ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

2.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

2. Что такое математическое и линейное программирование?

3. Какова общая форма записи модели ЛП?

4. Что такое допустимое и оптимальное решения?

5. Каковы основные этапы построения математической модели ЛП?

6. Каков экономический смысл и математический вид ЦФ задачи о производстве полок?

7. Как можно классифицировать ограничения задачи о полках по их экономическому смыслу?

8. Чем отличается построение ограничений, использующих данные о трудоемкости и производительности работ?

9. Объясните способ построения каждого конкретного ограничения задачи о полках.

10. Каким образом решается задача оптимального раскроя листов ДСП?

11. Каким образом единицы измерения параметров задачи используются для выявления ошибок построения ограничений?

1. 
   2.5. ВАРИАНТЫ
   

1. 
   1213402703601,6101620796220157,47,27,63751552009178042019003540118702303506,4714161428140147,37,17,54201402701193034031007012010130026034029151830105210137,07,77,4385175210181625410430030509910240330661013883110127,27,67,841016023013870330270065140812602703202,4811141164200117,17,57,7395205220815353901400386079502303105,65892537120107,77,47,635018029012760320150060150612202602402,871011913419097,67,37,5405195230714453802500447059902402505,281314165613087,57,27,437020018017675310400055160411802702603,26910277218077,47,17,84152152406135537011007280310302302704,891314611525067,37,07,738022019016540300300050170211402602803,6510121912917057,27,77,63652352505126536037006790110702402904,41015162216415047,17,67,53902402001511204002000451100110025030044810401410100377,57,4400230260141050350530040100№ вар.DwhТр₁Тр₂Тр₃Тр₄Р₁Р₂Пp₁Пp₂Пp₃ФВ₁ФВ₂ФВ₃Z₁Z₂Z₃К₁К₂V₁V₂V₃NОст
   

20B22302072142762872461059B138A,

62B2180143162224214202946A14A,

21B1225195210281263267823(A,B2)80B1165129142203194167716(B1,B2)24А220176197274246242612B260В2170125148198175180572A40B1,

3B2215187205243230243443(A,B1)5A,

12B2150120134192154147315(B1,B2)10A,

• 18B1200164178284190206210B115B1145125133213149158115A30А210150170256202224060(A,B2)50В2205142160295182220№ вар.ДЗC₁C₂C₃Ц₁Ц₂Ц₃3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 (ЧАСТЬ II)

• “АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ

• ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ”

• 3.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. 3.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. 
   Для задачи, решенной в лабораторной работе №2 (часть I) , получите в Excel все типы отчетов по результатам поиска решения, необходимые для анализа чувствительности.
   
2. 
   Проанализируйте задачу на чувствительность к изменениям параметров исходной модели.
   
3. 
   Результаты анализа задачи на чувствительность внесите в общий отчет по лабораторной работе №2.
   

1. 3.3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ [5,6,7]

2. 3.3.1. Задачи анализа оптимального решения на чувствительность

На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.

Ограничения линейной модели классифицируются следующим образом (рис.3.1). Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку, например (1) и (2). Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку, например (3), (4) и (5). Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение, например, (5). Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

1) на сколько можно увеличить (ограничения типа ) или уменьшить (ограничения типа ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

2) на сколько можно уменьшить (ограничения типа ) или увеличить (ограничения типа ) запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

1. 3.3.2. Графический анализ оптимального решения на чувствительность

Область допустимых решений задачи на рис.3.1 – многоугольник ОABCDE. Если связывающее ограничение (дефицитный ресурс) (2) передвигать до точки F, то это приведет к расширению области допустимых решений до многоугольника ОABCFE и к получению нового оптимального решения в точке F. При этом ограничение (2) станет избыточным. Новое решение (F) лучше прежнего (C), поскольку для пересечения с точкой F линия ЦФ должна пройти по направлению вектора (выходящего из начала координат и показывающего направление максимизации ЦФ) дальше точки С (рис.3.2).

Рис.3.2. Анализ максимального изменения запаса

дефицитного ресурса (2) с целью улучшения оптимального решения
Таким образом, чтобы графически определить максимальное изменение запаса дефицитного ресурса, улучшающее оптимальное решение, необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения ЦФ до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.

Графический анализ максимально возможного изменения запаса недефицитного ресурса показан на рис.3.3. Передвинем несвязывающее ограничение (3) до пересечения с оптимальным решением в точке С.

Рис.3.3. Анализ максимального изменения запаса

недефицитного ресурса (3), не изменяющего оптимальное решение С

Это соответствует уменьшению запаса недефицитного ресурса (3), который в оптимальной точке С исходной задачи (см. рис.3.1) расходовался не полностью. Областью допустимых решений станет многоугольник OGCDE. Оптимальное решение останется прежним (точка С). Таким образом, чтобы графически определить максимальное изменение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой.

Для того чтобы выяснить, запас какого из дефицитных ресурсов выгоднее увеличивать в первую очередь, необходимо определить, какую пользу (например, прибыль) принесет увеличение запасов каждого из них на единицу. Для этих целей вводится понятие ценности дополнительной единицы i-го ресурса (теневая цена):

.

То есть сначала наращивается запас ресурса, имеющего максимальное значение , затем – второе по величине и т.д.

Графический анализ изменения целевых коэффициентов (например, цен на производимую продукцию), не приводящих к изменению оптимального решения, проводится путем вращения линии ЦФ. При увеличении коэффициента ЦФ или уменьшении коэффициента целевая прямая на графике вращается вокруг оптимальной точки по часовой стрелке. Если уменьшается или же увеличивается , то целевая прямая вращается вокруг оптимальной точки против часовой стрелки (рис.3.4).
Уменьшение цены 1 () (3)

или уменьшение

цены 2 ()

(2) (4)


Н С (5)

(1)

J
Увеличение

цены 1 ()

или уменьшение

цены 2 ()

Рис.3.4. Анализ изменения коэффициентов и ЦФ

Зафиксируем значение . Оптимальное решение в точке С не будет меняться при увеличении до тех пор, пока целевая прямая не совпадет с прямой (2). Аналогично оптимальное решение в точке С не будет меняться при уменьшении до тех пор, пока целевая прямая не совпадет с прямой (1).

При таких поворотах точка С будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон целевой прямой не выйдет за пределы, определяемые наклоном прямых ограничений (1) и (2). Если целевая прямая выйдет за пределы наклона (1) или (2), то оптимальной станет соответственно точка H или J.

Таким образом, нижний и верхний пределы изменения цены 1 определяются значениями коэффициента , при которых наклон целевой прямой совпадает соответственно с наклонами прямых ограничений (1) и (2).

1. 3.3.3. Анализ оптимального решения на чувствительность в Excel

• 3.3.3.1. Отчет по результатам

Отчет по результатам состоит из трех таблиц (рис.3.6):

1. 
   таблица 1 содержит информацию о ЦФ;
   
2. 
   таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;
   
3. 
   таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.
   

Рис.3.6. Лист отчета по результатам

Для граничных условий (строки 24, 25, 26 на рис. 3.6) в графе "Разница" показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Таблица 3 отчета по результам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения ЦФ. Так, если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе "Разница" дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма. Например, анализ строки 26 (см. рис. 3.6) отчета по результатам для задачи о мебельном комбинате показывает, что полок выпущено на 70 шт. больше, чем было заказано. То есть из 120 полок только 70 шт. пойдут в свободную продажу. Таким образом, можно дать следующий ответ на вопрос об изменении запаса недефицитного ресурса “Значение XB2”: обязательный заказ на производство полок В₂ можно увеличить на 70 шт., то есть заказывать до 120 шт., и при этом оптимальное решение (2.20) задачи не изменится.

Если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе "Разница" дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения. Так, анализ строки 13 (см. рис. 3.6) отчета по результатам для задачи о мебельном комбинате показывает, что время столярных работ составило 4440 ч. Неизрасходованным остается 2640 ч из общего фонда времени, отведенного на столярные работы. Из этого следует, что запас недефицитного ресурса “Фонд времени по столярным работам” можно уменьшить на 2640 ч и это никак не повлияет на оптимальное решение (2.20). Отсюда следует, что количество столяров можно уменьшить на 15 человек

Анализ строки 23 показывает, что общее количество выпускаемых полок составляет 1220 шт., что меньше предполагаемой емкости рынка на 4080 шт. То есть запас недефицитного ресурса “Емкость рынка” может быть уменьшен до 1220 полок и это никак не повлияет на оптимальное решение (2.20). Другими словами, уменьшение спроса до 1220 полок в месяц никак не скажется на оптимальных объемах выпуска полок.

На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что существуют причины (ограничения), не позволяющие мебельному комбинату выпускать большее количество полок и получать большую прибыль. Проанализировать эти причины позволяет отчет по устойчивости.

• 3.3.3.2. Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц (рис.3.7).

Таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным.

1. Результат решения задачи.

2. Нормированная стоимость, которая показывает, на сколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Например, в отчете по устойчивости для рассматриваемой задачи (см. рис.3.7) нормированная стоимость для полок В₁ равна –20 руб./шт. (строка 5). Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение (2.20), потребуем включить в план выпуска 1 полку В₁, то новый план выпуска (; ; ) принесет нам прибыль 106 180 руб./мес., что на 20 руб. меньше, чем в прежнем оптимальном решении.

3. Коэффициенты ЦФ.

4. Предельные значения приращения целевых коэффициентов , при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Например, допустимое увеличение цены на полки В₁ равно 20 руб./шт., а допустимое уменьшение – практически не ограничено (строка 5 на рис.3.7). Это означает, что если цена на полки В₁ возрастет более чем на 20 руб./шт., например станет равной 61 руб./шт., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпуск В₁ в количестве 70 шт. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (2.20) останется прежним.

Примечание 3.1. При выходе за указанные в отчете по устойчивости пределы измения цен оптимальное решение может меняться как по номенклатуре выпускаемой продукции, так и по объемам выпуска (без изменения номенклатуры).

Рис.3.7. Отчет по устойчивости для задачи о мебельном комбинате