Лекция конспектісі 6В070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы үшін


Интерполяциялау есебінің математикалық қойылымы. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі



бет24/56
Дата03.01.2022
өлшемі1.26 Mb.
#450557
түріЛекция
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   56
lektsiya konspektisi

Интерполяциялау есебінің математикалық қойылымы. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі


[a,b] кесіндісінде y=f(x) функциясы интернациялау терандары деп аталатын x ,x ,...,x нүктелеріндегі мәндерімен y0=f(x0), y=f(x ),…,y =f(x ). xi нүктелерінде у мәндерін қабылдайтын, яғни у =F(x )=f(x ),

y =F(x )=f(x ),…, y =F(x )=f(x ) теңдіктерін қанағаттандыратын F(х) функциясының аналитикалық өрнегін табу керек.Функцияның интерполяциялау тораптарында жатпайтын нүктелеріндегі мәнін есептеуді функцияны интерполяциялау деп атайды. Егер х нүктесі интерполяциялау кесіндісінің [x ,x ] сыртында жатса, онда функцияның осы нүктедегі мәнін табуды экстрополяциялау деп атайды.

Бір айнымалы функцияны y=f(x) интерполяциялаудың геометриялық мағынасы, жазықтықта координаталары (х ,у ),(х ,у ),...,(х ,у ) нүктелері арқылы өтетін қисықты тұрғызу болып табылады. Берілген нүктелер арқылы бірнеше қисықтар жүргізуге болады.

Өзінің n+1 нүктедегі мәндерімен берілген у=f(x) функциясын интерполяциялау үшін, дәрежесі n – нен жоғары емес Fn(x) көпмүшелігін былай етіп алсақ

F (x )=y ,F (x )=y ,…,F (xn)=y

бұл есеп бір мәнді болады. Бұл шартты қанағаттындаттыратын F (x) көпмүшелігін интерполяциялаушы көпмүшелік, ал оған сәйкес формуланы – интерполяция формуласы деп атаймыз. Егер F(x) үшін дәрежелік функция алынса, онда интерполяция параболалық деп аталады. Егер интерполяцияланушы функция f(x)- периодты болса, онда F(x) үшін тригонометриялық функциялар алынады. Кейбір жағдайларда рационал функциялар алынады.

Функцияны интерполяциялау кезінде мынадай сұрақтар туындайды:

1) берілген жағдай үшін интерполяциялаушы функцияны тұрғызудың ыңғайлы әдісін таңдау;

2) f(x)-ті F(x)-пен айырбастаудың қателігі;

3) интерполяциялау тораптарын қателік ең аз болатындай етіп алу.



[a,b] кесіндісінде интерполяциялау тораптарындағы х ,х ,...,х

өзінің n+1 мәнімен f(x) функйиясы берілсін, яғни



y =f(x ), y =f(x ),…, y =(x ) (1)
Интерполяциялау тораптарында х ,х ,...х мәндері берілген функцияның мәндерімен дәл келетін, яғни

L(x )=y , L(x )=y ,…, L(x )=y (2)
көпмүшелігін табу керек. Бұл жағдайда интерполяциялау тораптары бір – біріне әртүрлі қашықтықта орналасуы мүмкін, яғни h=x - x const(i=0,1,..,n-1). h-интерполяция қадамы деп аталады.

L(x) көпмүшелігін мына түрде алайық

L (x)=a +a x+…+a x

мұнда а -белгісіз коофиценттер, табу керек.

Алғашқы шарт (2) бойынша, интерполяция тораптарында интерполяциялаушы көпмүшеліктің түрі мынадай болады

L (x )=a +a x +a x +…+a x (i=0,1,…,n). (3)

Бұны n+1 белгісізі а ,а ,...,а бар n+1 теңдеу түрінде жазайық.



a +a x +a x +,,,+a x =y ,

a + a x +a x +,,,+ а x = y ,

...,


a + a x + a x +,,,+ a x = y . (4)

Мұнда х және у (і=0,1,..,n) аргумент пен функцияның кестелік мәндері.

Белгісіз коэффициенттер а , Крамер формуласы бойынша анықталады

а =

жүйенің анықтауышы.

Егер болса



жүйенің бір ғана шешімі болады x , х ,..., x .

Коофиценттерді тауып a ,a ,...,a интерполяциялық көпмүшелікті былай жазуға болады

L (x)=

бұны басқаша былай жазуға болады



L (x)=y Q (x)+y Q (x)+…+ y Q (x). (5)

Q (x)функциясы мына шартты қанағаттандыруы керек

Мұндай көпмүшеліктің түрі мынадай болады



Q (х)= (6)

x ,x ,x нүктелерінде Q (х) =0, ал х нүктесінің Q (х )=1.

(5) – формула үшін мынадай өрнек аламыз.



L (x)=y +у +... +y (7)

Бұл Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі деп аталады. Қысқаша былай жазуға болады



L (x)= (8)

Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігінің қателігі мына формуламен бағаланады



(9)

мұндағы



.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   56




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет