Р. З. Сиразиев л. М. Малакшинова
жүктеу/скачать 1.64 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. УЧЕНИЕ О СРЕДНИХ
- Средняя арифметическая (М)
- Взвешенная средняя арифметическая
|
∑f = n = 100 Вариационные ряды используются для расчётов многих биометрических показателей. Кроме того, сами показывают распределение признака в группе. Графическое изображение вариационных рядов Вариационные ряды можно изобразить графически. Для этого в биометрии обычно используются 4 формы графиков – гистограмма, полигон (вариационная кривая), кумулята и огива. Для построения графиков используются системы прямоугольных координат. Возьмём, для примера, простой вариационный ряд:
Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываются в выбранном масштабе значения дат, по оси ординат – частоты их встречаемости. Строятся столбики, основания которых равны единице масштаба, середина основания располагается на значении данной даты, высота столбика соответствует частоте данной даты. Если из точек значения вариант восстановить перпендикуляры до пересечения с перпендикулярами из точек соответствующих частот, полученные точки пересечения соединить ломаной кривой, то получится полигон или вариационная кривая. Для построения кумуляты и огивы к вариационному ряду достраивают полный ряд накопленных частот – S . Для этого частоту самой малой варианты переносят в ряд накопленных частот без изменения, к ней прибавляют частоту следующей варианты, к полученному числу прибавляют частоту следующей варианты и т.д. По оси абсцисс в выбранном масштабе откладывают значения вариант, по оси ординат – значения ряда накопленных частот. Точки пересечения перпендикуляров соединяют плавной кривой. Полученную S-образную кривую и называют кумулятой. Если поменять места вариант (W) и значения ряда накопленных частот (варианты отложить на оси ординат, а значения ряда накопленных частот – на оси абсцисс), получится огива. Графически могут изображаться и сложные вариационные ряды. Для этого вместо вариант берут вариации (середины классов).
Она даёт возможность оценить, насколько достоверны результаты проведённых исследований, то есть, могут ли результаты исследований выборочной совокупности быть перенесены на генеральную совокупность.
1. УЧЕНИЕ О СРЕДНИХВ биометрии используется несколько средних: а) средняя арифметическая б) средняя квадратическая в) средняя геометрическая д) мода е) медиана Средние являются результатом большого обобщения. На кривой вариационного ряда они занимают срединное положение. Они обладают свойством репрезентативности, т.е. могут заменить любую варианту. Средние являются некоторой абстракцией – в группе может не быть носителя средней. Например, куры несут целые яйца, но в среднем, яйценоскость может быть равна 25,5 яиц. Средние выражают определённый признак и поэтому являются конкретными и должны выражаться в тех же единицах, что и признак. Они представляют все объекты группы и обладают суммарным свойством, т.к. все варианты могут быть заменены средней. Средняя арифметическая (М) – средняя арифметическая, вычисленная из выборочной совокупности;
 – средняя арифметическая, рассчитанная для генеральной совокупности.  ,
где ∑V – сумма вариант- (V1+,V2+,V3 + ……Vn), n – число вариант. Это так называемый прямой способ вычисления средней арифметической. Он используется при наличии вычислительной техники или при небольшом количестве вариант. В противном случае строится вариационный ряд, и среднюю арифметическую вычисляют с использованием условной средней. За условную среднюю (А) принимают варианту или середину класса, имеющую наибольшую численность в данном ряду (модальные варианты или класс). Чаще используют два способа вычисления средней арифметической с использованием условной средней – способ произведений и способ сумм. Способ произведений При этом класс, в котором находится условная средняя , отмечают нулём и нумеруют остальные классы. Номер класса (a) определяют по формуле:  ,
где WА – середина класса с условной средней, Wі – частные середины классов, К – классовый промежуток. Таким образом, классы в сторону уменьшения от модального будут отмечены отрицательными числами, а в сторону увеличения - положительными. Получается условный ряд а. Далее перемножают частоту каждого класса на его номер, получают дополнительный ряд fа. Определяют сумму произведений ∑ fа и рассчитывают среднюю арифметическую по формуле: 
А = 420 К = 10, ∑f · а = - 30, n = ∑f = 100 
Способ сумм При вычислении средней арифметической по этому способу строятся неполные ряды накопленных частот р1 и q1, которые составляются следующим образом: модальный класс прочёркивается. С обоих концов распределения по направлению к модальному классу строятся ряды накопленных частот. Первым числом ряда накопления считается частота крайнего класса, вторым – первое число плюс частота следующего класса, третьим – второе число плюс частота следующего класса и т. д. Половина ряда в сторону увеличения значений вариант от модального класса считается положительной частью, в сторону уменьшения – отрицательной (минус не ставим). При правильном составлении полурядов накопления сумма последних чисел обоих полурядов и частоты модального класса должна равняться общему числу вариант (n). Средняя арифметическая по этому способу рассчитывается по формуле:
S1 – сумма всех значений обоих полурядов накопления S1 = ∑ р1 - ∑ q1 Пример:
n = ∑ f q1 Кроме того, при разбивке вариант на классы иногда средняя арифметическая вычисляется по способу взвешенных вариаций. При этом пользуются формулой:  ,
где ∑W·f – сумма произведений вариаций (середина классов или вариант) на соответствующую частоту. Применение этого способа ограничено. Он используется при наличии вычислительной техники или при небольших числах.
Следствие. Средняя арифметическая равна условной средней плюс сумма условных отклонений, делённая на объём выборки: 
 ∑ (V - A)
5. Средняя арифметическая из вариант, к которым прибавлено (вычтено) какое-то число а, равна средней арифметической из вариант до прибавления (вычитания) плюс (минус) этого же число а: МV±a = MV ± a 6. Средняя арифметическая из вариант, умноженных (разделённых) на число а, равна этому числу а, умноженному (разделённому) на среднюю арифметическую из вариант до умножения (деления) М V·a = a · MV Взвешенная средняя арифметическаяОна используется при вычислении средней из нескольких средних. M взв=  ,
где Mi - частная средняя арифметическая, ni - объём выборки, из которой вычислена частная средняя. Средняя квадратическая (S) Она используется при вычислении средних площадей криволинейных фигур, диаметров, радиусов. Средняя квадратическая вычисляется по формуле : 
Пример. Диаметры 5 колоний микробов равны 15; 20; 10; 25 и 30 мм. Высчитываем средний диаметр:
Если высчитать среднюю арифметическую из этих же значений, она будет равна: 
Как видно, средняя арифметическая и средняя квадратическая, вычисленные по одним показателям, не одинаковы. Для того, чтобы проверить, какая средняя в данном случае ближе к истине, определим общую площадь всех пяти колоний: F = π · ( r  +r +r +r +r ) = 3,14 · (7,52 + 102 + 52 + 12,52 + 152 ) =1766,25 (мм2)
Если высчитать площадь всех колоний по средним данным, получим: Fм =3,14 · 102 · 5 = 1570 (мм2 ) Fs = 3,14 · 10,612 · 5 = 1767,40 (мм2 ), т.е. практически равную общей площади всех пяти колоний. Средняя геометрическая (G) Используется для вычисления средних приростов:  ,
т.е. необходимо извлечь корень степени, равной числу вариант, из произведения всех вариант . Если число вариант больше трёх , извлечение корня затруднительно. В таких случаях среднегеометрическую рассчитывают путём логарифмирования. 
Средняя гармоническая (H) Она применяется при усреднении меняющихся скоростей. Н=   = 
Все Vmin < H < G < M < S < Vmax Мода ( Мo ) Мода – это наиболее часто встречающаяся варианта (класс) в исследуемой группе. Часто за моду принимают середину модального класса. Чаще в совокупности бывает одна мода. В таких случаях вариационная кривая будет одновершинная. Но может быть две или более мод, тогда вариационная кривая будет двух или многовершинная, они показывают, что исследуемый материал неоднородный. Медиана ( Ме ) Медиана – это такая варианта, которая разбивает группу на две равные части: одна часть будет иметь значение признаков меньше медианы, другая – больше. 2. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗНООБРАЗИЯ Средние показатели являются очень важными, но они не могут характеризовать разнообразие признака. Признак в группе всегда представлен разными показателями – он варьирует. Различия эти иногда очень велики. Иногда почти незаметны, но они всегда имеются; невозможно найти двух особей абсолютно одинаковых. Для оценки разнообразия признака используется несколько его показателей: лимиты, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, нормированное отклонение. Лимиты ( lim ) Лимиты показывают величину максимального (Vmax) и минимального(Vmin) значения признака. Разность между Vmax и Vmin называется размахом. Пример: в двух совхозах имеется по 5 быков- производителей, которые по живой массе распределились следующим образом.
Оказалось, что средняя масса быков в обоих совхозах одинакова (М1 = М2 = 650 кг), однако лимиты и размах разные: lim1→ 640 : 660 (20), lim2→ 600 : 700 (100), т.е. разнообразие признака во второй группе значительно выше. В биологии в некоторых случаях лимиты могут служить единственной характеристикой разнообразия признака. Например, при описании простейших приводятся только лимиты их размеров (размеры амебы находятся в пределах от 20 до 30 мкм, т.е. lim→ 20 : 30 мкм). Однако лимиты не могут служить основным показателем разнообразия, т.к. они не всегда отражают очень важные его особенности.
В данном примере лимиты не отображают разнообразия признака в группах. Среднее квадратическое отклонение (σ) Этот показатель используется как абсолютная мера разнообразия. Рассчитывается среднеквадратическое отклонение по формуле: σ =  , где С – дисперсия или сумма квадратов центральных отклонений
n – 1= ν - число степеней свободы, равное числу объектов в группе без 1. Если число вариант большое, уменьшение на 1 существенно не скажется на конечном результате. Сигма в квадрате называется вариансой. Она используется при дисперсионном анализе. Этой основной формулой вычисления среднего квадратического отклонения пользуются при небольших выборках. При больших выборках расчёт среднего квадратического отклонения производят по способам произведений и сумм с построением вариационных рядов. Величина среднего квадратического отклонения служит основой для многих других показателей изменчивости (М ± σ). Если от средней взять + σ или – σ, сюда попадет 68,2% вариант: М ± σ – то есть, таких объектов в данной совокупности 68,2%; М ± 2σ – 95,5%; М ± 3σ – 99,7%. Способ произведений По этому способу вычисление среднего квадратического отклонения производят по формуле:  ,
где К – классовый промежуток, n–1= ν–число степеней свободы, C – дисперсия. Последняя при данном способе рассчитывается по формуле:
где а – номер класса, f – количество вариант в каждом классе (частота), n – число вариант в группе. Пример:
K = 10, n = 100 ∑ f · a = -30; ∑ f · a2 = 192  
Способ сумм Расчёт среднего квадратического отклонения по способу сумм производится по формуле:  , где дисперсия – С = S2 - 
 S1 = ∑ р1 - ∑ q1 ; S2 = ∑р1 + ∑q1 +2 (∑р2 + ∑q2); р1 и q1 - значения первых полурядов накопленных частот, которые составляются так же, как при вычислении средней арифметической по способу сумм.
р2 и q2 - значения вторых полурядов накопленных частот, для составления которых прочёркивается модальный класс, и по одному классу над и под модальным, значения первых полурядов для первого и последнего классов переносят без изменения, затем к этим значениям прибавляются значения первых полурядов следующих классов т.д. Пример:
q1 q2 K = 10, n = 100, S1= 37 – 67 = - 30 , S2 = 37 + 67 + 2 (10 + 34) = 192  
Способ взвешенных вариаций  
Пример:
жүктеу/скачать 1.64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
,