Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру

"Ұғым дегеніміз не?" Ұғым - материяныц жошрьі жсмісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі екендігі белгілі.

Ұғымды сипаттаған кезде оның жоғары үйымдасқан Цматерияның нәтижесі екендігін және материядан тұратын әлемді бейнелейтінін, сондай-ақ адамға тән арнайы іс-әрекетті білдіруі себепті ұғымның адам санасында калыптасуы, оның тікелей сөз, жазу және сан арқылы өрнектелуінен бөлінбейтіндігін басшылыққа алады.

"Математикалық ұғым дегепіміз нс?", Газа математиканың объектісі шын дүниенің кеңістік формалары мен сандық қатнастары, демек, мүның өзі де - өте реалдық материал екендігі де 1 белгілі. Математикалық объектілер өзінің накты күйінде кезле Бірақ олар адамның таза ойының жемісі емес, нақты дүниенің заңдары мен прцестерінің көрінісі. Кез-келген математикалық объект- ол қоршаған әлемдегі заттар мен құбылыстардың басқадай көптеген қасиеттерін ескерусіз қалдырып, олардың тек қана сандықжәне кеңістіктік қасиеттері мен қатнастарын ерекшелендірудің нәтижесі болып табылады. Бұл объектілердің қасиеттерінің адам миына бейнелеу процесінде математикалық I ұғым деп аталатын ойлаудың ерекше тұрі туады.

Ұғым абстракциялаумен (дерексіздендірумен) тікелей байланыста болатын жалпылау операциясы аркылы жасалады., Жалпылаудың бірнеше тұрі белгілі. Олардың бірі объектілердің өздеріне тән айырмашылықтарды ескерусіз калдырып тек қана ортақ белгілерді бөліп көрсету негізінде жасалады. Мысалы: "Үшбұрыш АВС", "үшбұрыш", "көпбұрыш". "Көпбұрыш" ұғымының ерекшелендірілген ортақ белгісі барлык көпбұрыштарға тән. Ғылыми танымда абстракциялық дсрекси делінетін осындаи ұғымдар ерекше маңызды. Олардың көмегімен объектілерді І классификациялау және өзара салыстыру, оларды бір-бірінен ажырату немесе олардың тепе-теңдігін тағайындау сияқты мәселелерді шешу мүмкін болады.

Жалпылаудың басқа тәсілі нақты деп аталатын ұғымдарды жасауға мүмкіндік береді. Мүның негізгі ерекшелігі бұл жағдайда жалпылау кезінде ортақ қасиеттерін ерекшелендіру ғана емес, сонымен бірге үтымның дербес және жеке белгілері де сақталады. Қандай да болсын ұғымды қалыптастыру процесі біртіндеп Вүзеге асырылдаы, мұнда сезісдік қабылдау (түйсік) - түсінік Іұғым тізбегіне сәйкес кезеңдер бойынша жұмыс үйымдастырылады. Мысалы "3 саны" ұғымын қалыптастыру. Ёабылдау мен түсініктен өзгеше ұғым біздің санамызі-а Іқарастырылып отырған анқты жағдайдағы мәнді белгілер мен қасиеттерді (осы ұғымның белгілері болатын) ғана сіңіреді және тұрақтандырады. Сондықтан да ұғым - оқылатын объектілердің Імәнді (ерекше) қасиеттері бейнеленетін ойлаудың формасы.

Анықталатын және анықталмайтын ұғымдар. Әрбір ұғым шмүны және көлемі бойынша қарастырылуы мүмкін. Ұғым шмүны - берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі - ол берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.

Ұғымдардың қалыптастыру процесінде олардың сөздік және Символикалық өрнектелуінің маңызы аса зор. Сөз - ұғымды таратушының міндетін атқарады. Ғылым мен техниканың қандай да )ір саласындағы нақты анықталған ұғымды білдіретін сөзді ылыми термин деп атайды.

Сонымен кез-келген ұғым терминмен, оның көлемімен және шмүнымен сипатталады.

Ұғымның мазмұныны ашу процесі оның белгілерін айқындаудан тұрады. Ұғымның барлык кал<етті және жеткілікті глгілерін байланысты сөйлем тұріне (сөздік немесе іймволикалык) келтіру дегеиіміз \іымды щатематикалық |рбъектіні) анықтап беру болып табылады.

Демек математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы |осы ұғымның мазмұнын (мән-мағынасын ашатын) сөйлем.

Кейбір алғашқы (бастапқы, іргелі, алғашқы) математикалық ^ұғымдар анықталмайды олар аксиомалардың көмегімен жанама Ітұрде анықталады немесе постулаттар аркылы ұғымға қойылатын Іұғымдардың арасындағы қатанастарға да) талаптар көрсетіліп Гберіледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатнастар: тиісті, |расында жатады, өлшемнің (өлшеуіштің) бар болуы және т.с.с.

Негізгі (бастапкы, іргелі, алғашқы) ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда ашылады. Мысалы: "екі нүкте аркылы өтетін бір ғана _; түзу жүргізуге болады".

Аксиома {ахіома - грек сөзі, беделді сөйлем, "қабылдауға болатын" аудармасында "жеткілікті дәрел<:еде мойындалуы тиіс" Гдегенді білдіреді) дегеніміз - қандай да бір (дербес жағдайда ,;математикалық) теорияны дедуктивтік жолмен күру кезінде дәлелдеусіз қабылданатын, яғни осы теорияньщ (теореманың) засқа қағидаларын дәлелдеу үшін тірек немесе сілтеме ретінде қабылданатын түжырым болып табылады. Ал - постулат шШіайип - талапты білдіреді деген латын сөзі) дегеніміз кейбір ғымдар немесе олардың арасындағы қатнастар рнағаттандырылуы тиіс қандай да бір талаптарды, шарттарды мдіретін сөйлем. Көп жағдайда постулаттар қандай да ұғымның анықтамасын немесе кейбір ұғымдар жүйесінің бөлігі болып келеді. Мысалы: эквиваленттік қатнастың анықтамасында үш постулат шарт бар.

Ұғымдарды анықтаудың әр тұрлі тәсілдері бар. Оларды өте-мөте айқын және айқын емес сияқты негізгі екі топқа бөледі. Мәселен айқын анықтама екі ұғымды беттестіретіндей, теңестіретіндей теңдік тұрінде беріледі. Мысалы: тік бұрышты I үшбұрыш дегеніміз - ол тік бұрышы бар үшбұрыш". Тік бұрышты үшбұрыштың осы анықтамасы шартты тұрде "а дегеніміз в" дегенді білдіреді.

Айқын емес анықтама екі ұғымды теңестіргендей тұрде берілмейді. Мұндай анықтамалардың мысалы ретінде контексуалдық және остенсивтік деп аталатын анықтамаларды атауға болады. Контекстуалдық анықтамаларда жаңа ұғымның мазмұны текстінің үзіндісі аркылы, яғни текстегі хабарламаның желісіне орай енгізілетін ұғымның мән-мағынасын нақты жағдайда сипаттау барысында ашылады.Бұған бастауыш мектептсгі тенлсулі және оның шешуін анықтап беру жолдары мысал бола алады. Объектіні көрнекі көрсету арқылы термин енгізілгенде остенсивтік анықтамалар пайдаланылады. Бұл тәсілмен бастауыш мектепте "сандық теңдік" және "сандық теңсіздік" ұғымдарын анықтайды.

Ұғымның мынандай жолдармен де анықталуы мүмкін:

1. Генетикалық немесе конструктивтік (ұғымның шығу тегін көрсететін) тәсілмен, мысалы: үшбұрыш, шеңбер ұғымдарын

анықтау.

2. 
   Индуктивтік жолмен, мысалы: арифметикалық прогрессия
   уғымын анықтау.
   
3. 
   Абстракцияның (дерексіздендірудің) көмегімен, мысалы:
   натурал сан ұғымын эквивалентті болатын шектеулі жиындар
   

4. Аксиоматикалық (ұғым бастапқы деп есептелініп, олардың

уғымын аксиомалар арқылы (Пеано аксиомаларына негіздей : отырып) енгізу.

5. Ең жақын тегін және тұрлік айырмашылығын айқын бөліп ішрсету" бұл тәсілдің мәнісі анықталатын ұғымды негізгі және бурыннан белгіліұғымдарға келтіру болып табылады" пркьпы, мысалы: квадрат ұғымын анықтау.

Алгоритм ұғымы. Туғанна бастап баланы тәрбиелеу олардан -әртұрлі ережелерді (ертеңгісін жуыну, киіну және шешіну, тамақ *⁵ ішу, жолдан өту және т.б.) меңгеруді және қатаң орындауды талап етеді. Одан әрі бала-бақшада және мектепте тәрбиеленушінің орныққан күн тәртібі болады және оларды оқыту белгілі бір реттпен өтеді, ал барлық мүмкін болатын ойындар ереже бойынпіа уйымдастырылады. Демек, кез-келғеч іс-әрекет анықта-ігаіі лха\ (уйғарым) бойынша орындалады. Адам жас кезінен бастаи-ак күнделікті өмірде көбінесе, оның не екенін білмесе де әр алуан алгоритмді меңгереді және орындайды.

Алгоритм дегеніміз не? Бір типті (типтес) мсәселелер, айталық көп таңбалы екі санды косы, көшеден өту, кесіндінің үзындылығын өлшеу және т.б. жиі кездеседі. Берілген типтес (бір типті) мәселелерді (есептердің) кез-келген тұрін шешуде пайдалануға болатын "жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?" деген сүрактың тууы заңды. Егер мұндай жалпы тәсіл бар болса, ыі^о. оны берілген мәселе (есеп) тұрінің алгоритмі дейді. Жоғарыда келтірілген есептердің әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады. Мысалы, көп таңбалы екі санды қосу есебіне қатысты алғанда көп таңбалы кез-келген санды қосуға жарайтын, яғни типтес сесптердің ішінен оның кез-келген дербес тұрін шешудің "бағанмен" қосу тәсілі белгілі.

Сонымен тәжірбиеден сезіну "алгоритм" деп берілген типтес есептердің ішінен оның кез-келгеп дербсо іурін шсшуде қандаи әрекеттерді және қандай ретпен атқарудың қажеттігін анықтайтын көпшілікке түсінікті және дәл жарлықты айтады" (Формирование элементарных математических представлений у дошкольников /под ред. А.А.Столяра. - М.: Просвещение, 19898.) деуге негіз болып отыр. Бұл қатаң математакалық анықтама емес, тәжірибеде байқалғандарға сүйеніп алгоритм ұғымын түсіндіру ғана.

Алгоритм, алгорифм - математиканың негізгі ұғымдарының (категорияларьшың) бірі болғандықтан тікелей тәжірибеге сүйеніп түсіндіріледі және қарапайым ұғымдардың терминдері аркылы оған формальді анықтама, көбінесе, берілмейді. Мәселен, бастауыш мектептен белгілі "баған тұрінде" қосу, азайту және көбейту, сондай-ақ "бұрыштап" бөлу ережелері алгоритмдер болып табылады.

Жалпы алғанда, "алгоритм деп қандай да бір бастапқы деректерден (ұсынылып отырған алгоритм үшін бастапқы деректер } болатын мүмкін жиынтықтан алынатын) басталатын және осы деректер бойынша толық анықталатын нәтижені алуға бағытталған есептеу жүргізу процесін көрсетіп беретін нақты және дәл жарлықты түсінеді" (БСЭ. Т. 1).*

Мысалы, жоғарыда келтірілген арифметикалык амалдардың | алгоритмдеріне алынатын мүмкін нәтижелер - ондық санау жүйесінде жазылған натурал сандар болуы, ал мүмкін болатын бастапқы деректер - осындай сандардың реттелген парлары болуы керек.

Сонымен, жарлықтың мазмұнында алгоритмдік процесті атқарудың нүсқауларын басқа, мыналар да кіреді.

1. 
   Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы.
   
2. 
   Нәтиженің алынуына байланысты пропестің
   аяқталғандығын білдіретін ереже.
   

Алгоритм ұғымы тек есептеу процесімен ғана емес, сонымен бірге есептің тұріне, типіне (тобына) немесе қандай есептің тұріне, | типіне және оның қандай топқа немесе класка тиісті екеніне сәйкес болатын есептің шешуімен байланысты.

"Алгоритм - есптің беріліп отырған тұріне жататын кез-келген есепті шешуге арналған саны шектеулі қайсы бір әрекеттерді орындау туралы дәл және нақты нүсқаулардың жиынтығы". (Лапчик М.П. Обучение алгоритмизации. - Омск, 1977.)

"Алгоритм (алгорифм) - белгілі бір класс күрайтын жиынтықтағы есептердің шешуге арналған нақты операциялар жүйесін ретімен орындау жайындағы дәл және накты жарлык". (Математика в понятиях, определениях и терминах, ч. 1/Под ред. Л.В. Сабинина. -М.:)

Жалпы алғанда, алгоритм бастапқы деректен ізделінеді нәтижеге қарай өрбиді де саны шектеулі қадам (әрекет) жасағаннан кейін нәтижеге жеткізеді, алайда деректердің белгілі шекарада өзгеруі мүмкін.

"Алгоритм" сөзі позициялы ондық санау жүйесінде көп таңбалы сандармен арифметикалык амалдар орындаудыті ерсжссім алғаш рет түжырымдаған IX ғасырдағы өзбек математигі - әл-Хорезми (арабша - Хорезмнен шыққан дегенді білдіреді немесе аяқталатын (аяқталмайтын) болса, онда қарастырмақшы мүмкін болатын бастапқы деректерге алгоритм жарамды (жарамды емес) болады.

Алгоритм ұғымы тек есептеу процесімен ғана емес, сонымен бірге есептің тұріне, типіне (тобына) немесе қандай есептің тұріне, типіне және оның қандай топқа немесе класқа тиісті екеніне сәйкес болатын есептің шешуімен байланысты.

"Алгоритм - есптщ беріліп отырған тұріне жататын кез-келген есепті шешуге арналған саны шектеулі қайсы бір әрекеттерді орындау туралы дәл және нақты нүсқаулардың жиынтығы". (Лапчик М.П. Обучение алгоритмизации. - Омск, 1977.)

"Алгоритм (алгорифм) - белгілі бір класс құрайтын жиынтықтағы есептердің шешуге арналған нақты операциялар жүйесін ретімен орындау жайындағы дәл және нақты жарлык". (Математика в понятиях, определениях и терминах, ч. 1/Под ред. ^; Л.В. Сабинина.-М.:)

Жалпы алғанда, алгоритм бастапқы деректен ізделінеді нәтижеге қарай өрбиді де саны шектеулі қадам (әрекет) жасағаннан кейін нәтижеге жеткізеді, алайда деректердің белгілі шекарада өзгеруі мүмкін.

"Алгоритм" сөзі позициялы ондық санау жүйесінде көп таңбалы сандармен арифметикалык амалдар орындаудьш ерсжссін алғаш рет түжырымдаған IX ғасырдағы өзбек математигі - әл-Хорезми (арабша - Хорезмнен шыққан деғенді білдіреді немесе латыншалағанда АІ£огііһті) есімінен шьжкан. Оның еңбектері арқылы ондық санау жүйесіндегі сандарға амалдар қолдану тәсілі Европаға тарады және бұл сесптеу тәсілдері ғалым есімінің латынша окылуына (транскршщиясына) ораи алгоритмдер деп аталып кетті.

Уақыт өткен сайын, әсіресе соңғы 100 жылдың ішінде, "алгоритм" сөзінің мәні де бірте-бірте кеңейе түсті. Бұл күнде алгоритм - типтес (бір типті) есептердің белгілі бір тұрінің кез-келген есебін қадамдардың шектеулі санын орындағанда шешуге (осы мақсатқа жетуге арналған әдіс) катысты жалпы әдіс немесе тәсіл, жарлық, нүсқау, ережелердің жинағы деп түсініледі.

Ұзак уақыт бойы алгоритм ұғымының дәл анықтамасы математикада болмады. Мүны осы ұғымның көлемін анықтаудағы қиындықпен қатар кейбір есептерді шешу алгоритімнің жоқ екендігі ашылғаннан кейін ғана осы ұғымның анықтамасын берудің қажеттілігі айқындаоа түскендігінен деуге болады. Алгоритмнің нақты анықтамасын бірнеше математиктер тек қана XX ғасырдаберді. Бұл анықтамалардың формалары әртұрлі болғанымен кейінірек олардың эквивалентті екендігі анықталады. Және де XX ғасырдың 20-30 жылдарында алгоритмдердің жалпы (ортақ) қасиетін зерттейтін математиканың бір бөлімі - алгоитмдер теориясы қалыптаса бастады.

Алгоритм - математиканың және әр тұрлі автоматгы құрылғылардың, соның ішінде қазіргі электорнды есептеу машиналарының (ЭЕМ) көмегімен информацияны (мәліметгерді) сақтау, турлендіру және ұсыну тәсілдерін зерттейтін, математикадан бөлініп шыққан жас ғылым саласы информатиканың іргелі ұғымдарының бірі. Кейбір іс-әрекетті I орындауға қатысты алгоритмнің болуы осындай іс-әрекеттің әр I турлі автоматты құрылғыларға, роботтарға, ЭЕМ-ға беріп коюдың қажетті шартты болып табылады.

3. 
   Натурал сан мен нөл ұғымдары
   

Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай шіукірлер айтқан. Мәселен, Э.Борель (1871-1956): "Адамдардың рбілімі онда санның қандай рол атқаратынына байланысты Ғылым атына ие болуға лайық", - деп жазды. С.Стевин (1548-1620) былай |еп жазды: "Сандардың арасыида гажайъш келісшділік пен ^йлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет заңдылығы уралы күндер мен түндер бойы ойлануымыз керек...".

"Біз, - деп жазды Н.Н:Лузин (1883-1950) - бірлік ұғымын жасағаны (ашқаны емес, нақ сол жасағаны) үшін адамның данышпандылығы алдында бас июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен біргс Маіематика да лаида Оолды. Сан идеясынан - ең үлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне, содан басталада".

Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының саньш оларды санамай-ак, яғни өзара бір мәнді сәйкстікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың нәтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетгі - жиынды салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындарлан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарДЫ қолдаиуға үйренгеннбн кейін барып қана объектілер мея йралық ■- жиьгііДар^; арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық - жиындарды, онын, элемен'пері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейіи натурал саіі туралы түсінік пайда болды.

Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды¹ ғаиа емёс,' оларды белгзлеуді де, сондаи-ақ олармен амавдар ЬрЬіндаудьі да үйренді. Осынау мәселелерді шещудегі көіттегён кикіғііітыльіктар Вжёліі' Үндістанда сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын білдіртеі! нөл теріс сандар ұғымы енгізілгсннен кейін ғана сан ретінде карастырылатын болды. Натурал сандар жиыйының ' шексіздіғі туралы түсінік те бірііндеп калыитасгы. "Нагурал сан" термйнін тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций (шамамен 480-524 жылдар) қолданған.

Санаудың ондық жүйесі тұрінде біздің заманымыздың шамамен VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін ерекше белгі енгізу үндістандық ғылымның маңызды жетістігі болады. Нөл енгізілгеннен кейін ғана жазудың ондық жүйесі толығынан аяқталды. Алдымен нөлдің абақтың тиісті разрядында тастардың жоқтығын белгілеу үшін пайда болуы да ықтимал.

Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес лбъектілерге айналды және оларды математикалык объектілеп ретінде зерттеудің мүмкіндігі пайда болды. Арифметика -сандарды және олармен жүргізілетін амалдардызеттейтін ғылым, Ежелгі Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытып, жалғастырды. Орта ғасырда арифметиканьщ дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия математиктері, ал XII ғасырдан бастап - европалық ғалымдар үлес костьт.

Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдарының еңбектерінің өзінде - ақ натурал сандардың қатарының шексіздігі анықталды (б.д.д III ғ.). Натурал қатардың, жай сандар қатарының шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын жасау Евклидтің "Бастамалар" деген әңгілі туындысында және Архимедтің "Құмды санау туральГ ("Псаммит") деген кітабында карастырылады. XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын, яғни натурал сандармен есептеулер іжүргізуге негіз болған теорияларды құруға және логикалық шрғыдан негіздеуге аударылды. Санның натурал қатарындағы терең заңдылықтарды зеттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырылып, сандар теориясын да дамытуда.

Натурал сандар ұғымыныц соншалық қарапайым л^шс іабиі-и көрінетіні сондай, ғылымда үзақ уақыт бойы оны қандай да болсын рарапайым ұғымдардың терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.

Натурал санды және сандардың натурал катарын анықтаудың мейлінше әр тұрлі жолдары және соған сәйкес натурал сандар іжиынындағы операциялар (амалдар) мен қатынастарды енгізуге Іқатысты да тұрліше жолдар орын алып келеді. Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен - 0 санынан тұратын жиынның бірігуі болып табылатын теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртұрлі жолдары осыған байланысты.

Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі тұрғысынан, натурал сан деп бос емес шектеулі бір-бірімен эквивалентгі жиындар класының ортақ қасиетін айтады. Ондай тәсіл мейлінше көрнекі және істің шын мәнісінде мектепке өтілетіндерге дәл келеді. Алайда оның бір елеулі кемшілігі бар: негізгі ұғым - шектеулі жиын, бұл жағдайда белгісіз болып қалады (анықталмайды). Шектелу жиындардың айырмашылыктарын I түсіндірген кезде, әдетте, шектеулі жиындар барлық элементтерін "толық атап шығуға", бірінен соң бірін оларды "көрсетіп беруге" болатын жиындар дейді, немесе бұлар элементтерін "санап шығуға" болатын жиындар деп аталынады.

Бірінші жағдайда біз тәжірибе мен интуицияға (сезімге) негізделген сипаттаумен істес боламыз, ал екінші жағдайда - кайта есептеуге сілтеме жасау, мәнісі жөнінен жиынның "натурал катар кесіндісіне" бейнелеуін білдіреді де, натурал сан туралы тұжырымдалып қойған ұғымды қолдануды көздейді. Натурал сан ұғымына негізделиеген шектеулі жиын ұғымының мүмкін болатын формальді анықтамалары бастапқы арифметиканың мектептік курсын құруға негіз бола адмайды.

Сондықтан сандық теорияда натурал сан әуес баста-ақ шектеулі жиын элементтерінің саны ретінде, яғни жалпы ұғым болып табылатын кез-келген жиынның қуаты ұғымының жеке жағдайы ретінде қабылданғанымен, натурал сандар арифметикасын бастапқы оқыту натурал сандар туралы алғашқы түсініктерді қалыптастырудың нақты жолдарын ескемей кете алмайды. Сондықтан натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді. Санау процесшде реттік натурал сандарды пайдаланылады, ал жиынның барлық элементтерін санап шыккан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін пайдаланылады.

2.4 Сан ұғымын кеңейту мәселесі

Біз натурал сан мен нөл ұғымдарының қалай пайда болып, қалай дамығанын білеміз Сондай-ақ бұған дейін теріс емес бүтін сандар жиынын (К_онемесе Е_о) әр тұрлі )финиттік, теориялык-жиындық және аксиоматикалық) тұрғыдан құруды да қарастырғанбыз. Мүнымен қоса иатурал санды шамаларды өлшеудің нәтижесінде шығарып алуға болатындығын да оқығанбыз, яғни өлшенетін шаманы әркайсысы өлшем бірлігіне тең бірнеше бөліктерге бөлу, қандай да болсын, әйтеуір бер мағынада мүмкін болса, онда өлшеу нәтижесі (немесе шаманың өлшемі) натурал сан арқылы өрнектеледі.

Жалпы алғанда, сан және фигура ұғымдары, басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алынған. Адамдардың санауға үйренген, япш алғашкы арифметикалық есеп шығаруға уйренген он саусағын не десеңіз ол деңіз, тек әйтеуір ол ақыл-ойдың еркін творчествосының жемісі емес. Санау үшін, саналуға тиісті нәрселердің болуы ғана емес, сонымен бірге, бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа қасиеттеріне алаңдамайтын қабілет те болу керек, ал ол қабілет - тәжірибеге сүйенғен үзақ тарихи дамудың нәтижесі.

Натурал сандардың N жиыны сан ұғымын кеңейту процесіндеғі бастапқа жиын болып табылады. Өте ерте заманда пайда болған натурал сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпыланып, кейейе түсті. Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың практикалык мүқтаждығына, мәселен, шамаларды өлшеудің қажеттігіне және математиканың өзінің ішкі мүқтаждығына байланысты кейейіп отыратындыгы баііқалады. Мысалы, шамаларды неғұрлым дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууына себепші болса, теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы саладағы теориялык зерттеулерге байланысты теріс сандар ұғымы пайда болды. Бастапкыда санның ■жоқ екендігін белгілеу үшін қолданылған нөл, теріс сандар Генгізілгеннен кейін, 2 бүтін сандар жиынындағы, сондай-ак <3 рационал сандар жиынындағы толыққанды сан ретінде карастырылатын болды.

Б.э.д. V ғасырда, Пифагор мектебінде кесінді үзындығын дәл өлшеу үшін оң рационал сандардың жеткіліксіз болатындығы тағайындалды. Кейінірек, осы мәселенің шешілуіне байланысты I иррационал сандар пайда болды, ал XVI ғасырда ондык ■ бөлшектердің енгізілуіне байланысты нақты сандарға қарай қадам жасалды. Нақты санның қатаң тұрдегі анықтамасы меы нақты Цсандар жиынының қасиеттері XIX ғасырда түжырымдалды. ' Нақты сан ұғымы сандар қатарындағы ең соңғы ұғым емес. Сан ұғымын кеңейту прцесін одан әрі жалғастыра беруге болады және бұл процесс жалғасады да - мүны математиканың және басқа да ғылымдардың дамуы талап етуде. Мәселен, комплекс сандар теріс сандар сияқты, математика ғылымының іштей дамуына, атап айтқанда алгебралык теңдеулерді шешу тәжірибесіне байланысты пайда болды. Тарихи тұрғыдан алғанда, комплекс сан ұғымы XVI ғасырда екшші дәрежелі теңдеулерді шешу мәселесінен келіп шыққан. Комплекс сандар нақты сандар сияқты мөлшерді сипаттағанымен, нақты сандар терминдерінеде құрастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тиеді. Таза математикалық есптерді шешу барысында да комплекс сандарды қолдану маңызды болып саналады. Мәселен, куб теңдеулерінің нақты түбірлерін табу комплекс сандарға амалдар колдануды талап етеді. Комплекс сан деп ^^(мұндағы а,Ье К, ал / - қандай да бір символ) тұріндегі өрнекті түсінеді. Барлық комплекс сандар жиынын С деп белгілейді. Сонда 2=а+Ыкомшіскс сандардағы «з-ны оның нақты бөлігі Ь санын жорымал белгі деп атайды. Комплекс санды жазықтықта вектор тұрінде немесе нүкте тұрінде кескіндеп көрсетуге болады.

Сан ұғымын жалпылау барысында қазіргі кезде гиперкомплекс сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс сан ұғымы комплекс санға қарағанда неғүрлым кең ұғым. Гиперкомплекс сандардың қарапайым мысалы физика мен техникада, атап айтқанда электр және элкетро-техника теориясында қолданылатын векторлық алгебраның дауына себепші болған кватерниондар болып табылады. Сондай-ақ, самолет қанатының прфилін (пішінін) анықтау мен самолет теориясының негізгі заңдылықтарын қорытындылауда комплекс сандарлың қолданылуын ерекше атап айтуға болады.

Сан жайындағы жаңа түсініктердің пайда болумен бірге осы жаңа сандық объектілерге амалдар қолдану ережелерін негіздеу

қолға алынып отырылды. Алайда, сандар және оларға қолданылатын амалдар жайындағы жинақталған мәліметтер математикалық теория ретінде XIX гасырдыд скіиші жаргысында, көптеген көрнекі математиктер математиканы негіздеу мәселесімен айналыса бастағанда ғана бір жүйеге келтірілді.

Қазіргі кезде әр тұрлі сандық жиындарды мына ретпен қарастыру қабылданған: натурал сандар (Ы жиыны), бүтін сандар (2 жиыны), рационал сандар (С> жиыны), нақты сандар (К. жиыны), комплекс сандар (С жиыны)

Алгебра жалпы ұғым ретінде. Біз жиындармен, пікірлермен, предикаттармен, саыдармсн және т.б. жүрпзшетш операциялармен таныспыз. Демек бұл, операцияларды табиғаты әралуан кез-келген объектілермен жүргізуге болатындығын және бұл жағдайды оның көптеген жалпы қасиеттерінің сақталатындығын білдіреді.

[ Сондықтан табиғаты әралуан объектілерге қолданылатьш : операцияларды бірізді көзқарас негізінде зерттеуді жүзеге асыру

| мақсатында және осыған мүмкіндік туғызу үшін берілген жиындағы алгебралық операция ұғымы енгізіледі.

Біз әрбір нақты операцияньщ өз белгісі бар екендігін білеміз. Мысалы: қосу - "+" таңбасымен, азайту - "-" атңбасымен, көбейту -"л" немесе "." таңбасымен, бөлу - ":" таңбасымен

I белгіленеді.Дербес жағдайларда амалдарды алгебралық

| операциялардың мысалы ретінде қарастырғанда, бұл таңбалар сәйкес амалдардың белгіленуі ретінде пайдаланылады. Бірақ та ;жалпы алғанда, алгебралық және дербес алгебралык операцияларды белгілеу үшін *, о, т және басқа шатты таңбалар қолданылады. Сондықтан ъ элементі (х,у) элементтерімен жүргізілген операцияның нәтижесі деген былай белгіленеді: х*у, хоу, хТу және т.б.

Алгебралық операцияның таңбасы компенентерінің арасына қойылады. Сонымен бірге бұл жазу операцияның нәтижесі алгебралык операция берілгсн жиыи элсіҮісш ісрінің ренелген парына сәйкес келетін оның үшінші элементін көрсетеді.