Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1984. Глава I. Начало 1 Глава II. Древний Восток 3

Согласно космогонии, которую поддерживали картезианцы, Земля у полюсов была удлинена, а по теории Ньютона она должна была там быть сплющена. Картезианские астрономы Кассини (отец Шан Доминик и сын Жак; отец известен в геометрии благодаря овалам Кассини, 1680 г.) промерили дугу меридиана во Франции между 1700 и 1720 гг. и отстаивали картезианский вывод. Возник спор, в котором приняли участие многие математики. В 1735 г. в Перу послали экспедицию, за которой в 1736–1737 гг. последовала другая экспедиция в Лапландию, под руководством Пьера Мопертюи, с целью промерить градус долготы. В результате обеих экспедиций восторжествовала теория Ньютона, это было как ее триумфом, так и триумфом самого Мопертюи. Отныне знаменитый «Великий сплющиватель» стал президентом Берлинской академии и много лет купался в лучах своей славы при дворе Фридриха II. Это продолжалось до 1750 г., когда он вступил в горячий спор со швейцарским математиком Самуилом Кёнигом относительно принципа наименьшего действия в механике, указанного, быть может, уже Лейбницем. Мопертюи, как Ферма до него и Эйнштейн после него, искал какой-то общий принцип, который мог бы объединить законы вселенной. Формулировка Мопертюи не была отчетливой, он определял свое «действие» как величину  ( – масса,  – скорость,  – расстояние). У него это сочеталось с доказательством существования бога. Этот спор особенно обострился тогда, когда Вольтер высмеял неудачливого президента в своей «Диатрибе доктора Акакия, врача папы» (1752 г.). Ни поддержка короля, ни защита Эйлера не могли уже вернуть Мопертюи присутствие духа, и павший духом математик вскоре скончался в Базеле, в доме Бернулли.

Эйлер вновь выдвинул принцип наименьшего действия в формулировке, что должен быть минимумом , и, кроме того, он не вдавался в метафизику Мопертюи. Таким образом, этот принцип был поставлен на твердую почву, и им пользовался Лагранж, позже – Гамильтон. Значение «гамильтониана» в современной математической физике показывает, насколько существенным было то, что внес Эйлер в спор между Мопертюи и Кёнигом.

Среди математиков, побывавших вместе с Мопертюи в Лапландии, был Алексис Клод Клеро. Клеро восемнадцати лет от роду опубликовал «Изыскания о кривых двоякой кривизны» (Recherches sur les courbes a double courbure), первый опыт в области аналитической и дифференциальной геометрии пространственных кривых. По возвращении из Лапландии Клеро опубликовал свою «Теорию фигуры Земли» (Theorie de la figure de la Terre, 1743 г.), образцовое произведение no гидростатике и притяжению эллипсоидов вращения. Лаплас мог его улучшить лишь в незначительных деталях. В числе главных результатов этой работы – условие полноты дифференциала . За этой книгой последовала «Теория Луны» (Theorie de la lune, 1752 г.), содержавшая дополнения к эйлеровой теории движения Луны и к общей задаче трех тел. Клеро принадлежат также результаты в теории криволинейных интегралов и дифференциальных уравнений. Один из типов рассмотренных им дифференциальных уравнений известен под его именем, и с этим связан один из первых примеров особых решений.

Даламберу не составляло труда писать по многим вопросам, включая даже вопросы обоснования математики. Мы упоминали о том, что он ввел понятие предела. «Основную теорему алгебры» иной раз называют теоремой Даламбера, так как он пытался ее доказать (1746 г.), а «парадокс Даламбера» в теории вероятностей показывает, что он, хотя и не очень успешно, размышлял об основах этой теории.

Теория вероятностей быстро развивалась в течение этого периода главным образом благодаря дальнейшей разработке идей Ферма, Паскаля и Гюйгенса. За «Ars conjectandi» последовали другие книги, среди них «Учение о случае» (The Doctrine of Chance, 1716 г.), написанная Авраамом де Муавром, французским гугенотом, который поселился в Лондоне после отмены Нантского эдикта (1685 г.) и зарабатывал там на жизнь частными уроками. Имя де Муавра связано с тригонометрической теоремой, которая в ее современной форме  впервые появляется во «Введении» Эйлера. В 1733 г. Муавр вывел функцию нормального распределения как аппроксимацию биномиального закона и дал формулу, равносильную формуле Стирлинга. Джеймс Стирлинг, английский математик школы Ньютона, опубликовал свой ряд в 1730 г.

Многочисленные лотереи и страховые компании, которые организовались в течение этого периода, вызвали у многих математиков, включая Эйлера, интерес к теории вероятностей. Это повело к попыткам применить учение о вероятностях в новых областях. Бюффон, известный как автор «Естественной истории» (36 увлекательно написанных томов) и знаменитого рассуждения о стиле (1753 г.; «стиль – это человек»), в 1777 г. дал первый пример геометрической вероятности. Это была так называемая задача об игле, которая занимала многих, так как она давала возможность экспериментально определить число , бросая иголку на плоскость, покрытую параллельными и равноудаленными прямыми, и подсчитывая число пересечений иголки с этими прямыми.

К этому периоду относятся также попытки применить теорию вероятностей к суждениям человека; например, подсчитывали шансы на то, что какой-либо трибунал сможет вынести правильный приговор, если для каждого из свидетелей можно указать число, выражающее вероятность того, что он будет говорить правду. Эта забавная «вероятность суждений», которая отдает философией века Просвещения, занимает видное место в трудах маркиза Кондорсе; она появляется еще у Лапласа и даже у Пуассона (1837 г.).

8. Де Муавр, Стирлинг и Ланден – добротные представители английской математики восемнадцатого века. Но мы должны сказать и о некоторых других англичанах, хотя никто из них не мог равняться со своими коллегами на континенте. Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс. Были и глубокие общественные причины, в силу которых английские математики не освобождались от флюксионных методов Ньютона. В Англии, которая вела непрерывную торговую войну с Францией, развивалось чувство интеллектуального превосходства, которое поддерживалось не только победами, военными и торговыми, но тем восхищением, которое вызывала у континентальных философов английская политическая система. Англия стала жертвой своего воображаемого совершенства. Есть сходство между английской математикой восемнадцатого века и античной математикой позднеалександрийской эпохи. В обоих случаях неподходящие обозначения технически затрудняли прогресс, а причины того, что математики ими удовлетворялись, были более глубокого общественного характера.

Ведущим английским, вернее пользовавшимся английским языком, математиком этого периода был Колин Маклорен, профессор Эдинбургского университета, последователь Ньютона, с которым он был лично знаком. Его исследования и обобщения флюксионного метода, работы по кривым второго и более высокого порядка и по притяжению эллипсоидов шли параллельно с исследованиями Клеро и Эйлера. Некоторые из теорем Маклорена вошли в нашу теорию плоских кривых и в нашу проективную геометрию. В его «Органической геометрии» (Geometria organica, 1720 г.) мы находим замечание, известное как парадокс Крамера: кривая -го порядка не всегда определяется  точками, так что девять точек могут не определять однозначно кривую третьего порядка, тогда как может оказаться, что десяти точек слишком много. Здесь же мы находим кинематические методы для описания плоских кривых различных порядков. «Трактат о флюксиях» Маклорена (Treatise of fluxions, 2 тома, 1742 г.), написанный в защиту Ньютона против Беркли, читать трудно из-за его архаичного геометрического языка, что находится в резком контрасте с доступностью работ Эйлера. Маклорен обычно стремился к строгости Архимеда. В книге содержатся исследования Маклорена о притяжении эллипсоидов вращения и его теорема, что два таких конфокальных эллипсоида притягивают частицу на оси или на экваторе силами, пропорциональными их объемам. В этом трактате Маклорен оперирует также со знаменитым «рядом Маклорена».

Впрочем, этот ряд не был новым открытием, так как он появился в «Методе приращений» (Methodus incrementorum, 1715 г.), написанном Бруком Тейлором, в то время секретарем Королевского общества, а еще раньше был открыт И. Бернулли и, по сути, был известен Лейбницу. Маклорен признает то, что он полностью обязан Тейлору. Ряд Тейлора теперь всегда приводят в обозначениях Лагранжа:

Тейлор явно приводит этот ряд для , что многие учебники еще упорно называют рядом Маклорена. В выводе Тейлора нет соображений относительно сходимости ряда, но Маклорен положил начало таким исследованиям и даже владел так называемым интегральным признаком сходимости бесконечных рядов. Полностью важность ряда Тейлора была признана лишь после того, как Эйлер использовал его в своем «Дифференциальном исчислении» (1755 г.). Лагранж добавил к нему остаточный член и положил его в основу своей теории функций. Сам Тейлор использовал свой ряд для интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Он начал исследование колебаний струны, что затем было предметом работ Даламбера и др.

Исследования по вариационному исчислению относятся к раннему периоду деятельности Лагранжа. Мемуары Эйлера по этому вопросу появились в 1755 г. Лагранж заметил, что метод Эйлера не обладает «всей той простотой, которая желательна в вопросе чистого анализа». В результате появилось чисто аналитическое вариационное исчисление Лагранжа (1760–1761 гг.), в котором не только много оригинальных открытий, но и отлично упорядочен и переработан накопленный исторический материал – то, что характерно для всего творчества Лагранжа. Лагранж сразу применил свою теорию к задачам динамики, причем он полностью использовал эйлерову формулировку принципа наименьшего действия – результат плачевного эпизода с «Акакием». Многие из основных идей «Аналитической механики» (Mecanique analytique, 1788 г.) восходят к туринскому периоду жизни Лагранжа. Он принял участие также в разработке одной из основных проблем своего времени, теории движения Луны. Он дал первые частные решения задачи трех тел. Теорема Лагранжа утверждает, что можно найти такое начальное положение трех тел, при котором их орбитами будут подобные эллипсы, описываемые за одно и то же время (1772 г.). В 1767 г. появились его мемуары «О решении численных уравнений» (Sur la resolution des equations numeriques), в которых он изложил методы отделения вещественных корней алгебраического уравнения и их приближенного вычисления с помощью непрерывных дробей. За этим в 1770 г. последовали «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (Reflexions sur la resolution algebrique des equations), в которых рассматривается основной вопрос, почему те методы, которые позволяют решать уравнения не выше четвертой степени, ничего не дают для степени, большей четырех. Эти привело Лагранжа к рациональным функциям от корней и к исследованию их поведения при перестановках корней. Такой метод не только был стимулом для Руффини и Абеля в их работах относительно случая , но он привел Галуа к его теории групп. Лагранж также продвинул теорию чисел, в которой он исследовал квадратичные вычеты, и среди ряда других теорем доказал то, что каждое целое число есть сумма четырех или меньшего числа квадратов.

Вторую часть своей жизни Лагранж посвятил созданию больших трудов: «Аналитической механики» (1788 г.), «Теории аналитических функций» (Theorie des fonctlons analytiques, 1797 г.) и ее продолжения – «Лекций по исчислению функций» (Lecons sur le calcul des fonctions, 1801 г.). Обе книги по теории функций являются попыткой подвести надежный фундамент под анализ, сведя его к алгебре. Лагранж отбросил теорию пределов в том виде, как она была указана Ньютоном и сформулирована Даламбером. Он не мог как следует уяснить себе, что происходит, когда  достигает своего предела. Говоря словами Лазаря Карно, «организатора победы» во времена французской революции, который также был недоволен ньютоновским методом бесконечно малых: «Этот метод имеет тот большой недостаток, что количества рассматриваются в состоянии, когда они, так сказать, перестают быть количествами; ибо хотя мы всегда хорошо представляем себе отношение двух количеств, пока они остаются конечными, с этим отношением наш ум не связывает ясного и точного представления, как только его члены, оба в одно и то же время, становятся ничем». Метод Лагранжа отличается от метода его предшественников. Он начинает с ряда Тейлора, который выводится вместе с остаточным членом, доказывая несколько наивным способом, что «произвольная» функция  может быть разложена в такой ряд с помощью чисто алгебраического процесса. Затем производные  определяются как коэффициенты при  в разложении Тейлора  по степеням . (Обозначения  принадлежат Лагранжу.)

Хотя этот алгебраический метод обоснования анализа оказался неудовлетворительным и хотя Лагранж не уделил достаточного внимания сходимости рядов, такая абстрактная трактовка функций была значительным шагом вперед. Здесь впервые выступает на сцену теория функций вещественного переменного с применениями к разнообразным задачам алгебры и геометрии.

«Аналитическая механика» Лагранжа – это, может быть, наиболее ценный его труд, который все еще заслуживает тщательного изучения. В этой книге, которая появилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мощь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел. Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления самого Лагранжа оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики, в статике – путем использования принципа виртуальных скоростей, в динамике – принципа Даламбера. Это естественным образом привело к обобщенным координатам и к уравнениям движения в их лагранжевой форме:

.

Теперь уже был полностью отброшен геометрический подход Ньютона; книга Лагранжа была триумфом чистого анализа, и ее автор зашел настолько далеко, что подчеркивал в предисловии: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней только алгебраические операции». Это характеризует Лагранжа как первого чистого аналитика.

Двумя большими трудами Лапласа, в которых дана сводка не только его исследований, но и всех предыдущих работ в соответствующих областях, являются «Аналитическая теория вероятностей» (Theorie analytique des probabilites, 1812 г.) и «Небесная механика» (Mecanique celeste, 1799–1825 гг., в 5 томах). Обоим монументальным произведениям сопутствовали развернутые популярные изложения, «Философский опыт относительно вероятностей» (Essai philosophique sur les probabilites, 1814 г.) и «Изложение системы мира» (Exposition du systeme du monde, 1796 г.). Это «Изложение» содержит гипотезу о происхождении солнечной системы из туманности, предложенную до того Кантом в 1755 г. (и даже раньше Канта Сведенборгом в 1734 г.). «Небесная механика» является завершением трудов Ньютона, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лагранжа и Лапласа по теории фигуры Земли, теории Луны, по задаче трех тел и теории возмущений планет, включая основную проблему об устойчивости солнечной системы. Термин «уравнение Лапласа» напоминает нам о том, что одной из частей «Небесной механики» является теория потенциала. (Само это уравнение было найдено Эйлером в 1752 г. при выводе некоторых основных уравнений гидродинамики.) С этими пятью томами связано немало анекдотов. Хорошо изветен предполагаемый ответ Лапласа Наполеону, который попытался упрекнуть его, заявив, что в его книге нет упоминаний о боге: «Государь, я не нуждался в этой гипотезе». А Натаниел Воудич из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа на английский язык, как-то сказал: «Всегда, когда я встречал у Лапласа заявление «Итак, легко видеть...», я был уверен, что мне потребуются часы напряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как это легко видеть». Математическая карьера Гамильтона началась с того, что он нашел ошибку в «Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли о математической теории электричества при чтении Лапласа.

«Философский опыт относительно вероятностей» – это легко читающееся введение в теорию вероятностей. Оно содержит лапласово «отрицательное» определение вероятности с помощью «равновероятных событий»:

«Теория вероятностей состоит в сведении всех событий одного и того же рода к некоторому числу равновероятных случаев, т. е. случаев, относительно существования которых мы в равной мере не осведомлены, и в определении числа тех случаев, которые благоприятны для события, вероятность которого мы ищем». Вопросы, касающиеся вероятностей, согласно Лапласу возникают потому, что мы частично осведомлены, частично нет. Это привело Лапласа к его знаменитому утверждению, в котором воплощено то, как восемнадцатое столетие понимало механистический материализм: «Ум, который знал бы все действующие в данный момент силы природы, а также относительное положение всех составляющих ее частиц и который был бы достаточно обширен, чтобы все эти данные подвергнуть математическому анализу, смог бы охватить единой формулой движение как величайших тел вселенной, так и ее легчайших атомов; для него не было бы ничего неопределенного, он одинаково ясно видел бы и будущее, и прошлое. То совершенство, какое человеческий разум был в состоянии придать астрономии, дает лишь слабое представление о таком уме».

Трактат «Аналитическая теория вероятностей» настолько богат содержанием, что многие позднейшие открытия теории вероятностей можно обнаружить у Лапласа. В этом внушительном томе подробно рассмотрены азартные игры, геометрические вероятности, теорема Бернулли и ее связь с интегралом нормального распределения, теория наименьших квадратов, изобретенная Лежандром. Руководящей мыслью является применение «производящих функций»; Лаплас показал значение этого метода для решения разностных уравнений. Здесь вводится «преобразование Лапласа», которые позже стало основой операционного исчисления Хевисайда. Лаплас также спас от забвенья и заново сформулировал ту теорию, набросок которой дал Томас Байес, мало известный английский священник, работы которого были опубликованы посмертно в 1763–1764 гг. Эта теория стала известна как теория вероятностей a posteriori.

11. Любопытно то обстоятельство, что к концу века некоторые ведущие математики высказывались в том смысле, что область математических исследований как бы истощена. Труды и усилия Эйлера, Лагранжа, Даламбера и других уже дали наиболее важные теоремы, эти результаты в должном оформлении изложены или в скором времени будут изложены в классических трактатах, и немногочисленные математики следующего поколения должны будут решать только задачи меньшего значения. «Не кажется ли Вам, что высшая геометрия близится отчасти к упадку, – писал Лагранж Даламберу в 1772 г., – ее поддерживаете только Вы и Эйлер». Лагранж даже на некоторое время прекратил занятия математикой. Даламбер в ответ мало чем мог обнадежить. Араго в своей «Похвальной речи о Лапласе» (1842 г.) позже высказал мысль, которая поможет нам понять эти чувства:

«Пять геометров, Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лаплас, разделили между собою тот мир, существование которого открыл Ньютон. Они исследовали его во всех направлениях, проникли в области, которые считались недоступными, указали множество явлений в этих областях, которые еще не были открыты наблюдением, и, наконец, – в этом их вечная слава – они охватили с помощью одного принципа, одного-единственного закона самые тонкие и таинственные явления в движении небесных тел. Таким образом, геометрия осмелилась распоряжаться будущим, и ход будущих столетий только подтвердит во всех подробностях заключения науки».