Олимпиада есептері
жүктеу/скачать 0.61 Mb.
|
| 1
1 сынып 1. Мына функциялардың графиктерін салыңдар: а) y=sin(arcsinx) б) y=arccos Шешуі: 2. ax2002+вх1111+с=0 теңдеуінде а, в, с нақты сандар болса үш нақты түбірі бола ма? Шешуі:Жоқ. у=ах2002+вх1111+с және оның бір экстремалды нүктесі болатынын дәлелде.Осыдан берілген теңдеудің екіден артық емес әр түрлі түбірі болады. 33 3. Теріс емес нақты сандар жиынында теңдеу жүйесін шеш: Шешуі:(0;0;0), (1;1;1) Нұсқау: үш теңдеуді мүшелеп қосу керек. 4. sinх≤sin2х≤sin4х теңсіздігі орындалатын х-тың барлық нақты сан мәнін тап. Шешуі:Берілген қос теңсіздікті былай жазуға болады: Интервал әдісін қолданып және периодтылығын ескеріп, жауабын жаз. х , n 5. 0 және 1 цифрлары мен жазылған және 15-ке бөлінетін жеті орынды сандардың қосындысын тап. Шешуі:11 555 550 3-ке және 5-ке бөлінгіштік қасиетін қолдан. 6.Теңдік орындалатын ең кіші натурал n санын тап: sin(n°+80°)+sin(n°-40°)+sin(n°+70°)=sin65° Шешуі: 105 Берілген теңдікті тең түрлендіру арқылы келтір. sin( n+450) = ; 7.Теңдеуді шеш: (х2+х-1002,5)2+х2=2005 Шешуі: 1002,5=а деп белгілеп, теңдеуді (х2-а)(х2+2х+2-а) =0 түріне келтір. Сонда х1,2=± және х3,4=-1± у(х) = х2+х-а, у(у(х)) =х; у(х) =х; х2-а=0. 8. Пирамиданың төбесіндегі жазық бұрыш 180°-тан үлкен. Бір бүйір қабырғасы табанының жарты периметрінен кіші екенін дәлелде. Шешуі:АS ең үлкен пирамиданың бүйір қыры. Бүйір жағының жазбасы АS қыры арқылы жасалған бүйір жағы, осы кесіндіге орта перпендикуляр жүргізу керек және ол S арқылы өтсе , олардың қиылысуы М нүктесі болады. Осыдан Р > 2, АМ > 2АS екенін дәлелдеу керек. 34
Шешуі:1; f(х) = + анықталу аймағында монотонды өспелі, сондықтанf(х)≥f(-1)= >1.4 10.Теңсіздікті дәлелде: , х Шешуі: q(x) = x - - оң жарты осьте монотонды кемитіндігін көрсет qᴵ(x) ≥ 0, х ≥ 0 qᴵ(x) = болса теңсіздік дәлелденді. 11. Фукцияның графигін салыңдар: y = + ; + , + , + + , , Жауабы: Графигі түзу сызық. 12.Теңдеудің бүтін түбірін тап: 2 -1=2ху Берілген теңдеудің шешімі жоқ, себебі сол жағы тақ сан, ал оң жағы жұп сан. 13. Төрт таңбалы санның цифрларын кері жазғанда шыққан сан берілген саннан 4 есе кем болатын санды тап. 1000а+100в+10с+d деп белгілеу керек сонда 4(1000а+100в+10с+d)=1000d+100c+10b+a Сол жағы жұп болғандықтан , оң жағы да жұп болады , ендеше а-жұп цифр. а=2 басқа цифрды қойсақ бес орынды болады. 4d 2-ге аяқталады d=8. 4(1000*2+100в+10с+8) =1000*8+100с+10в+2 ,4(10в+с)+3=10с+в 40в+4с+3=10с+в , 13в+1=2с, в=1 ,с=7 ізделінді сан 2178 Жауабы: 2178 35 14. Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: = = = = 15. Теңдеуді шеш: + = ; Сол жағы барлық нақты сан жиынында өспелі функция, сондықтан барлық мәнді бір рет қабылдайды. мәнін функция х=-1 –ге тең болғанда қабылдайды. мәнін функция х=-1 –ге тең болғанда қабылдайды.Жауабы: х= -1. 16.а-нің қандай мәнінде теңдеу жүйесінің бір шешімі бар? а=7 Координата жазықтығында у=4- және графиктерін салу керек. (0;а) және R=3 шеңбер теңдеуі болады. 17. теңсіздігін дәлелде. 1+cos1°=2 = = бағала . Бірлік дөңгелектің секторын х (0 < х < ) катеттері а=1 , в = tgx тік бұрышты үшбұрышпен жауып сектор ауданы мен үшбұрыш ауданын салыстырып, tgx>х, 0<х< . > > және 1+cos1° = < = ; Теңсіздік дәлелденді. 18. Теңдеуді шеш: ((х-3) ) ((х-3) ) және Екінші теңдеу -5х+6=0 ((х-3) sinх)=1 Х1=3; х2=2 х=3Жауабы: х=3. 36
19. Теңдеу жүйесін шеш: Бірнеше жағдайды қарастыр: 1) х=0 және у=0 болса z өз бетінше қалады, 2) у=0 және х=0 болса z өз бетінше қалады, 3) z=0 онда х және у≠0 х=с, у=-с с кез келген сан с≠0 сондықтан бірінші теңдеуді 3у-ке, екіншіні (-у)-ке, үшіншіні х-ке көбейтіп қос. +3 у+3х + - =0 ( х+у=уz бірінші теңдеуден +ху+у(х+у)= ( z=3 үшіншіден хуz+у =0 х=- z =-3 x=-3 z=3 20. Екі құбыр бірге бассейнді 4 сағатта толтырады. Алдымен бірінші құбыр бассейннің жартысын толтырғаннан кейін оны жауып , екінші құбырды ашса, онда бассейн 9 сағатта толады. Жеке-жеке толтырса әр құбыр неше сағатта толтыра алады? Біріншісі – х, екіншісі – у болсын. Мынандай жүйе құрамыз: және Жауабы: 6 сағат және 12 сағат. 21. Егер α, β, γ үшбұрыштың бұрыштары болса, онда мына теңдіктің дұрыс екенін дәлелдеңдер: cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1 α + β + γ = π, мына формулаларды қолдана отырып, cos2x = , cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = 2 cos cos дәлелдейміз. 22.Кіші картопты тазалағанша үлкен картопты тазалаған неге оңайырақ? Бұнда ( картоп шар сияқты деп алса) онда көлемі және массасы радиустың кубына пропорционалды , беті радиустың квадратына пропорционал болады. 37 23. Теңдікті дәлелдеңдер: arctg1+ arctg + arctg = ; arctg + arctg = - tg(arctg + arctg = tg = 1 = 1 1 = 1 дәлелденді. 24. Мынандай қатынастар орындалатындай: АВ=СД=8см; АС=ВД=10см; АВ=ВС=13см; кеңістікте фигура табуға бола ма? (төбелері А, В, С, Д болатын көпбұрыштан тұрады. Ондай фигура бар. Оларды екі ұшбұрыш АВС және ВСД-дан алуға болады, екеуі бір-біріне тең беттеседі. Д С А В 25. xy = 2006 (x+y) теңдеуінің бүтін шешімі болатынын дәлелдеу керек. Берілген теңдеуді мына түрге келтіреміз: (х – 2006)(у - 2006) = 20062одан х = у = 4012. 38 Қолданылған әдебиеттер: АгахановН.Х, О.К.Полипский «Математика Районные олимпиады», Москва Просвещение, 2010. Бугулов Е.А, Б.А.Толасов «Сборник задач для подготовки к математическим олимпиадам». Северо-Осетинское книжное издательство, 1962. Горбачев Н.В. «Сборник олимпиадных задач по математике» – М.: МЦНМО, 2004. Муштари Д.Х. «Подготовка к математическим олимпиадам» МуштариД.К. – Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 2000. Фарков А.В. «Математические олимпиады в школе 5-11 классы», Москва Айрис-пресс, 2009. 39
жүктеу/скачать 0.61 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|