Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1984. Глава I. Начало 1 Глава II. Древний Восток 3

Глава III. Греция

Бронзовый век сменился тем нашим веком, который мы зовем веком железа, и происходило это в смутное время переселений и войн. Лишь немногие частности известны нам об этой революционной эпохе, но мы знаем, что к ее завершению, примерно около 900 г. до н.э., уже не было царства Миноса и Хеттской державы, значительно слабее стали Египет и Вавилон и на исторической сцене появились новые народы. Наиболее выдающимися среди них были евреи, ассирийцы, финикийцы и греки. Вытеснение бронзы железом означало не только переворот а военном деле, но и ускорение роста экономики благодаря удешевлению средств производства, и это сделало возможным более деятельное участие широких слоев общества в делах экономического и общественного значения. Это сказалось и в двух важных новшествах: в замене неудобного письма Древнего Востока легко доступным алфавитом и во введении чеканной монеты, что послужило оживлению торговли. Наступило то время, когда культурные ценности уже не могли дальше оставаться исключительным достоянием восточного чиновничества.

Деятельность «морских разбойников» – так египетские тексты характеризуют некоторые переселявшиеся народы – первоначально сопровождалась немалыми культурными потерями. Критская цивилизация исчезла, египетское искусство пришло в упадок, наука Вавилона и Египта окостенела на столетия. Мы не имеем никаких математических текстов этого переходного периода. Когда положение снова стало устойчивым, Древний Восток оправился, оставаясь в основном верным традиции, но было расчищено место для цивилизации целиком нового склада – греческой цивилизации.

Те города, которые возникли на побережье Малой Азии и в самой Греции, уже не были административными центрами страны оросительного земледелия. Это были торговые города, где феодалы-землевладельцы старого уклада были обречены на поражение в борьбе, которую им довелось вести с независимым, обретшим политическое самосознание классом купцов. В течение седьмого и шестого столетий до н.э. это купечество взяло верх, но ему пришлось в свою очередь вступить в борьбу с мелкими торговцами и ремесленниками, с демосом.

Итогом был расцвет греческого полиса, самоуправляющегося города-государства – новое социальное явление, вполне отличное от ранних городов-государств Шумера и других стран Востока. Наиболее значительные из этих городов-государств сложились в Ионии, на анатолийском берегу. Их растущая торговля связала их со всем побережьем Средиземного моря, с Двуречьем, Египтом, со Скифией и даже более далекими странами. Долгое время ведущее место занимал Милет. Но и города на других берегах: Коринф, позже Афины в собственно Греции, Кротон и Гиарент в Италии, Сиракузы в Сицилии – становились богаче и значительнее. Новый общественный уклад создал новый тип человека. Купец-путешественник никогда еще не пользовался такой независимостью, и он знал, что она добыта в упорной и жестокой борьбе. Он никак не мог разделять устоявшиеся воззрения Востока. Он жил в период географических открытий, сравнимых только с открытиями западноевропейского шестнадцатого столетия, он не признавал ни абсолютного монарха, ни власти, предстающей в виде охранительного божества. А кроме того он мог пользоваться известным досугом благодаря своему богатству и труду рабов. Он мог поразмыслить об окружающем его мире. Отсутствие вполне установившейся религии привело многих обитателей этих прибрежных городов к мистицизму, но это способствовало и противоположному – росту рационализма и научному подходу.

2. Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма – математика, которая ставила не только восточный вопрос «как?», но и современный, научный вопрос «почему?». Согласно преданию отцом греческой математики является милетский купец Фалес, в первой половине шестого века посетивший Вавилон и Египет. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это – образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы не только современной математики, но и всей современной науки и философии. Первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель – понять, какое место занимает во вселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика помогла найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки, обнаружить основные принципы. Она была наиболее теоретической из всех наук.

Несомненно, что греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая свои торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро обнаружили это. Почему в равнобедренных треугольниках два угла равны? Почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах? Такие вопросы естественно возникали у людей, ставивших сходные вопросы в области космологии, биологии и физики.

К сожалению, у нас нет первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Уцелевшие рукописи относятся к эпохе христианства и ислама и их только в малой мере дополняют заметки в египетских папирусах несколько более раннего периода. Все же классическая филология дала возможность восстановить тексты, которые восходят к четвертому столетию до н.э. и далее, и мы, благодаря этому, располагаем надежными изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великих математиков античности. Но в этих текстах перед нами уже вполне развитая математическая наука, и даже с помощью позднейших комментариев по ним трудно проследить ход исторического развития. Об эпохе формирования греческой математики приходится судить, основываясь лишь на небольших фрагментах, приводимых в более поздних произведениях, и на отдельных замечаниях философов и других не строго математических авторов. Очень много остроумия и труда было вложено в критику текстов, благодаря чему удалось разъяснить немало темных мест в этом раннем периоде. Эта работа, проделанная такими исследователями, как Поль Таннери (Tannery), Хит (Т.L. Heath), Цейтен (Н.G. Zeuten), Франк (Е. Frank); и др., позволяет нам дать в известной мере связную, хотя в значительной части предположительную картину греческой математики в эпоху ее формирования.

3. В шестом столетии до н.э. на развалинах Ассирийской империи возникла новая обширная восточная; держава – Персия Ахеменидов. Она завоевала города Анатолии, но общественный строй греческой метрополии пустил уже глубокие корни и его нельзя было сокрушить. Персидское нашествие было отражено в исторических битвах при Марафоне, Саламине и Платее. Главным результатом греческой победы было расширение и экспансия Афин. Здесь во второй половине пятого столетия, при Перикле, влияние демократических элементов все время возрастало. Они были движущей силой экономической и военной экспансии, и около 430 г. они сделали Афины не только центром Греческой империи, но и центром новой и любопытной цивилизации – золотого века Греции.

В обстановке общественной и политической борьбы философы и наставники излагали свои теории и заодно новую математику. Впервые в истории группа критически мыслящих, «софистов», менее скованная традицией, чем какая-либо иная предшествовавшая ей группа ученых, стала рассматривать проблемы математического характера скорее с целью уяснения их сути, чем ради пользы.

Так как такой подход позволил софистам дойти до основ точного мышления вообще, было бы чрезвычайно поучительно познакомиться с их рассуждениями. К несчастью, от этого периода дошел лишь один цельный математический фрагмент, принадлежащий ионийскому философу Гиппократу из Хиоса. Математические рассуждения в этом фрагменте на весьма высоком уровне, и достаточно типично то, что в нем рассматривается совсем «непрактический», но теоретически существенный вопрос о так называемых луночках – плоских фигурах, ограниченных двумя круговыми дугами.

Этот вопрос – найти площадь таких луночек, у которых площадь рационально выражается через диаметр, – имеет прямое отношение к центральной проблеме греческой математики – квадратуре круга. Анализ этой проблемы у Гиппократа показывает, что у математиков золотого века Греции была упорядоченная система плоской геометрии, в которой в полном объеме применялся принцип логического заключения от одного утверждения к другому («апагоге»). Были заложены основы аксиоматики, на что указывает название приписываемой Гиппократу книги «Начала» («Stoicheia»), название всех греческих аксиоматических трактатов, включая трактат Евклида. Гиппократ исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Он учит, что площади подобных круговых сегментов относятся, как квадраты стягивающих их хорд. Он знает теорему Пифагора, а также соответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников. Весь его трактат уже мог бы быть отнесен к евклидовой традиции, если бы он не был старше Евклида более чем на столетие.

Проблема квадратуры круга – одна из «трех знаменитых математических проблем античности», которые в этот период стали предметом исследования. Эти проблемы таковы:

1) Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.

2) Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объем, вдвое больший объема заданного куба (так называемая делийская задача).

3) Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрически с помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей, – это можно сделать только приближенно, – вследствие чего эти проблемы стали средством для проникновения в новые области математики. В связи с этими проблемами были открыты конические сечения, некоторые кривые третьего и четвертого порядка и трансцендентная кривая, названная квадратриссой. Мы не должны с предубеждением подходить к вопросу о значении этих проблем из-за того, что иной раз они появлялись в виде анекдота (дельфийские пророчества и т.п.). Не раз случалось, что основной важности вопросы излагали в виде анекдота или головоломки, – вспомним о яблоке Ньютона, о клятвопреступничестве Кардано, о винных бочках Кеплера. Математики разных эпох, включая нашу, показали, какая связь существует между этими греческими проблемами и современной теорией уравнений, связь, затрагивающая вопросы об областях рациональности, алгебраические числа и теорию групп.

4. Вероятно, от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкавшая к аристократическим объединениям. – Они называли себя пифагорейцами в честь основателя этой школы Пифагора, который, предположительно, был мистиком, ученым и. государственным деятелем аристократического толка. Софисты в большинстве подчеркивали реальность изменений, пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. В поисках вечных законов вселенной они изучали геометрию, арифметику, астрономию и музыку («квадривий»). Самым выдающимся их представителем был Архит из Тарента, который жил около 400 г. до н.э. и школе которого, если мы примем гипотезу Франка (Е. Frank), следует приписать большую часть «пифагорейской» математики. Арифметика пифагорейцев была в высшей степени спекулятивной наукой и имела мало общего с современной ей вычислительной техникой Вавилона. Числа разбивались на классы: четные, нечетные, четно-четные, нечетно-нечетные, простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные, квадратные, пятиугольные и т, д. Некоторые из наиболее интересных результатов получены для «треугольных чисел», связывающих арифметику и геометрию:  и т.д.

Наш термин «квадратные числа» идет от построений пифагорейцев:  и т.д.

Сами фигуры значительно старше, ведь некоторые из них мы находим в неолитической керамике. Пифагорейцы же исследовали их свойства, внесли сюда налет своего числового мистицизма и сделали числа основой своей философии вселенной, пытаясь свести все соотношения к числовым» («все есть число»). Точка была «помещенной единицей».

Пифагорейцам были известны некоторые свойства правильных многоугольников и правильных многогранников.

Они показали, как заполнить плоскость системой правильных треугольников, или квадратов, или правильных шестиугольников, а пространство – системой кубов. Впоследствии Аристотель пытался дополнить это неверным утверждением, что пространство можно заполнить правильными тетраэдрами. Возможно, что пифагорейцы знали правильный октаэдр и додекаэдр – последнюю фигуру потому, что находимые в Италии кристаллы пирита имеют форму додекаэдра, а изображения таких фигур в орнаментах или как магический символ относится еще ко временам этрусков. Они восходят к кельтским племенам Центральной Европы начала эпохи железного, века (ок. 900 г. до н.э.) и позже (пирит был источником железа).

Что касается теоремы Пифагора, пифагорейцы приписывали ее своему наставнику и передавали, что он принес в жертву богам сто быков в знак благодарности. Мы уже видели, что эта теорема была известна в Вавилоне времен Хаммурапи, но весьма возможно, что первое общее доказательство было получено в школе пифагорейцев.

Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего , величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов? Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается «числом», то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой.

Допустим, что это отношение равно , где целые числа  и  мы всегда можем считать взаимно простыми. Тогда , следовательно, , а с ним и  – четное число, и пусть . Тогда  должно быть нечетным, но, так как , оно должно быть также четным. Такое противоречие разрешалось не расширением понятия числа, как на Востоке или в Европе эпохи Возрождения, а тем, что теория чисел для таких случаев отвергалась, синтез же искали в геометрии.

Это открытие, нарушившее непринужденную гармонию арифметики и геометрии, вероятно, было сделано в последние десятилетия пятого столетия до н.э. Сверх того, обнаружилась другая трудность – обнаружилась в соображениях о реальности изменений, и этим философы занимаются до наших дней. Открытие этой новой трудности приписывают Зенону Элейскому (около 450 т. до н.э.), ученику Парменида, философа-консерватора, который учил, что разум постигает только абсолютное бытие и что изменение есть только кажущееся. Это приобрело математическое значение тогда, когда в связи с такими задачами, как определение объема пирамиды, стали заниматься бесконечными процессами. Здесь парадоксы Зенона оказались в противоречии с некоторыми давними и интуитивными представлениями относительно бесконечно малого и бесконечно большого. Всегда считали, что сумму бесконечно многих величин можно сделать сколь угодно большой, даже если каждая величина крайне мала (), а также что сумма конечного или бесконечного числа величин размера нуль равна нулю (). Критика Зенона была направлена против таких представлений, и его четыре парадокса вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь. Эти парадоксы дошли до нас благодаря Аристотелю и известны под названиями Ахиллес, Стрела, Дихотомия (деление на два) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Парадоксы Ахиллес и Дихотомия, которые мы излжим своими словами, разъяснят нам суть этих рассуждений.

Аргументы Зенона показали, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число малых отрезков, каждый из которых – конечной длины. Они показали также, что мы встречаемся с затруднениями при объяснении того, каков смысл заявления, что прямая «состоит» из точек. Весьма вероятно, что сам Зенон не имел представления о том, к каким математическим выводам приводят его рассуждения. Проблемы, приведшие к парадоксам Зенона, неизменно возникают в ходе философских и теологических дискуссий. Мы в них видим проблемы, связанные с отношением потенциальной и актуальной бесконечности. Впрочем, Поль Таннери считал, что рассуждения Зенона прежде всего были направлены против пифагорейского представления пространства как суммы точек («точка есть единица положения»). Как бы дело ни обстояло, несомненно, что рассуждения Зенона оказывали влияние на математическую мысль многих поколений. Его парадоксы можно сопоставить с теми, которыми пользовался в 1734 г. епископ Беркли, показывая, к каким логическим нелепостям может привести плохая формулировка положений математического анализа, но не предлагая со своей стороны лучшего обоснования.

После открытия иррационального соображения Зенона стали даже еще больше беспокоить математиков. Возможна ли математика как точная наука? Таннери полагал, что мы можем говорить о «настоящем логическом скандале» – о кризисе греческой математики. Если дело обстояло именно так, то этот кризис начинается под конец Пелопонесской войны, закончившейся падением Афин (404 г. до н.э.). Тогда мы можем обнаружить связь между кризисом в математике и кризисом общественной системы, так как падение Афин означало смертный приговор владычеству рабовладельческой демократии и начало нового периода главенства аристократии – кризис, который был разрешен уже в духе новой эпохи.

5. Для этого нового периода греческой истории характерно то, что растет богатство определенной части правящих классов и равным образом растут нищета и необеспеченность бедняков. Правящие классы все больше средств для существования получали за счет рабского труда. Это давало им досуг для занятий искусством и наукой, но заодно все более усиливало их нерасположение к физическому труду. Эти досужие господа с презрением относились к труду рабов и ремесленников, и успокоения от забот они искали в занятиях философией и этикой индивидуума. На таких позициях стояли Платон и Аристотель. В «Республике» Платона (написанной, вероятно, около 360 г. до н.э.) мы находим самое четкое выражение идеалов рабовладельческой аристократии. «Стражи» в республике Платона должны изучать «квадривиум», состоящий из арифметики, геометрии, астрономии и музыки, для того чтобы понимать законы вселенной.

Такая интеллектуальная атмосфера (по крайней мере, в своем раннем периоде) была благоприятна для обсуждения основ математики и для умозрительной космогонии.

По меньшей мере три больших математика этого периода были связаны с Академией Платона,. а именно Архит, Теэтет (ум. в 369 г.) и Евдокс (ок. 408–355). Теэтету приписывают ту теорию иррациональных, которая изложена в десятой книге «Начал» Евклида. Имя Евдокса связано с теорией отношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с так называемым методом исчерпывания, который позволил строго проводить вычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокс преодолел «кризис» в греческой математике и что его строгие формулировки помогли определить направление развития греческой аксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики.

Евдоксова теория отношений покончила с арифметической теорией пифагорейцев, применимой только к соизмеримым величинам. Это была чисто геометрическая теория, изложенная в строгой аксиоматической форме, и она сделала излишними какие-либо оговорки относительно несоизмеримости или соизмеримости рассматриваемых величин.

Типичным является «Определение V» книги V «Начал» Евклида: Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. Современная теория ирационального числа, построенная Дедекиндом и Вейерштрассом, почти буквально следует ходу мыслей Евдокса, но она открывает значительно более широкие перспективы благодаря использованию современных математических методов.

«Метод исчерпывания» (термин «исчерпывание» впервые появляется у Григория Сен Венсана, 1647 г.) был ответом школы Платона Зенону. Метод обходил все ловушки бесконечно малого, попросту устраняя их, так как сводил проблемы, в которых могли появиться бесконечно малые, к проблемам, решаемым средствами формальной логики. Например, если требовалось доказать, что объем  тетраэдра равен одной трети объема  призмы с тем же основанием и той же высотой, то доказательство состояло в том, чтобы показать абсурдность как допущения, что , так и допущения, что . Для этого была введена аксиома, известная теперь как аксиома Архимеда (Формулировка Архимеда, который явно приписывает ее Евдоксу, такова: «Если два пространства не равны, то можно столько раз сложить с собою разность, на которую большее превосходит меньшее, чтобы она превзошла любое конечное пространство»). Она лежит в основе теории отношений Евдокса, а именно: «о тех величинах говорят, что они находятся в некотором отношении одна к другой, которые могут, будучи умножены, превзойти одна другую» (Евклид V, Определение 4). Этот метод, который у греков и в эпоху Возрождения стал стандартным методом точного доказательства при вычислении площадей и объемов, был вполне строг, и его легко превратить в доказательство, отвечающее требованиям современной математики.

Большим недостатком этого метода было то, что надо было заранее знать результат, чтобы его доказать, так что математик должен был сперва прийти к результату менее строгим путем, с помощью проб и попыток.

Есть ясные указания на то, чго такого рода иной метод действительно использовался. Мы располагаем письмом Архимеда Эратосфену (около 250 г. до н.э.), которое было обнаружено лишь в 1906 г. и в котором Архимед описывает нестрогий, но плодотворный способ получения результатов. Это письмо известно под названием «Метод». С. Лурье выдвинул предположение, что в нем выражены взгляды математической школы, которая соперничала со школой Евдокса, возникла, как и та, в период кризиса и связана была с Демокритом, основателем атомистики. Согласно теории Лурье, школа Демокрита ввела понятие «геометрического атома». Предполагалось, что отрезок прямой, площадь, объем состоят из большого, но конечного числа неделимых «атомов». Вычисление объема тела было суммированием объемов всех «атомов», из которых состояло тело. Эта теория может показаться нелепой, если не вспомнить, что некоторые математики эпохи до Ньютона, особенно Виет и Кеплер, в сущности, пользовались такими же понятиями и считали окружность составленной из очень большого числа крошечных отрезков. Нет никаких данных за то, что в древности на такой основе был развит строгий метод, но наши современные понятия предела дали возможность превратить эту «атомную» теорию в теорию столь же строгую, как и метод исчерпывания. Даже в наши дни мы обычно пользуемся таким понятием «атома» при постановке математических задач в теории упругости, в физике или в химии, оставляя строгую теорию с переходами к пределу профессиональным математикам.

Преимущество «атомного» метода перед методом исчерпывания в том, что первый облегчает нахождение новых результатов. Итак, у античности был выбор между строгим, но относительно бесплодным методом и методом с шатким обоснованием, но более плодотворным. Поучительно, что почти все классические авторы применяют первый метод. Это опять-таки может быть связано с тем, что математика стала коньком праздного класса, опиравшегося на рабство, равнодушного к изобретениям, с созерцательными интересами. Возможно и то, что в этом сказалась победа в области философии математики идеализма Платона над материализмом Демокрита.

6. В 334 г. до н.э. Александр Македонский начал завоевание Персии. В 323 г., когда он умер в Вавилоне, весь Ближний Восток был в руках греков. Полководцы Александра разделили между собой его завоевания, и со временем возникли три империи: Египет, под властью Птолемеев; Месопотамия и Сирия, под властью Селевкидов; Македония, под властью Антигона и его преемников. Даже в долине Инда были греческие князья. Началась эпоха эллинизма.

Прямым последствием походов Александра было то, что ускорилось проникновение греческой цивилизации в обширные районы восточного мира. Эллинизировались Египет, Месопотамия, часть Индии. Греки хлынули на Ближний Восток – торговцы, купцы, врачи, путешественники, наемники, искатели приключений. В городах – многие из них были недавно основаны, что было легко распознать по их эллинистическим названиям, – военное дело и администрация были в руках греков, население было смешанным, греко-восточным. Но эллинизм был существенно городской цивилизацией. Село сохранило свое коренное население и свой традиционный жизненный уклад. В городах же старая культура Востока соприкасалась с импортированной цивилизацией греков и частично смешалась с нею, хотя всегда оставалось в силе глубокое различие этих двух миров. Монархи эпохи эллинизма следовали восточным обычаям, решали восточные проблемы управления, но поощряли греческое искусство, греческую литературу и греческую науку.

Так и греческая математика была пересажена в новую среду. Она сохранила многие свои прежние особенности, но испытала влияние тех административных и астрономических запросов, которые выдвигал Восток. Такое тесное соприкосновение греческой науки с Востоком оказалось исключительно плодотворным, особенно в первые столетия. Фактически вся действительно творческая работа, которую мы называем «греческой математикой», была проделана за сравнительно короткий срок от 350 до 200 г. до н.э., от Евдокса до Аполлония, и даже достижения Евдокса известны нам только в том истолковании, в каком мы их находим у Евклида и Архимеда. Замечательно также, что наибольшего расцвета эта эллинистическая математика достигла в Египте Птолемеев, а не в Месопотамии, хотя в Вавилоне коренная математика была на более высоком уровне.

Возможно, что это было обусловлено центральным положением Египта той эпохи в средиземноморском мире. Его новая столица, Александрия, построенная на берегу моря, стала умственным и хозяйственным центром эллинистического мира. Вавилон же прозябал, как отдаленный центр караванных путей, да и вовсе сходил со сцены – его сменил Ктесифон-Селевкия, новая столица империи Селевкидов. Насколько нам известно, ни один из великих греческих математиков не был когда-либо связан с Вавилоном. В Антиохии и Пергаме, тоже городах Селевкидской империи, но более близких к Средиземному морю, были важные школы греческой науки. Однако коренная вавилонская астрономия и математика как раз при Селевкидах достигли своей высшей точки, и мы только теперь начинаем лучше понимать, насколько существенно было их воздействие на греческую астрономию. Кроме Александрии, были и другие центры математической науки, прежде всего Афины и Сиракузы. Афины стали образовательным центром, а Сиракузы дали Архимеда, величайшего греческого математика.

О жизни Евклида мы не имеем никаких достоверных данных. Вероятно, он жил во времена первого Птолемея (306–283), которому, согласно преданию, он заявил, что к геометрии нет «царской дороги». Его наиболее знаменитое и наиболее выдающееся произведение – тринадцать книг его «Начал» (Stoicheia), но ему приписывают несколько других меньших трудов. Среди последних так называемые «Данные» (Data), содержащие то, что мы назвали бы приложениями алгебры к геометрии, но все это изложено строго геометрическим языком. Мы не знаем, какая часть этих трудов принадлежит самому Евклиду и какую часть составляют компиляции, но во многих местах проявляется поразительная проницательность. Это первые математические труды, которые дошли до нас от древних греков полностью. В истории Западного мира «Начала», после Библии, вероятно, наибольшее число раз изданная и более всего изучавшаяся книга. После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга, преимущественно в рукописном виде, была основной при изучении геометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована часто буквально из первых шести книг «Начал», и традиция Евклида до сих пор тяготеет над нашим элементарным обучением. Для профессионального математика эти книги все еще обладают неотразимым очарованием, а их логическое построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше, чем какое бы то ни было другое произведение.

Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теорем из системы определений, постулатов и аксиом. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. Исходя из наиболее простых свойств линий и углов, мы приходим здесь к равенству треугольников, равенству площадей, теореме Пифагора (I, 47), построению квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику, к золотому сечению, кругу и к правильным многоугольникам. В книге V изложена евдоксова теория несоизмеримых в ее чисто геометрической форме, в книге VI эта теория применена к подобию треугольников. Такое введение подобия – на столь позднем этапе – составляет одно из наиболее существенных различий между изложением планиметрии у Евклида и современным. Приписать его следует тому значению, которое Евклид придавал новой евдоксовой теории несоизмеримых. Эти геометрические рассмотрения завершаются в десятой книге, которую многие считают наиболее трудной у Евклида. В ней дана геометрическая классификация квадратичных иррациональностей и корней квадратных из них, то есть тех чисел, которые мы представляем в виде . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. От телесных углов, объемов параллелепипедов, призм и пирамид мы доходим здесь до шара и до того, что по замыслу должно, видимо, венчать весь труд: исследования пяти правильных («Платоновых») тел и доказательства, что их существует только пять.

Книги VII – IX посвящены теории чисел, но не технике вычислений, а таким «пифагорейским» вопросам, как делимость целых чисел, суммирование геометрических прогрессий, и некоторым свойствам простых чисел. Тут мы встречаем и «алгоритм Евклида» для определения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, и «теорему Евклида», что простых чисел бесконечно много (IX, 20). Особый интерес представляет теорема VI, 27: в ней идет речь о первой из дошедших до нас задач на максимум и доказывается, что из прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пятый постулат книги I (неясно, в каком отношении находятся у Евклида «аксиомы» и «постулаты») эквивалентен так называемой «аксиоме параллельных», согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную. Попытки сделать из этой аксиомы теорему заставили в девятнадцатом столетии полностью оценить мудрость Евклида: это утверждение было признано аксиомой и в связи с этим были открыты другие, так называемые неевклидовы геометрии.

Алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно в геометрическом виде. Выражение вида  вводится как сторона квадрата с площадью , произведение  – это площадь прямоугольника со сторонами  и . Такой способ представления прежде всего был вызван теорией отношений Евдокса, в которой сознательно отвергались численные выражения для отрезков прямой и, таким образом, несоизмеримые рассматривались только геометрически: «числами» считались только целые числа или рациональные дроби.

Какую цель ставил себе Евклид, когда писал свои «Начала»? Мы можем с известной уверенностью полагать, что он хотел совместно изложить в одном труде три великих открытия недавнего прошлого: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел, занимавших выдающееся место в космологии Платона. То были три типично «греческих» достижения.

Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую теперь мы называем интегральным исчислением: теоремы о площадях плоских фигур и об объемах тел. В «Измерении круга» он нашел приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками. Дойдя в этом приближении до многоугольников с 96 сторонами, он нашел (в наших обозначениях), что

Обычно об этом сообщают, говоря, что  примерно равно . В книге Архимеда «О сфере и цилиндре» мы находим выражение для поверхности сферы (в таком виде: поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга) и для объема сферы (в таком виде: объем сферы равен  объема описанного цилиндра).

В своей книге «Квадратура параболы» Архимед дал выражение для площади параболического сегмента ( площади вписанного треугольника с основанием таким же, как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). В книге о «Спиралях» мы находим «спираль Архимеда» и вычисление площадей, а в книге «О коноидах и сфероидах» – объемы некоторых тел, образованных вращением кривых второго порядка.

Имя Архимеда связано также с его теоремой о потере веса телами, погруженными в жидкость. Эта теорема находится в трактате по гидростатике «О плавающих телах».

Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мысли сочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостью доказательств. Характерны для этой строгости уже упомянутая «аксиома Архимеда» и постоянное использование метода исчерпывания при доказательстве его интеграционных результатов. Мы видели, что фактически он находил эти результаты более эвристическим путем («взвешивая» бесконечно малые), но затем он публиковал их, соблюдая самые жесткие требования строгости.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческих математиков Греции. Это придает его трудам, при всех их типично греческих особенностях, восточный оттенок. Такой отпечаток заметен в его «Задаче о быках» – очень сложной задаче неопределенного анализа, которую можно истолковать как задачу, приводящую к уравнению

типа «уравнения Пелля», которое решается в очень больших (целых) числах. Это лишь одно из многих указаний на то, что традиции Платона никогда безраздельно не господствовали в математике эллинизма, и на то же самое указывает эллинистическая астрономия.

(запись однородная, у Аполлония  и  – отрезки; знак «+» дает гиперболу, знак «–» дает эллипс). Парабола здесь значит «приложение», эллипс – «приложение с недостатком», гипербола – «приложение с избытком». Аполлоний не располагал нашим координатным методом, потому что он не располагал алгебраическими обозначениями (вероятно, он сознательно, под влиянием школы Евдокса, отвергал их). Однако многие его результаты можно сразу записать на языке координат, включая свойство эволют, совпадающее с тем, что выражается их уравнением в декартовых координатах. То же самое можно сказать о других книгах Аполлония, которые сохранились частично. Они содержат «алгебраическую» геометрию на геометрическом языке и поэтому в однородной записи. Здесь мы находим задачу Аполлония: построить окружность, касательную к трем заданным окружностям; окружности можно заменить прямыми или точками. У Аполлония мы впервые встречаем в явном виде требование, чтобы геометрические построения выполнялись только с помощью циркуля и линейки. Следовательно, это не было столь общим «греческим» требованием, как иной раз утверждают.

Самым древним из известных нам греческих достижений в теоретической астрономии является планетная теория Евдокса, уже знакомого нам в качестве вдохновителя Евклида. Это была попытка объяснить движение планет (вокруг Земли) с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными в охватывающей сфере. Это было нечто новое и типично греческое, больше объяснение, чем регистрация небесных явлений. При всей своей внешней примитивности теория Евдокса заключала в себе основную идею всех планетных теорий вплоть до семнадцатого столетия – объяснение неправильностей видимого движения Луны и планет наложением круговых движений. Эта идея лежит в основе и вычислительной части современной динамической теории, поскольку мы вводим ряды Фурье.

За Евдоксом последовал Аристарх Самосский (ок. 280 г. до н.э.), «Коперник античности», которому Архимед приписывает гипотезу, что центром в движении планет является Солнце, а не Земля. У этой гипотезы в древности было мало приверженцев, хотя широко было распространено убеждение в том, что Земля вращается вокруг своей оси. Что гелиоцентрическая гипотеза имела мало успеха, объясняется преимущественно авторитетом Гиппарха, которого часто называют величайшим астрономом античности.

Гиппарх из Никеи вел наблюдения между 161 и 126 г. до н.э. Непосредственно от него до нас дошло немного – главным источником сведений о его достижениях является Птолемей, живший тремя столетиями позже. Многое в большом труде Птолемея, в «Альмагесте», может быть приписано Гиппарху, в частности применение эксцентрических кругов и эпициклов для объяснения движения Солнца, Луны и планет, а также открытые предварения равноденствий. Гиппарху приписывают также определение широты и долготы астрономическими средствами, но в древности ни разу не смогли так организовать научные работы, чтобы можно было в больших масштабах выполнить съемку местности. (Ученые в древности попадались редко как в пространстве, так и во времени.) Труды Гиппарха тесно связаны с достижениями вавилонской астрономии, которая в его время достигла больших высот. Можно считать эти труды наиболее важным научным плодом греко-восточных связей в эпоху эллинизма.

Пока Римская империя сохраняла известную устойчивость, восточная наука, своеобразная смесь эллинистических и восточных составных частей, продолжала процветать. Постепенно снижалась оригинальность, слабела движущая сила, но установленный римлянами на столетия мир (pax Romana) позволял без помех заниматься традиционными теориями. В течение нескольких столетий с «римским миром» сосуществовал «китайский мир» – pax Sinensis. Евразийский континент зa всю свою историю не имел такого долгого мирного периода, как при Антонинах в Риме и при династии Хань в Китае. Это облегчало проникновение знаний по континенту, из Рима и Афин в Месопотамию, Китай и Индию. Эллинистическая наука, как и прежде, проникала в Китай и Индию, испытывая в свою очередь влияние науки этих стран. Отблеск вавилонской астрономии и греческой математики падал на Италию, Испанию и Галлию – тому примером распространение в Римской империи деления угла и часа на шестьдесят частей. Существует теория Ф. Вёпке (F. Woepcke), по которой распространение в Европе так называемых индийско-арабских цифр связано с неопифагорейскими школами поздней Римской империи. Возможно, что это верно, но если эти цифры настолько стары, то более вероятно, что на их распространение повлияла торговля, а не философия.

Александрия оставалась центром античной математики. Велись оригинальные исследования, хотя компилирование и комментирование все более становилось основным видом научной деятельности. Многие результаты античных математиков и астрономов дошли до нас в трудах этих компиляторов, и порой очень трудно выделить то, что они передают и что они открыли сами. Пытаясь проследить постепенный упадок греческой математики, мы должны учитывать и ее техническую сторону: неуклюжий геометрический способ выражения при систематическом отказе от алгебраических обозначений, что делала почти невозможным какое-либо продвижение «за» конические сечения. Алгебру и вычисления оставляли презренным людям Востока, на чье учение был нанесен тонкий слой греческой цивилизации. Однако неверно утверждение, что александрийская математика была чисто греческой в традиционном понимании Евклида–Платона: вычислительной арифметикой и алгеброй египетско-вавилонского типа занимались бок о бок с абстрактными геометрическими рассуждениями. Достаточно вспомнить о Птолемее, Героне и Диофанте, чтобы в этом убедиться. Объединяло различные расы и школы только пользование греческим языком.

12. Одним из самых ранних александрийских математиков римского периода был Никомах из Герасы (ок. 100 г.), чье «Арифметическое введение» – наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорейской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но тогда как у Евклида числа изображаются отрезками, Никомах пользуется арифметическими обозначениями и, если имеет дело с неопределенными числами, обычной речью. Полигональные и пирамидальные числа Никомаха оказали влияние на средневековую арифметику, главным образом через Боэция.

Одно из крупнейших произведений этого второго александрийского периода — «Великое собрание» Птолемея, более известное под арабизированным названием «Альмагест» (ок. 150 г.). «Альмагест» – астрономический труд высшего мастерства и весьма оригинальный, хотя многие из его идей идут от Гиппарха или от Кидинну и других вавилонских астрономов. В нем есть и тригонометрия с таблицей хорд для углов от 0° до 180°, соответствующая таблице синусов для углов от 0° до 90° через полградуса. Для синуса угла в 1° Птолемей нашел значение

(точное значение 0,017453...), для  его значение . В «Альмагесте» мы находим формулу для синуса и косинуса суммы и разности двух углов и зачатки сферической тригонометрии. Теоремы формулируются геометрически – наши современные тригонометрические обозначения идут лишь от Эйлера (восемнадцатый век). В «Альмагесте» мы находим и «теорему Птолемея» о четырехугольнике, вписанном в окружность. В «Планисферии» Птолемея рассматривается стереографическая проекция, а в его «Геометрии» положение на Земле определяется с помощью долготы и широты. Последние, таким образом, являются давним примером координат на сфере.

На стереографической проекции основана конструкция астролябии – прибора, который применяли для определения положения на Земле. Астролябия была известна в древности, и ею широко пользовались до введения октанта, позже – секстанта, в восемнадцатом веке.

Несколько старше Птолемея Менелай (ок. 100 г.). В его «Сферике» содержится геометрия сферы и рассматриваются сферические треугольники – предмет, которого нет у Евклида. Здесь мы находим «теорему Менелая» для треугольника в обобщенном для сферы виде. В астрономии Птолемея немало вычислений в шестидесятичных дробях, а трактат Менелая геометричен строго в духе евклидовой традиции.

К эпохе Менелая, возможно, относится и Герон, – во всяком случае мы знаем, что он точно описал лунное затмение 62 г.. Герон был энциклопедистом, он писал на геометрические, вычислительные и механические темы, его произведения – любопытная смесь греческого и восточного. В своей «Метрике» он выводит «формулу Герона» для площади треугольника () чисто геометрическим образом; сам результат приписывается Архимеду. В той же «Метрике» мы находим типично египетские «основные» дроби, например в приближении для  () Формулу Герона для объема усеченной пирамиды с квадратным' основанием без труда можно свести к формуле, имеющейся в Московском папирусе. Напротив, определение объема пяти правильных многогранников у Герона – в духе Евклида.

13. Еще сильнее восточный колорит в «Арифметике» Диофанта (ок. 250 г.). Уцелели только шесть книг оригинала, общее их число – предмет догадок. Искусная трактовка в них неопределенных уравнений показывает, что древняя алгебра Вавилона или, быть может, Индии не только существовала под тонким слоем греческой цивилизации, но ее совершенствовали немногочисленные деятели эпохи. Как и когда это происходило, мы не знаем, как не знаем, кем был Диофант, – возможно, что он был эллинизированный вавилонянин. Его книга – один из наиболее увлекательных трактатов, сохранившихся от греко-римской древности.

В собрание Диофанта входят весьма разнообразные задачи, а их решения часто в высшей степени остроумны. «Диофантов анализ» состоит в нахождении решений неопределенных уравнений вида  или систем таких уравнений. Типично для Диофанта то, что его интересуют только положительные рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получались искомые положительные рациональные решения.

Среди этих уравнений мы обнаруживаем такие, как  и , теперь известные как «уравнения Пелля». У Диофанта есть несколько теорем теории чисел, как, например, теорема (III, 19), что произведение двух целых чисел можно двумя способами представить как сумму двух квадратов, если каждый сомножитель – сумма двух квадратов. Есть и теоремы о разбивке числа на сумму трех и четырех квадратов. У Диофанта мы впервые встречаем систематическое использование алгебраических символов. У него есть особые знаки для неизвестного, для минуса, для обратной величины. Эти знаки все еще скорее сокращения, чем алгебраические символы в нашем смысле (они образуют так называемую реторическую алгебру); для каждой степени неизвестного был особый символ. Нет сомнения, что здесь перед нами не только арифметические вопросы вполне алгебраического характера, как в Вавилоне, но и хорошо развитые алгебраические обозначения, которые весьма способствовали решению задач значительно более сложных, чем любые ранее поставленные.

14. Последний из больших александрийских математических трактатов написан Паппом (конец третьего столетия). Его «Собрание» («Synagoge») – нечто вроде учебника для изучающих греческую геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств. Скорее всего, трактат надо было читать вместе с оригинальными трудами, а не самостоятельно.

Многие результаты древних авторов известны только в той форме, в какой они сохранились у Паппа, например задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Интересна глава об изопериметрических фигуpaх с положением, что круг имеет большую площадь, чем любой правильный многоугольник того же периметра. Здесь есть и замечание, что пчелиные соты обладают некоторыми максимально-минимальными свойствами. Полуправильные тела Архимеда тоже известны благодаря Паппу. Как и «Арифметика» Диофанта, «Собрание» Паппа – книга, которая будит мысль, и ее задачи вдохновляли многих исследователей более поздних времен.

Вопрос об алгебре у греков можно будет разъяснить только после дальнейшего изучения связей греческой математики и вавилонской алгебры в общей системе связей между Грецией и Востоком.