Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
63
В приведенном примере мы взяли предельно простую ситуацию с пятью равновероят-
ными значениями цены. Как сделать нашу модель более реалистичной? Прежде всего нужно
учесть порядок расчетов по опционам. В США ко всем опционам применяется акционный
метод расчетов, предполагающий немедленную уплату всей причитающейся за опцион суммы.
Если ожидаемый доход от 100 колла составляет при экспирации 6 долл., то для получения его
сегодняшней стоимости необходимо вычесть затраты на поддержание позиции. Если годовая
процентная ставка – 12 % (1 % в месяц), а до даты экспирации осталось 2 месяца, то из 6 долл.
следует вычесть 2 % затрат на поддержание позиции, или около 12 центов. Таким образом,
теоретическая стоимость опциона составит 5,88 долл.
Какие еще факторы можно учесть? Мы исходили из того, что все пять вариантов цены
равновероятны. Реалистично ли такое допущение? Предположим, что возможны только две
цены при экспирации, 110 и 250 долл. Если сегодня базовый контракт стоит 100, то какая из
цен более вероятна в будущем? Опираясь на опыт, большинство трейдеров скажут, что резкое
отклонение цены от ее нынешнего значения менее вероятно, чем незначительное. Иными сло-
вами, 110 долл. более вероятны, чем 250. Поэтому будущие значения нашей цены, если учесть
теорию вероятностей, должны быть близки к ее нынешнему значению. Такое распределение
показывает илл. 3.2. Теперь ожидаемый доход от 100 колла составит:
0 долл. × 10 % + 0 долл. × 20 % + 0 долл. × 40 % + 10 долл. × 20 % +
20 долл. × 20 % = +4 долл.
Если, как и прежде, к опциону применяется акционный метод расчетов, а затраты на
поддержание позиции составляют 2 %, то теоретическая стоимость равна 3,92 долл.
Заметим, что на илл. 3.2 возможные значения цены и вероятности расположены симмет-
рично. Хотя новые вероятности и изменили ожидаемый доход от 100 колла, ожидаемый доход
от любой позиции в базовом контракте по-прежнему равен нулю. Каждому повышательному
изменению цены соответствует равное по величине и вероятности понижательное изменение.
Однако мы можем считать, что ожидаемый доход от базового контракта не равен нулю и что
вероятность изменения цены в одном направлении больше, чем в другом. Взгляните на воз-
можные значения цены и вероятности на илл. 3.3. При этих новых вероятностях ожидаемый
доход от длинной позиции в базовом контракте составит:
– 20 долл. × 10 % – 10 долл. × 20 % + 0 × 30 % + 10 долл. × 25 % + 20
долл. × 15 % = +1,50 долл.
При этом ожидаемый доход от 100 колла будет равен:
0 долл. × 10 % + 0 долл. × 20 % + 0 долл. × 30 % + 10 долл. × 25 % +
20 долл. × 15 % = +5,50 долл.

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
64
Теперь ожидаемый доход от базового контракта положителен, и кажется, что можно полу-
чить прибыль, просто купив базовый контракт. Так бы и было в отсутствие других факторов.
Но что, если базовый контракт – это акции и применяется акционный метод расчетов? Покупка
акций по нынешней цене 100 долл. и поддержание позиции в них связаны с определенными
затратами. Если они будут равны ожидаемому доходу в 1,50 долл., то наши инвестиции ока-
жутся безубыточными. Чтобы длинная позиции в акциях принесла прибыль, за период владе-
ния акции должны вырасти в цене как минимум на величину затрат на поддержание позиции.
Поэтому ожидаемый доход от акций должен быть положительной величиной. Если предполо-
жить, что любая сделка с акциями совершается по цене, обеспечивающей безубыточность каж-
дой из сторон, то ожидаемый доход должен быть равен затратам на поддержание позиции.
Кроме того, по некоторым акциям выплачиваются дивиденды. Дивиденды, выплаченные
в период владения, влияют на ожидаемый доход. Купивший эти акции трейдер понесет затраты
на поддержание позиции, но получит дивиденды. В случае безубыточности сделки с акциями
ожидаемый доход на конец периода владения равен затратам на поддержание позиции минус
дивиденды. Если затраты на поддержание позиции в акциях составляют 3,50 долл., и в период
владения выплачивается дивиденд в размере 1,00 долл., то для нулевого результата ожидае-
мый доход на конец периода должен составить 2,50 долл. Трейдер, покупающий акции сегодня,
потеряет на конец периода проценты в размере 3,50 долл., но потери будут полностью компен-
сированы дивидендом в размере 1,00 долл., полученным в течение периода владения
9
, и ожи-
даемым доходом в 2,50 долл., полученным в конце периода.
На рынке, где выполняется условие безарбитражности, т. е. где в среднем нельзя рас-
считывать на получение прибыли ни при покупке, ни при продаже контракта, все поступления
и расходы, включая ожидаемый доход, должны друг друга уравновешивать. Если исходить из
безарбитражности рынка, то следует принять, что форвардная цена, т. е. средняя цена кон-
тракта на конец периода владения, равна сумме текущей цены и ожидаемого дохода, который
полностью уравновесит все прочие поступления и расходы. Если затраты, связанные с владе-
нием акциями с ценой 100 долл., составляют 4 долл., то форвард ная цена будет равна 104
долл. При выплате дивидендов по акциям в размере 1 долл. форвардная цена должна составить
103 долл. И в том, и в другом случае поступления и расходы полностью уравновешивают друг
друга.
Здесь безарбитражность и форвардная цена опреляются из
вероятностных соображений в средних значениях. Чаще под арбитражем
понимают гарантированное получение прибыли за счет рассогласования
цен различных инструментов. Так, если в примере выше форвардная цена
превышает 103 долл. и есть возможность заключить форвардный контракт на
поставку акций по этой цене с исполнением в конце периода владения, то
арбитражная прибыль достигается покупкой акций сегодня и одновременным
заключением форвардного контракта. – Прим. науч. ред.
При расчете форвардной цены учитываются характеристики контракта, а также рыноч-
ные условия. В случае акций это цена акций, продолжительность периода владения, процент-
ные ставки и дивиденды. В случае фьючерсного контракта все намного проще. Поскольку к
фьючерсным контрактам применяется фьючерсный метод расчетов, покупка фьючерсного кон-
тракта не требует немедленных денежных расходов. Кроме того, по фьючерсным контрактам
не выплачиваются дивиденды. Это означает, что форвардная цена фьючерсного контракта на
безарбитражном рынке – это просто текущая цена фьючерсного контракта. Если трейдер поку-
9
Трейдер может также заработать проценты на дивиденды, начисленные с момента получения дивидендов и до конца
периода владения. Поскольку обычно эта сумма невелика, мы ее учитывать не будем.

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
65
пает фьючерсный контракт за 100 долл., то цена безубыточности для этого контракта на конец
периода владения – 100 долл.
Возвращаясь к нашей очень простой модели, примем, что рынок базового актива обла-
дает свойством безарбитражности
10
, т. е. получить прибыль при покупке или продаже базового
контракта в среднем невозможно. Тогда ожидаемый доход должен равняться разнице между
текущей ценой базового актива и его форвардной ценой. В случае акций ожидаемый доход
равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. В случае фьючерсов ожидаемый
доход равен нулю.
Даже если принять условие безарбитражности рынка базового актива и предположить,
что у каждого возможного значения цены своя вероятность, все равно останется одна серьезная
проблема. Наша упрощенная модель предусматривает только пять возможных значений цены,
в то время как в реальной жизни их может быть сколько угодно. Чтобы наша модель точнее
отражала реальные условия, нужно построить график, показывающий все возможные значения
цены и связанные с ними вероятности. Такая задача может показаться непосильной, но это
основа всех моделей, используемых для оценки стоимости опционов.
Подведем итог и перечислим этапы создания модели и определения стоимости опциона:
1) предложить ряд возможных значений цены базового контракта при экспирации;
2) задать вероятность для каждого значения;
3) принять допущение безарбитражности базового рынка;
4) рассчитать на основе цен и вероятностей, заданных на этапах 1–3, ожидаемый доход
от опциона;
5) уменьшить ожидаемый доход на величину затрат на поддержание позиции.
Если мы все это проделаем, то получим теоретическую стоимость опциона, исходя из
которой можно начинать торговлю.
До 1973 г. оценка опционов была связана с решением сложных математических уравне-
ний. Поскольку на это уходило много времени и сил, выгодные возможности исчезали раньше,
чем их удавалось выявить. В 1973 г. одновременно с открытием опционной биржи СВОЕ
Фишер Блэк и Майрон Шоулз предложили первый практичный способ определения теорети-
ческой стоимости опционов. Модель Блэка – Шоулза с ее сравнительно простым математиче-
ским аппаратом и ограниченным количеством показателей на входе, большинство из которых
легко найти, и полученная на ее основе формула стали идеальным инструментом для трейде-
ров, осваивавших американский рынок опционов. Хотя с тех пор появились и другие подходы,
которые устранили некоторые недостатки первой модели, формула Блэка – Шоулза остается
одним из наиболее распространенных инструментов оценки опционов.
В первоначальном виде модель и формула Блэка – Шоулза предназначались для оценки
европейских опционов (досрочное исполнение которых не разрешается) на акции без выплаты
дивидендов. Вскоре, понимая, что по большинству акций дивиденды все-таки выплачиваются,
Блэк и Шоулз модифицировали свой метод. В 1976 г. Фишер Блэк внес в модель и формулу
стоимости опционов незначительные изменения, позволившие использовать их и для оценки
опционов на фьючерсные контракты. А в 1983 г. Марк Гарман и Стивен Кольхаген внесли еще
несколько изменений, позволивших оценивать и опционы на иностранную валюту
11
. Модифи-
кации модели Блэка – Шоулза для фьючерсных контрактов и валюты известны как модель
Блэка и модель Гармана – Кольхагена соответственно. Но методики оценки опционов во всех
случаях настолько похожи, что используется лишь одно название – модель Блэка – Шоулза.
Отличия касаются главным образом порядка расчета форвардной цены базового контракта.
10
Условие безарбитражности рынка не является обязательным. Но мы увидим, что это допущение делается в большинстве
моделей, используемых при выводе формул теоретической стоимости опционов.
11
Здесь речь идет об опционах на валюту как таковую, а не об опционах на валютный фьючерсный контракт. Последние
могут быть оценены с помощью формулы Блэка для опционов на фьючерсы.

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
66
Опционный трейдер просто выбирает модификацию, подходящую для своего базового инстру-
мента.
Подавляющее большинство торгуемых в настоящее время опционов американские, т. е.
опционы с правом на досрочное исполнение. По этой причине может показаться, что модель
Блэка – Шоулза с ее запретом на досрочное исполнение не слишком подходит для использо-
вания на большинстве рынков. Однако формула Блэка – Шоулза оказалась настолько удобной,
что многие трейдеры не считают нужной дополнительную точность, обеспечиваемую методами
оценки американских опционов. На некоторых опционных рынках, в частности на рынках
фьючерсных опционов, право досрочного исполнения опциона приводит к такому незначи-
тельному увеличению его стоимости, что формула Блэка – Шоулза и методы оценки амери-
канских опционов дают практически одинаковые результаты.
С учетом широкого использования модели Блэка – Шоулза мы ограничимся лишь ее рас-
смотрением. Проблему досрочного исполнения мы обсудим в следующих главах, а альтерна-
тивных методов определения стоимости опционов коснемся при обсуждении основных допу-
щений модели Блэка – Шоулза.
Процесс определения стоимости опциона с помощью формулы Блэка– Шоулза склады-
вается из тех же пяти этапов, о которых мы говорили выше, когда рассматривали простой
метод оценки опционов. Блэк и Шоулз определяли стоимость коллов, но практически так же
выводится формула и для стоимости путов. Возможен и другой способ расчета. Как мы уви-
дим в главе 11, на безарбитражном рынке существует однозначная зависимость между ценой
базового контракта и ценами колла и пута с одинаковыми ценами исполнения и датами экс-
пирации. Эта зависимость позволяет нам рассчитать стоимость пута, зная только стоимость
соответствующего колла.
Чтобы рассчитать теоретическую стоимость опциона с помощью формулы Блэка –
Шоулза, нужно знать как минимум пять характеристик опциона и его базового контракта:
1) цену исполнения;
2) время, оставшееся до экспирации;
3) текущую цену базового контракта;
4) безрисковую процентную ставку в течение срока действия опциона;
5) волатильность базового контракта.
Последнее понятие – волатильность – может быть незнакомо начинающему трейдеру.
Хотя мы откладываем его обсуждение до следующей главы, из предыдущих рассуждений
можно догадаться, что волатильность имеет отношение к темпу изменения цены.
Если у нас есть все исходные данные, то их можно ввести в формулу и получить интере-
сующее нас значение стоимости опциона.
Блэк и Шоулз также использовали в своей модели понятие безрискового хеджа. Для
каждой опционной позиции существует такая теоретически эквивалентная позиция в базовом

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
67
контракте, что при незначительном изменении цены базового контракта стоимость позиции в
опционе увеличивается или уменьшается ровно на столько же, что и базовая позиция. Чтобы
получить прибыль на теоретически неверно оцененном опционе, необходимо его хеджиро-
вать, уравновесив позицию в опционе теоретически эквивалентной базовой позицией. То есть,
какую бы позицию в опционе мы ни заняли, нужно занять противоположную рыночную пози-
цию в базовом контракте. Соотношение числа базовых контрактов, необходимых для безрис-
кового хеджа, и опционной позиции известно как коэффициент хеджа.
Для чего нужен безрисковый хедж? Напомним, что в нашем упрощенном методе теоре-
тическая стоимость опциона зависела от вероятностей различных исходов (цен базового кон-
тракта). Поскольку базовый контракт меняется в цене, вероятность того или иного значения
цены также меняется. Если текущая цена базового контракта – 100 долл., а цене в 120 долл.
присвоена 20 %-ная вероятность, то при падении цены до 80 долл. эту вероятность можно
понизить до 10 %. Создавая безрисковый хедж, а затем корректируя его по мере изменения
рыночных условий, мы учитываем изменение вероятностей.
В этом смысле опцион можно рассматривать как альтернативу аналогичной позиции в
базовом контракте. Колл – альтернатива длинной позиции; пут – короткой. Какую позицию
лучше занять – в опционе или в базовом контракте, зависит от теоретической стоимости опци-
она и его цены на рынке. Если колл можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем
его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять длинную
(короткую) рыночную позицию, купив (продав) коллы, а не базовые контракты. Аналогично,
если пут можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стои-
мость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять короткую (длинную) рыночную
позицию, купив (продав) путы, а не продать (купить) базовые контракты.
Поскольку точность полученной с помощью формулы теоретической стоимости опциона
не превышает точности введенных в нее данных, необходимо сказать несколько слов об этих
данных.

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
68

жүктеу/скачать 5.55 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: