Характеристики информации и меры количества информации

Характеристики информации и меры количества информации

Адекватность информации может выражаться в трёх формах: синтаксической, семантической и прагматической.

Каждой форме адекватности соответствует своя мера количества информации.

3. Позиционные системы счисления

1. Основные понятия

В информатике натуральные числа, дополненные нулём, представляют собой расширенное множество натуральных чисел. То есть в информатике натуральные числа – это:

Для представления и записи чисел используют специальные графические знаки – цифры. Например, число 256 состоит из трёх цифр 2, 5 и 6, число 16 состоит из двух цифр 1и 6, а число 0 — из одной цифры 0.

Различные системы счисления могут отличаться друг от друга по следующим признакам:

1. 
   разное начертание цифр, которые обозначают одни и те же числа;
   
2. 
   разные способы записи чисел цифрами;
   
3. 
   разное количество цифр.
   

По способу записи чисел цифрами системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Наряду с двоичной системой в информатике применяются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Восьмеричная система счисления имеет восемь цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), шестнадцатеричная – шестнадцать (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, С, D, E, F).

2. Римская система счисления.

• 
  века;
  
• 
  порядкового числительного;
  
• 
  месяца при указании даты;
  
• 
  года н. э. (нашей эры).
  

Римская система основана на употреблении семи особых знаков – римских цифр, которые делятся на четыре знака десятичных разрядов

и три знака половин десятичных разрядов

Натуральные числа, т. е. целые положительные числа (без нуля), можно записывать при помощи повторения римских цифр, используя три следующие правила.

1.Правило сложения: если все цифры в числе по значению не возрастают, если считать слева направо, то они складываются.

Например:

2.Правило вычитания:

• 
  сначала во всех парах, где меньшая цифра стоит перед большей, вычитается меньшая цифра из большей;
  
• 
  затем полученные результаты вместе с оставшимися цифрами подпадают под принцип сложения и складываются.
  

• 
  число записывается слева направо максимально возможными цифрами;
  
• 
  четыре одинаковых десятичных знака подряд заменяются этим десятичным и следующим половинным;
  
• 
  если при этой замене этот десятичный знак оказывается между двумя одинаковыми половинными, то эти три знака заменяются этим десятичным и следующим десятичным (т. е. два половинных знака заменяются равноценным десятичным).
  

В качестве примера выпишем все единицы, десятки и сотни, записанные в римской системе:

3. Десятичная система счисления

Здесь значение цифры зависит от её положения в записи числа. Например, если цифра 1 стоит в числе на первом месте справа, то она значит один, если на 2-м месте справа, то десять, на 3-м месте справа – сто, и т. д. Так, в числе 512 пять сотен, один десяток и две единицы.

Заметим, что однозначные числа легко превратить в двузначные без изменения их значения, записав их в виде 00, 01, 02, ..., 09 – нули в начале числа не влияют на величину числа. Также однозначные и двузначные числа можно превратить в трехзначные и т. д.

Подсчитаем количество однозначных, двузначных и т. д. до десятизначных чисел и сведём результаты в таблицу:
Таблица 1.1: Количество однозначных, двузначных и т. д. десятичных чисел

4. Двоичная система счисления

В компьютерах используется именно эта система счисления из-за своей простоты. Простота выполнения операций в двоичной системе счисления связана с двумя обстоятельствами:

1. 
   простотой аппаратной реализации: 1 – есть сигнал, 0 – нет сигнала;
   
2. 
   самое сложное действие таблицы умножения – это 1₂ х 1₂=1₂, а таблицы сложения – 1₂+1₂ = 10₂.
   

Двойка внизу в виде нижнего индекса означает, что числа записаны в двоичной системе. При записи чисел в разных позиционных системах счисления основание системы записывается в виде нижнего индекса. Этот индекс всегда записывается только в десятичной системе счисления.

Пользуясь описанными выше действиями, можно записать таблицы умножения и сложения для двоичной системы (смотри таблицы ниже). При этом таблица сложения оказывается сложнее таблицы умножения.
Таблица 1.2: Умножение двоичных чисел

В двоичной системе счисления имеется:

• 
  2 однозначных двоичных числа 0 и 1;
  
• 
  4 (= 2²) двузначных двоичных числа: 00, 01, 10₂ и 11₂;
  
• 
  8 (= 2³) трехзначных двоичных чисел от 000 до 111₂;
  
• 
  16 (= 24) четырехзначных двоичных чисел от 0000 до 1111₂.
  

Таблица 1.4. Количество однозначных, двузначных и т. д. двоичных чисел

5. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Число в позиционной системе счисления с основанием q может быть представлено в виде многочлена по степеням q следующим образом:

X=xn-1 ·qn-1 + xn-2 ·qn-2+ ... + x1 ·q1 + x0 ·q0+ x-1 ·q-1 +... + x-m ·q-m,

где X — запись числа в системе счисления с основанием q, хi – цифра в i -ом разряде, n – число разрядов целой части, т – число разрядов дробной части.

Записывая слева направо числа, получим закодированную запись числа в q-ичной системе счисления

X =x_n-1 x_n-2 …x₁ x₀ x_-1 … x_-m.

Установим простую, но и одностороннюю связь между одним и тем же числом, записанным одновременно в десятичной и двоичной системах. Перевести любое целое двоичное число в десятичное можно по формуле: <x_п-1...x₂x₁x₀>₂ = < x₀ + x₁·2 + x₂·2² + ... + x_п-1·2^n-1 >₁₀,

Например:

1101₂ = 1₁₀ + 0₁₀*2₁₀ + l₁₀*4₁₀ + l₁₀*8₁₀ = 1₁₀ + 4₁₀ + 8₁₀ = 13₁₀;

1110₂ = 0₁₀ + l₁₀*2₁₀ + l₁₀*4₁₀ + l₁₀*8₁₀ = 2₁₀ + 4₁₀+8₁₀= 14₁₀.

101010₂ = 2₁₀ + 8₁₀ + 32₁₀ = 42₁₀.

Аналогично для других систем счисления, причём для перевода дробных чисел обратимся к предыдущей формуле:

1101,012 = 1*2³+ l*2² + 0*2¹+ 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 = 13,25₁₀;

112₃ = 1*3²+ 1*3¹ + 2*3⁰ = 14₁₀;

341,5₈ = 3*8² +4*8¹+ 1*8⁰+ 5*8^-1=225,625₁₀;

A1F,4₁₆ = A*16² + 1*16¹ + F*16⁰ + 4*16^-1 = 10*16² + 1*16¹ + 15*16⁰ + 4*16^-1 = 2591,25₁₀

Преобразование из десятичной в прочие системы счисления производится также в соответствии с приведённой ранее формулой. При этом целая и дробная части переводятся отдельно.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить её на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т.д. до тех пор, пока частное не станет равным 0. Для перевода дробной части её необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Рассмотрим алгоритм перевода на примере целого числа 137 в двоичную систему. Разделим его нацело на 2, получим 137:2 = 68, остаток 1. Полученный результат можно записать следующим образом: 137 = 68x2 +1x2. Продолжим операцию деления дальше: 68: 2 = 34, остаток 0; 34: 2 = 17, остаток 0; 17:2 = 8, остаток 1: 8:2 = 4, остаток 0; 4:2 = 2, остаток 0; 2:2 = 1, остаток 0. Далее процесс продолжать нельзя, т. к. 0 не делится нацело на 2. В результате получим:

137 = 1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰.

Таким образом, последовательное деление нацело на 2 позволяет разложить число по степеням двойки, а это в краткой записи и есть двоичное изображение числа. 137₁₀ =10001001₂. Все приведенные выкладки можно сократить, записав процесс деления в виде следующей схемы (рис.1.1.):

_137 2 _137 8 _137 16

0 34 _17 2 1

0 16 _8 2

1 8 _4 2

0

а) б) в)

Для других систем счисления все описанные действия выполняются аналогичным способом. Например, это же число 137 в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления переводится по похожим схемам (рис. 1.1, б и в).

Для дробных частей чисел правило последовательного деления заменяется правилом последовательного умножения. Переведем 0,2 из десятичной системы счисления в двоичную. Умножим 0,2 на 2, т. е. 0,2*2 = 0.4 или 0,2 = (0 + 0,4)*2^-1=0*2^-1+0,4*2^-1. Далее продолжим операцию умножения и получим:

0.2 = 0*2^-1+ 0* 2^-2+1*2^-3 +1*2^-4+0*2^-5+0,4*2^-5 …, т.е. 02₁₀ =0.00110011...₂.

Между двоичной системой счисления, восьмеричной и шестнадцатеричной существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую. Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, надо от запятой вправо и влево выделить группы по три цифры (триады) и каждую группу независимо от других перевести в одну восьмеричную цифру. Для перевода в шестнадцатеричную систему необходимо выделять по четыре цифры (тетрады) и переводить каждую группу в одну шестнадцатеричную цифру. Если в последней группе недостаёт цифр, дописываются нули: в целой части – слева, в дробной – справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

Например: Переведём число 1010011110.001100101...₂ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

001 010 011 110.001 100 101...₂ = 1236.145…₈;

0010 1001 1110.0011 0010 1000...₂ = 29Е.328...₁₆

4. 
   
   жүктеу/скачать 0.8 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: