25 ЁC 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

Екі нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі:

µ §

Мысал. F1(0; 0), F2(1; 1) фокустары мен Їлкен осі 2 ЁCге теЈ болатын эллипстіЈ теЈдеуін жаз.



ЭллипстіЈ теЈдеуі мынадай: µ §. М±нда а мен b жарты йстерін табу керек. ФокустарыныЈ ара ›ашы›ты“ы:

2c = µ §, сонды›тан a2 ЁC b2 = c2 = Ѕ



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет