Задача математичного програмування Тема 1 Питання термінології, історіографія назв
жүктеу/скачать 3.01 Mb.
|
| Метод найшвидшого спуску
Розглянемо задачу безумовної мінімізації: обчислити вектор x* = arg min{ (x) | x Rm} де функціонал (x) задовольняє умові опуклості. Для опуклих функціоналів метод дозволяє знайти глобальний максимум, а для не опуклих - локальний. Для обчислення точки мінімуму будується послідовність, що до неї збігається: { xk} з елементами xk = xk + рk , де рk - напрям руху з точки xk, - величина кроку у напрямі рk Вибір напряму рk визначає механізм відповідного методу знахождення оптимуму. В нашому випадку рk визначається, як вектор антиградієнту функціоналу в точці "хk " k-того кроку: рk=- =- (хk), де вище застосовано антиградієнт, тобто минус ( - ), так як шукаємо мінимум а не максимум. Таким чином кінцево маємо xk = xk - (**) Залишається питання вибору величини кроку , так як ця величина забезпечує факт збіжності процесу. Теорема про збіжність методу найшвидшого спуску Нехай виконані умови: 1.Функціонал (x) обмежений знизу (тобто мінімум існує) 2. Градієнт функціоналу (x) задовольняє умові Ліпшиця || (x) - (y) || L|| x - y|| x, y Rm яка забезпечує рівномірну безперервність функції, що необхідно для існування процесу збіжності. Більш детально про рівномірну безперервність нижче: Рівномірна безперервність, це властивість функції бути однаково безперервної у всіх точках області визначення. Математично це означає, що якщо задані 2 метричних простору - для аргументу х та функції у= (x), тобто заданий простір Х з мірою і простір У з мірою , то функція у= (x) (відображення) називається рівномірно безперервною на підмножині якщо Причому підкреслюю - це для любої пари - у тому і іде мова про рівномірність безперервності жүктеу/скачать 3.01 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|