Геометрия Лобачевского и ее модели
жүктеу/скачать 0.51 Mb.
|
I. Введение.Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека». Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств. Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире. Внимательное изучение системы Евклида привело ученых к выводу, что в «Началах» имеются довольно серьезные недоработки. Например, число аксиом, сформулированных Евклидом, является недостаточным для строгого изложения геометрии, поэтому Евклид при изложении некоторых своих доказательств опирался на непосредственную очевидность, наглядность, интуицию и чувственные восприятия. Кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180о. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее. Данная тема интересна мне по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского. Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом не соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. Попытки логически безупречно обосновать геометрию продолжались в течение многих сотен лет. Открытие в начале XIX века неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Гауссом явились толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода, который привел к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки. Так, немецкий математик М. Паш предложил аксиомы порядка, связанные с логически необоснованным до тех пор понятием «между». Итальянские математики Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пиери также внесли определенный вклад в дальнейшее обоснование геометрии в разработку аксиоматики обоснования арифметики. Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали аксиомы непрерывности. В связи с этими достижениями перед наукой встала историческая задача, связанная со строгим обоснованием геометрии на рубеже XIX и XX столетий, решение которой было предложено, независимо друг от друга, рядом ученых. В истории развития аксиоматического метода важную роль сыграли аксиомы Д. Гильберта, немецкого ученого (1862-1943), выделявшегося среди плеяды ученых того периода. Эти аксиомы в свое время соответствовали уровню строгости геометрии. В 1899 г. Д. Гильберт писал: «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений - это задача, которая со времен Евклида явилась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления. Аксиоматический метод, впервые разработанный Д. Гильбертом в геометрии с новых позиций, проник и в другие ветви математики: в теорию множеств, алгебру, топологию, теорию вероятностей и др. Кроме этого, аксиоматический метод стал использоваться и при построении других наук, в особенности физики. Эти достижения связаны с переворотом в геометрии, совершенным Н.И. Лобачевским. Исторически сложилось, что именно к пятому постулату Евклида на протяжении многих веков было привлечено внимание математиков. Глубоко проанализировав попытки доказательства пятого постулата, как свои, так и принадлежащие другим математикам, Н.И. Лобачевский пришел к убеждению о независимости этого постулата от остальных аксиом, т.е. к непротиворечивости геометрии, в которой аксиоматизируется существование двух различных прямых, проходящих через данную точку параллельно заданной прямой. Н.И. Лобачевский не только предугадал существование новой геометрии - неевклидовой, но и детально ее разработал. Его точка зрения противоречила всем представлениям человека об окружающем мире. Новая геометрия резко расходилась с философским взглядом того времени на пространство (И.Кант), поэтому это открытие было ошеломляющим. Получалось так, что предположение о неевклидовости реального физического пространства не противоречило аксиомам Евклида, кроме пятого постулата. В 70-е годы прошлого столетия была доказана непротиворечивость геометрии, по праву получившей имя Лобачевского. Доказательство это было построено с помощью моделей Кэли-Клейна и Пуанкаре. жүктеу/скачать 0.51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|