Методические указания к лабораторной работе по курсу "Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс" для студентов всех форм обучения специальности

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

Чувствительность - это числовая величина, которая позволяет получить дополнительную информацию о поведении физической электронной системы. Интерес к чувствительности обусловлен следующими причинами:

1. 
   Чувствительность помогает оценить степень влияния вариации какого-либо внутреннего параметра на выходной параметр схемы.
   
2. 
   Чувствительность помогает сравнить варианты построения проектируемой схемы, имеющие одинаковый вектор выходных параметров при номинальных внутренних параметрах.
   
3. 
   Чувствительность определяет градиент функции, который используется при параметрической оптимизации схемы.
   

.

(25)

Это определение удобно использовать при машинных расчетах, однако величина является размерной. Наиболее широко ис­пользуются относительная или нормированная чувствительности

.

(26)

.

(27)

.

(28)

В приложениях F может быть произвольной схемной функцией, ее полюсом или нулем и т. п., в то время как h - значение параметра схемы, переменной Лапласа s, рабочей температурой и т.д.

Рассмотрим основной метод вычисления чувствительностей систем линейных алгебраических уравнений.

Допустим, что имеем систему линейных уравнений

где матрица Т и вектор x могут быть вещественными или комплексными и зависят от вектора параметров h. Запишем формальное решение системы уравнений (29)

Для грубой оценки чувствительности можно дать параметру h при­ращение h_i, найти x и использовать приближенное равенство dx/dh_ix/h_i. Практические расчеты исключают такой упрощенный подход. Прежде всего, отношение приращений x/h_i стремится к дифференциальной чувствительности только в пределе при h_i0, a использова­ние очень малых величин для h_i невозможно из-за ошибок округления. Кроме того, оценка чувствительности для каждого компонента вектора h требует составления и решения уравнений (29), что приводит к большим вычислительным затратам. Этих трудностей можно избежать, если продифференцировать систему уравнений (29) и произвести некоторые матричные преобразования.

Чтобы оценить чувствительность всех компонентов вектора х по отношению к некоторому параметру h_i, продифференцируем (29) по h_i

(31)

Преобразуем это уравнение следующим образом:

.

(32)

Вектор х можно определить, решив систему уравнений (29) с помощью LU-факторизации матрицы Т прямой и обратной подстановками. Используя это разложение с помощью прямой и обратной подстановок, решаем систему (32) и находим вектор дx/дh_i.

Заметим, что при этом рассчитываются чувствительности всех компонентов вектора х по отношению к изменению одного параметра h_i. Если требуется рассчитать чувствительность по отношению к нескольким параметрам h_i, то систему уравнений (32) необходимо формировать и решать поочередно для каждого параметра h_i.

На практике очень редко требуется оценивать чувствительность всех компонентов вектора х. Чаще имеем единственную выходную скалярную величину F, связанную с векторами х, и необходимо знать производные этой величины по нескольким параметрам h_i. Рассмотрим метод присоединенной или транспонированной системы, позволяющей разработать достаточно эффективный машинный алгоритм решения этой проблемы.

Формальное решение системы (32) имеет вид :

.

(33)

Для простоты обозначения индекс i у переменной h запи­сывать не будем. Допустим, что выходная скалярная величина F является некото­рой функцией х. Ограничимся случаем, когда F(x) является ли­нейной комбинацией компонентов вектора x

где d - постоянный вектор (вектор перестановок). Задача состоит в вычислении чувствительности скалярной функции F по отношению к параметру h. Для ее решения продифференцируем (34)

.

(35)

Подставим выражение для дx/дh из (33) в (35)

.

(36)

.

(37)

Умножим справа обе части этого равенства на матрицу Т и затем транс­понируем левую и правую части для получения системы уравнений от­носительно х^п

.

(38)

Подставим (37) в (36)

.

(39)

Для каждого параметра h_i формируется матрица дТ/дh_i и век­тор дw/дh_i, а затем определяется правая часть (39). Векторы х и х^п не зависят от индекса i параметра h_i. Чтобы воспользоваться соотношением (39), необходимо найти решение только двух систем линейных алгебраических уравнений (29) и (38) независимо от числа параметров h_i. Вычислительную процедуру метода присоединенной системы можно представить следующим образом:

Шаг 1.	Решаем систему уравнений (29).
Шаг 2.	Решаем присоединенную систему уравнений (38).
Шаг 3.	Для каждого параметра hi формируем матрицу дТ/дhi и вектор дw/дhi, подставляем в (39) и вычисляем дF/дhi.

5. 
   
   жүктеу/скачать 0.58 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: