Компьютерное моделирование в физических исследованиях
Понятие математической модели
жүктеу/скачать 0.55 Mb.
|
| Понятие математической модели
Математическими называют модели, обеспечивающие переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов. Математическое моделирование - это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов. Особое значение среди математических моделей имеют подобные модели, обеспечивающие перенос данных на основании подобия. Сходство объектов по их математическому описанию, т.е. математическая аналогия, при определенных условиях превращается в математическое подобие или просто подобие. Подобие - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям. У = f(x\, Х2, Хз, .., Xn), i = 1, 2, n. Математическое описание конкретного объекта может иметь разнообразную форму. В простейшем случае это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы: В более сложном случае это конечное уравнение вида F(X1, Х2, Хз, .., Xn, у) = 0, выражающее зависимость y = fxi) в неявной форме. В еще более сложном случае это обыкновенное дифференциальное уравнение F(y, У,.., Уп\ Xi, х'i,.., xfm\ t) = 0, связывающее независимую переменную t, известные функции xi = xi(t), неизвестную функцию y = y(t) и производные функций xi и у. Наконец, математическим описанием может быть дифференциальное уравнение в частных производных. Два объекта называются подобными, если они имеют сходственное математическое описание: F(y1, xh, tlk) = 0, (1) F(y2, x2i, t2k) = 0, (2) где yl, y2 - неизвестные функции; x1i , x2i - заданные функции независимых переменных t1k и t2k; сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называют масштабами, или константами подобия: my = y1/y2, mxi = x1Jx2u mt = t1*/t2*. (3) При условии (3) сходственные уравнения (1), (2) и функции, описывающие математические аналоги, а также содержащиеся в них сходственные переменные называют подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью. Пример Сходственные функции y1 = x12 и у2 = 8 x22 подобны, если my = yjy2 = 2, mx = x^x2 = 4. Для того чтобы убедиться, что данные функции изображаются одной кривой, постройте функции на одном графике, учитывая масштабные коэффициенты. Особыми частными случаями подобия являются геометрическое, физическое и временное подобие. Геометрическое подобие - это подобие геометрических образов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел). Физическое подобие - это подобие физически однородных объектов. Временное подобие - это подобие функций времени. В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание поведения одного из них означает знание поведения другого. Пример В строительстве типичной задачей является расчет напряжений, возникающих в балке с заданными сечением и размерами под действием крутящей нагрузки. Простой, но эффективной физической моделью для решения данной задачи является следующая модель: берется труба того же сечения, что и балка, и затягивается с торца резиновой пленкой (мембраной). По трубе подается воздух под определенным давлением. Прогиб мембраны измеряется, и с помощью формул подобия результат пересчитывается в величину напряжений в деформированной балке. Возможность такого переноса результатов заключается в математическом подобии уравнений, описывающих напряжения в изогнутой балке и прогиб мембраны под избыточным давлением. Осталось сделать еще один шаг - заменить физическое моделирование исследованиями математической модели. Математические модели и математические методы используются физикой с самого начала ее возникновения. Со времени Галилея описание физического явления или процесса считается достоверным, если оно выражено с помощью числовых величин. жүктеу/скачать 0.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|