Торлар әдісі. Дирихле есебі үшін торлар әдісі

Торлар әдiсi немесе ақырлы айырымдар әдiсi қазiргi кезде дербес туындылы теңдеудi шешудiң кеңiнен тараған сандық әдiстерiнiң бiрi. Бұл әдiс бойынша туынды ақырлы-айырымдық қатынаспен алмастырылады.

Осы түзулердiң қиылысу нүктесi түйiн деп аталады. Егер екi түйiн Ох немесе Оу осiнiң бағытымен бiр-бiрiнен сәйкес немесе тор қадамына тең қашықтықта болса, онда олар көршi түйiндер деп аталады. Барлық төрт көршi түйiндер осы D облысына тиiстi болса, онда түйiндер iшкi түйiндер деп аталады.

Егер көршi төрт түйiннiң ең болмағанда бiреуi D облысына тиiстi емес болса, онда түйiндер шекаралық түйiндер

арқылы iзделiндi
функцияның тор түйiндерiндегi мәндерiн белгiлейiк.

Әрбiр iшкi түйiнде дербес туындыны айырымдық қатынаспен алмастырайық:

Шеттiк нүктелерде келесi формулаларды қолданамыз:

Көрсетiлген алмастырулар тордың әрбiр түйiндерiнде дербес туындылы теңдеулердi шешу – айырымдық теңдеулер жүйесiн шешуге келiп тiреледi.

Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон теңдеуi үшiн
(2)
Дирихле есебi: Қандай да бiр G облысының iшiнде (2) теңдеудi қанағаттандыратын, ал Г шекарасында
(3)
шартын қанағаттандыратын формуласын табу керек, мұндағы – берiлген үзiлiссiз функция.

және қадамдарын сәйкес х және у деп таңдап, тор тұрғызамыз және әрбiр iшкi түйiнiнде туындыларын (1) ақырлы айырымдар қатынасымен алмастырып (2) теңдеудi мына түрде жазамыз:

(4)
мұндағы

функциясының мәндерiне қатысты сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн бередi.

Дербес жағдай. Егер G облысы тiк төртбұрыш және болса, онда (4) теңдеулер былайша жазылады:

мұндағы

Айырымдық әдiспен алынған жуықтаң шешiмнiң қателiгi келесi үш қателiктерден құралады:

1.Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен ауыстырғандағы қателiктен;

2. Шеттiк шарттарды жуықтау қателiгiнен;

3. Айырымдық теңдеулер жүйесiн жуықтап шешу нәтижесiнде пайда болатын қателiктерден.

МЫСАЛ

Қабырғасы 1-ге тең, оқшауланған жазық шаршы пластинкадағы жылудың станционар үлестірімі туралы есепті пластинканың шекарасында температура тұрақты болған жағдайда қарастырайық.

3-сурет

Берілген есеп үшін шекаралық шарттар 3-суретте көрсетілген.

Шекаралық шарттардың симметриялылығын

Бұл функциясының ішкі тораптардағы белгісіз мәндерінің санын тоғыздан алтыға дейін азайтады.

Осылайша (3,1), (3,2), (3,3) тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулерді жазудың қажеті жоқ. Қалған ішкі (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) тораптарда сәйкес алты теңдеуді аламыз:

Бұл теңдеулер құрамына тағы функцияның шекаралық нүктедегі 12 мәні кіреді. Ол мәндерді біз шекаралық шарттардан аламыз:

Қалған тораптарға шекаралық шарттар қолданылмайды.

(2), (3) шарттарды ескере отырып, нақты түрде келесі жүйені аламыз:


Бұл жүйені Гаусс әдісімен шешіп, алатынымыз:

3. 
   
   
   
   жүктеу/скачать 1.26 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: