Учебно-методический комплекс учебной дисциплины ен. Ф. 01 Математика

Важно четко представлять структуру курса, уметь выделить в каждом разделе основные, базовые понятия, обозначенные минимумом содержания, определенного государственным образовательным стандартом.

• 
  матрица,
  
• 
  ранг матрицы.
  
• 
  определители и их свойства,
  
• 
  системы однородных и неоднородных уравнений,
  
• 
  прямые и плоскости,
  
• 
  линии и поверхности второго порядка,
  
• 
  линейные пространства,
  
• 
  линейные операторы,
  
• 
  евклидовы пространства.
  

• 
  метод координат,
  
• 
  полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат,
  
• 
  уравнения линий второго порядка в прямоугольной декартовой и полярной системах координат,
  
• 
  уравнения поверхностей второго порядка;
  

• 
  векторные пространства,
  
• 
  аффинное и евклидово пространства,
  
• 
  понятие группы, примеры групп;
  

• 
  векторы,
  
• 
  операции над векторами,
  
• 
  прямая линия,
  
• 
  линии и поверхности второго порядка.
  

1. 
   Комплексные числа. Сложение и вычитание комплексных чисел.
   
2. 
   Умножение и деление комплексных чисел.
   
3. 
   Комплексно-сопряженное число. Степень мнимой единицы.
   
4. 
   Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
   
5. 
   Определение и виды матриц. Транспонированная матрица.
   
6. 
   Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
   
7. 
   Линейная зависимость матриц.
   
8. 
   Символ . Правило суммирования Эйнштейна.
   
9. 
   Умножение матриц.
   
10. 
    Элементарные преобразования. Элементарные матрицы.
    
11. 
    Вырожденные и невырожденные матрицы.
    
12. 
    Обратная матрица.
    
13. 
    Ранг матрицы.
    
14. 
    Основные теоремы о ранге матрицы.
    
15. 
    Определители II и III порядков.
    
16. 
    Определитель матрицы n-го порядка.
    
17. 
    Свойства определителей (1-4). Алгебраическое дополнение.
    
18. 
    Свойства определителей (5-10).
    
19. 
    Вычисление обратной матрицы с помощью определителя.
    
20. 
    Определение и виды систем линейных уравнений.
    
21. 
    Системы линейных уравнений с m=n. Правило Крамера.
    
22. 
    Теорема Кронекера-Капелли. Общее правило нахождения решений СЛУ.
    
23. 
    Приведенная система линейных уравнений. Общее решение СЛУ.
    
24. 
    Определение вектора и линейные операции над векторами.
    
25. 
    Линейная зависимость векторов.
    
26. 
    Базис. Системы координат.
    
27. 
    Деление отрезка в данном отношении.
    
28. 
    Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
    
29. 
    Преобразование координат. Параллельный перенос ПСК на плоскости.
    
30. 
    Преобразование координат. Поворот ПСК на плоскости.
    
31. 
    Скалярное произведение векторов. Законы скалярного произведения векторов.
    
32. 
    Проекция вектора на произвольную прямую.
    
33. 
    Ориентация прямой, плоскости и Пространства. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда.
    
34. 
    Векторное произведение двух векторов.
    
35. 
    Векторно-векторное произведение трех векторов.
    
36. 
    Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
    
37. 
    Параметрическое уравнение прямой. Параметрическое уравнение плоскости.
    
38. 
    Прямая линия на плоскости.
    
39. 
    Векторные уравнения прямой и плоскости.
    
40. 
    Условия параллельности плоскостей и прямых на плоскости.
    
41. 
    Уравнение прямой в пространстве.
    
42. 
    Парабола. Директориальное свойство параболы.
    
43. 
    Касательная к параболе. Оптическое свойство параболы.
    
44. 
    Эллипс. Фокальное свойство эллипса.
    
45. 
    Директориальное свойство эллипса.
    
46. 
    Касательная к эллипсу. Оптическое свойство эллипса.
    
47. 
    Гипербола. Фокальное свойство гиперболы.
    
48. 
    Директориальное свойство гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе. Оптическое свойство гиперболы.
    
49. 
    Уравнения гипербол, эллипсов и парабол отнесенные к вершине.
    
50. 
    Уравнения эллипсов, парабол и гипербол в полярных координатах.
    
51. 
    Общее понятие о линии второго порядка. Преобразование коэффициентов при параллельном переносе и повороте ПСК.
    
52. 
    Понятие инварианта. Основные инварианты линии второго порядка.
    
53. 
    Центр линии второго порядка. Преобразование к центру.
    
54. 
    Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота ПСК.
    
55. 
    Упрощение уравнения центральной линии второго порядка.
    
56. 
    Упрощение уравнения линии второго порядка без определенного центра.
    
57. 
    Цилиндрические поверхности.
    
58. 
    Конусы второго порядка.
    
59. 
    Эллипсоиды и гиперболоиды (тип 12 - тип 15).
    
60. 
    Параболоиды (тип 16 - тип 17).
    

2. Элементарные следствия из аксиом линейного пространства.

3. Линейная зависимость.

4. Базис.

5. Формулы перехода к новому базису. Формулы последовательного перехода к новому базису.

6. Преобразование координат вектора при замене базиса.

7. Ориентация линейного n-мерного линейного пространства.

8. Линейное подпространство. Линейная оболочка.

9. Сумма и пересечение подпространств.

10. Линейные преобразования.

11. Матрица линейного преобразования.

12. Линейные отображения. Определение и примеры.

13. Координатная запись отображений.

14. Изоморфизм линейных пространств.

15. Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса.

16. Канонический вид матрицы линейного отображения.

17. Сумма отображений. Умножение линейного отображения на число.

18. Произведение отображений.

19. Линейные преобразования. Умножение линейных преобразований.

20. Инвариантные подпространства.

21. Собственные подпространства.

22. Характеристическое уравнение. Основные теоремы о характеристическом многочлене.

23. Свойства собственных подпространств.

24. Комплексные характеристические числа.

25. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду.

26. Определение и примеры линейных функций.

27. Сопряженное пространство.

28. Билинейная функция.

29. Матрица билинейной функции.

30. Квадратичные линейные формы.

31. Ранг и индекс квадратичной формы.

32. Полуторалинейные функции.

33. Определение евклидова пространства и его примеры.

34. Основные метрические понятия (длина вектора, угол между векторами, неравенство Коши­-Буняковского).

35. Терема Пифагора. Неравенство треугольника.

36. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Матрица Грама.

37. Ортогональные базисы.

38. Ортогональные матрицы.

39. Ортогональное дополнение подпространства.

40. Ортогональные проекции. Метод ортогонализации Грама-Шмидта.

41. Преобразование, сопряженное к данному.

42. Самосопряженное преобразование.

43. Ортогональное преобразование.

44. Произвольное невырожденное линейное преобразование вещественного евклидова пространства.

45. Эрмитово преобразование.

46. Унитарное преобразование.

47. Произвольное линейное преобразование комплексного евклидова пространства.
4.2. Примерный вариант контрольной работы №1 по курсу
1. Вычислить .
2. Найти общее решение системы

3. 
   Найти матрицу, обратную данной .
   

3. 
   Даны матрицы и .
   

5. 
   Вычислить определитель матрицы .
   

в общей форме.

прямой .

6. Определить фокусы эллипса .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .