1 Линейная теория возмущений в инфляционной космологии. 12 Разложение метрического тензора

Введение 5

1 Линейная теория возмущений в инфляционной космологии. 12

1.1. Разложение метрического тензора... 12

1.2. Калибровочные преобразования метрики... 14

1.3. Преобразование скалярных и векторных величин... 14

1.4. Наиболее часто используемые калибровочные условия... 15

1.4.1. Продольная калибровка... 15

1.4.2. Калибровка постоянной кривизны... 1G

1.4.3. Сопутствующая ортогональная калибровка... 16

1.4.4. Синхронная калибровка... 17

1.5. Общие уравнения Эйнштейна для фоновой метрики и скалярных возмущений... 18

1.6. Идеальная жидкость... 19

1.6.1. Основные уравнения... 11)

1.6.2. Уравнения в продольной и в сопутствующей калибровках... 21

1.6.3. Связь между неоднородностями плотности и метрики в сопутствующей ортогональной калибровке... 21

1.6.4. Приложения к модели "холодное темное вещество - излучение". 22

1.7. Скалярное поле... 28

1.7.1. Фоновые решения... '.'А)

1.7.2. Режим медленного скатывания... 32

1.7.3. Эволюция неоднородностей... 33

1.8. Генерация неоднородностей из квантовых флуктуации скалярного ноля. 35

1.8.1. Действие для возмущений... 35

1.8.2. Квантование неоднородностей... 36

1.8.3. Спектр возмущений плотности в расширяющейся Вселенной, заполненной скалярным полем... 41

2 Модели инфляции с несколькими скалярными полями и киральные модели. 46

ОГЛАВЛЕНИЕ

2.1. Основные уравнения для моделей с несколькими скалярными полями- 46

2.2. Сохраняющиеся величины... 48

2.3. Примеры моделей инфляции с несколькими скалярными полями. ... 50

2.3.1. Модели инфляции с минимально взаимодействующими скалярными полями... 50

2.3.2. Гибридная инфляция... 52

2.3.3. Вспомогательная инфляция... 53

2.4. Первичные неоднородности в модели с двумя массивными скалярными полями... 55

2.5. Киральные модели инфляции и конформное преобразование... 7j8

2.6. Модели инфляции, конформно эквивалентные сигма моделям... 00

2.6.1. Инфляция в теории Бранса-Дике... GO

2.6.2. Инфляция в теории с неминимально взаимодействующим безмассовым скалярным полем... G2

2.6.3. Аксион-дилатонные космологии... 62

2.6.4. Теории с высшими производными... 63

2.7. Основные уравнения для двухкомпонентных сигма моделей... 64

2.8. Анализ уравнений для некоторых мастных случаев... 67

2.8.1. Предельно жесткое вещество... 67

2.8.2. Диагональная сигма модель частного вида: hn — 1, Д22 = '-^i-r)-

U = U(ip)... 69

3 Скалярные возмущения в моделях инфляции на основе НСМ. 73

3.1. Двухкомгюнентные сигма модели в режиме медленного скатывания. . . 7-5

3.1.1. Коротковолновое приближение... 75

3.1.2. Длинноволновое приближение... 76

3.1.3. Пример: два неминимально взаимодействующих с кривизной скалярных поля, одно из которых имеет потенциал Х<р4... 80

3.2. Трехкомпонентные сигма модели в режиме медленного скатывания. . . 83

3.2.1. Длинноволновое приближение... 84

3.2.2. Пример: двойная инфляция в теории Бранса-Дикке... 87

3.3. Декомпозиция возмущений метрики на инфлатонные и неинфлатонные. 91

3.4. Декомпозиция возмущений на адиабатические и энтропийные... 95

3.4.1. Фоновые поля... 95

3.4.2. Неоднородности... 96

3.4.3. Применение к инфляционным моделям в режиме медленного скатывания... 100

3.4.4. Численный пример... 102

Приложения 106

А 106

В 126

Введение

Стандартное предположение современной космологии - существование и истории ранней Вселенной стадии ускоренного расширения, когда вторам производная масштабного фактора положительна. Это расширение было названо инфляционным. Наличие достаточно продолжительной инфляционной стадии позволяет разрешить такие хорошо известные трудности теории Большого Взрыва, как проблемы однородности, горизонта и плоскостности |26, 54]. Кроме того, инфляционная теория указывает источник возникновения первоначальных неоднородностей. из которых возникла наблюдаемая крупномасштабная структура Вселенной. В простейших моделях хаотической инфляции предполагается наличие одного скалярного поля ip с потенциалом V(

Введение

полей перед стадией теплового разогрева |43, 44]).

В моделях инфляции с N скалярными нолями существуют 2Х независимых мод неоднородностей полей и метрики. Две из них являются адиабатическими - падающая и растущая адиабатические моды, остальные называются модами постоянной кривизны. Как следует из названия, для мод постоянной кривизны на протяжении инфляционной стадии (или по крайней мере после ее окончании) возмущения метрики пренебрежимо малы. При рассмотрении эволюции неоднородностей прежде всего интересуются адиабатической растущей модой. поскольку моды постоянной кривизны могут привести к наблюдательным эффектам только при специфических условиях. Рассматривая только растушую адиабатическую моду, закон сохранения калибровочно - инвариантной величины Л позволяет вычислить спектральный индекс адиабатических возмущений для любой многокомпонентной модели инфляции в режиме медленного скатывания [79]. В режиме медленного скатывания неоднородности полей находятся "сшивкой "длинноволновых классических неоднородностей и коротковолновых квантовых флуктуации полей в момент, когда характерный физический размер неоднородностей становится равным размеру горизонта (хаббловекому радиусу). Если возмущения постоянной кривизны и растущая адиабатическая мода сравнимы между собой на инфляционной стадии, то выделить адиабатическую моду возмущений достаточно трудно [82]. В этом случае для нахождения амплитуды адиабатических возмущений в момент пересечения волной неоднородности горизонта оказывается необходимым получить общее решение для X неубывающих мод неоднородностей в длинноволновом приближении. К сожалению, вычислить неоднородности оказалось возможным для очень немногих .многокомпонентных моделей инфляции. В данной работе1 рассматривается эволюция пеодпородпостеП is киральных инфляционных моделях.

Киральная модель инфляции |17] основана на бозонной нелинейной сигма модели с потенциалом самодействия. Действие для нее имеет вид

где ipc - компоненты сигма модели, А, В, С — 1..N, N - количество компонент сигма модели, Нав - компоненты киральной метрики. Нелинейная сигма модель описывает набор 7V скалярных полей, взаимодействующих между собой геометрически. В частном случае, когда коэффициенты Нав киральной метрики не зависят от полей (рс, мы получаем просто набор скалярных полей с потенциалом самодействия U(

пределе теории суперструн). В работах [15, 19| представлено подробное обоснование введенного в [17] термина "киральные модели космологической инфляции". Часто инфляционные модели с действием (1) называют просто моделями со скалярными полями [79, 70}, однако мы не используем этот термин, чтобы подчеркнуть нетривиальность киральной метрики.

Поскольку нахождение спектра первоначальных возмущений, сгенерированных в киральных моделях инфляции, представляет собой важную задачу, большое количество авторов рассматривали ее для все более и более сложных случаен. В двухкомпонентной модели с инфлатоном и полем Бранса-Дике (приведенное к эйнштейновскому виду соответствующее действие имеет форму нелинейной сигма модели) скалярные неоднородности были вычислены А.А. Старобински.м и Л>к. Йокоямой (Yokoyama) в работе [83]. В работах Дж. Гарсиа-Беллидо (Garcia-Bellido) и Д. Вандса (Wands) [29. 30] эволюция неоднородностей в режиме медленного скатывания тщательно изучена для двухкомпонентной сигма модели с метрическими компонентами hn — 1, ^22 — /122(^1)) ^12 — ^21 = 0 и потенциалом са.модейстипи V(

Большой интерес вызывает также описание эволюции неоднородное!on полей 11 метрики вне режима медленного скатывания (прежде всего при изучении прехитинга, а также в ряде многокомпонентных моделей инфляции, когда режим медленного скатывания нарушается). Для этого необходимо знать точные фоновые решения. Как правило, их находят численными методами, однако большую ценность имеют аналитические решения. Метод точной настройки потенциала, предложенный СВ. Червоном, В.М. Журавлевым и В.К. Щиголевым [21], позволяет найти широкий класс точных решений. В недавней работе СВ. Червона [1G| методом точной настройки потенциала получены новые точные решения без ограничений па потенциал самодействия. В работе К. Гордона (Gordon), Д. Вандса, Б.А. Бассета (Bassett) и Р. Мартенса (Maartens) [32] при изучении эволюции неоднородшнтей скалярных полей были введены новые переменные 5а и 5s , которые были названы "адиабатическими"и "энтропийными"неоднородностями. Эти переменные оказались удивительно удобными для описания временной эволюции сопутствующей кривизны Ц, а также при решении уравнений для неоднородностей в режиме медленного скатывания. Уравнения для неоднородностей, записанные в новых переменных. наилучшим образом подходят для решения численными методами [32, 80|. В работе

Ф.Д. Марко (Marco), Ф. Финелли (Finelli) и Р. Бранденбергера (Brandenberger) |65| этот подход был обобщен на случай диагональных сигма моделей частного вида: hn - 1, h-n = eMv>l\ а в работе С.Г. Ниббелинка (Nibbelink) и Б.Дж.В. ван Тента (Tent) [71] на случай произвольных сигма моделей в режиме медленного екатынннни. Таким образом, изучение эволюции скалярных неоднородностей в киралышх моделях инфляции является актуальной задачей современной инфляционной космологии.

Цель и задачи исследования.

Основной целью диссертационной работы является изучение скалярных неоднородностей в моделях инфляции на основе двухкомпонеитных и трехкомпонентных нелинейных сигма моделей. В процессе работы необходимо решить следующие задачи:

• Исследовать основные особенности эволюции скалярных неоднородностей в киральных моделях инфляционного расширения Вселенной.

• Решить уравнения для неоднородностей метрики и киральпых полой в асимптотических случаях. Найти неоднородности. сгенерированные па инфляционной стадии при расширении Вселенной в режиме медленного скатывания.

• Вычислить энергетический спектр первичных неоднородностей в киральных моделях инфляции для сравнения с данными, полученными in астрофизических наблюдений.

Научная новизна и значимость.

• Найдены решения в квадратурах для скалярных неоднородпостей полей и метрики гравитационного поля, сгенерированных на стадии инфляции в режиме медленного скатывания в двухко.мпонентных киральпых моделях общего вида. При упрощении модели к двухкомпонентным диагональным кпральиым моделям результаты совпадают с ранее известными.

• Впервые в режиме медленного скатывания уравнения эволюции длинноволновых растущих мод неоднородностей в трехкомпонентных диагональных киральных моделях инфляции сведены к системе двух уравнений в обикнноненпых производных первого порядка с двумя переменными. Найдены общие решения этой системы при определеных ограничениях на метрику кирального пространства.

• В режиме медленного скатывания вычислены неоднородности в конце инфляционной стадии для двух моделей инфляции: 1) модель с двумя неминимально взаимодействующими скалярными полями, одно из которых является безмассовым, а второе обладает потенциалом А4; 2) модель с двумя массивными полями в скалярно-тензорной теории тяготения Бранса-Дике. Для сопоставления теоретических

Введение

результатов с наблюдательными данными во второй модели вычислен спектральный индекс адиабатического энергетического спектра. Установлено, что в исследуемой области значений пераметров не возникают противоречия с наблюдениями.

• Показано, что в моделях инфляции на основе двухкомпонентных диагональных сигма моделей энтропийные неоднородности 5s эволюционируют независимо от адиабатических 8а после пересечения ими горизонта (выполнение1 режима медленного скатывания не предполагается). Ранее этот факт был известен дли двухкомпонентной диагональной киральной модели вида

/Щ = 1, /122 = е2^,

а также для киральных моделей инфляции в режиме медленного скатывания.

• Представлен вывод формального выражения, которое описывает временную эволюцию энергетического спектра в моделях инфляции на основе двухкомпонентных диагональных сигма моделей (с учетом энтропийных неоднородностей). В отличие от ранее известных результатов. полученное представление справедливо и после окончания стадии медленного скатывании.

Практическая значимость исследования.

В режиме медленного скатывания для ряда конкретных моделей инфляции вычислены спектры первичных неоднородностей. Это позволяет сравнпиить теоретические предсказания для неоднородностей в киральных моделях с .чанными. полученными из астрофизических наблюдений. Кроме того, для моде.чей инфляции на основе двухкомпонентных диагональных сигма моделей получено формальное выражение для энергетического спектра, которое справедливо и после окончания стадии медленного скатывания.

Основные положения, выносимые на защиту.

• В рамках двухкомпонентной диагональной киральной модели степенной инфляции (с масштабным фактором a(t) — aotm и киралъным пространством специального вила /in = 1,^22 ex eAvn) в продольной калибровке получены решения для возмущений метрики в двух асимптотических случаях: длинноволновые неоднородности и коротковолновые неоднородности. Причем, использовался новый подход, основанный на сведении системы уравнений на возмущения к линейному дифференциальному уравнению в обыкновенных производных четвертого порядка для неоднородное;]]! метрики Ф.

• Для двухкомпонентных киральных моделей общего вида с потенциалом самодействия получены общие аналитические выражения (имеющие вид интегралов

Введение

• Получены общие выражения для неоднородностеи полей и метрики. сгенерированных на стадии инфляции (в режиме медленного скатывания) для диагональной трехкомпонентной сигма модели вида Л-ц(^з) = ^22(^.4)1 ^.ч.ч = 1- с потенциалом самодействия U — V{

• Установлено, что в моделях инфляции на основе двухкомпонентных диагональных сигма моделей энтропийные неоднородности 5s эволюционируют независимо от адиабатических 5а после пересечения волной неоднородности горизонта. Найдено формальное выражение для энергетического спектра неоднородностеи, которое описывает его временную эволюцию с учетом энтропийных неоднородностеи и является справедливым как в режиме медленного скатывания. так и после его завершения.

Личный вклад автора.

Работа выполнена на основе теории возмущений в киралыюй модели инфляции. разработанной в 1997 году научным руководителем д. ф.-м. н.. профессором С. В. Червоном. Проведение аналитических и численных расчётов, аналич полученных результатов для конкретных моделей выполнены автором самостоятельно.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на "Y международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона" (Москва, 2001 г.), "XIII международной летней школе-семинаре но современным проблемам теоретической и математической физики "Волга -13

2001 "(Казань, 2001 г.), "11-ой международной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации"(Томск.

2002 г.), научном семинаре имени Зельманова ГАИШ МГУ (Москва. 2002 г.). "3-ей международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии UISS - 2003" (Ульяновск, 2003 г.), семинарах Лаборатории фундаментальных исследований физико - технического факультета УлГУ и кафедры теоретической и математической физики УлГУ.

Введение

Основные результаты диссертации изложены в 7 работах. Из них 4 - статьи. 3 опубликованы в тезисах докладов конференций.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, двух приложениий, списка литературы из 94 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, изложена на 139 страницах печатного текста, включает 3 рисунка. Первая глава содержит изложение основных уравнений и результатов линейной теории космологических возмущений. Особое внимание уделено моделям инфляции с одним скалярным полем, находящемся в режиме медленного скатывания. Во второй главе проведено рассмотрение моделей инфляции с несколькими скалярными полями и скалярных неоднородностей в этих моделях. В ней также рассматриваются примеры киральных моделей инфляции, выписаны основные уравнения для неоднородностей и проведен предварительный анализ этих уравнений для некоторых частных случаев. Третья глава полностью посвящена скалярным неоднородностя.м в киральных моделях инфляции.

Глава 1

Линейная теория возмущений в инфляционной космологии.

Рассматривая линейную теорию возмущений на фоне пространств Фридмана Робертсона - Уокера, необходимо представить метрический тензор в виде

9^ = W9^ + S9^: (!¦

где фоновая метрика ^'д^ имеет вид

Здесь 7ij - метрика трехмерного пространства с постоянной кривизной. Очень удобно ввести конформное время //. определенное соотношением (It — a(t)(lij. Используя конформное время, запишем фоновую метрику в виде

JfUf ' \ ° 7у )

Малые возмущения 5д^ метрического тензора удобно разделить на различные части: скалярные, векторные, тензорные согласно их трансформационным свойствам при преобразованиях координат на пространственных гиперповерхностях. Это разбиение впервые было предложено в работе Лифшица [56|. Причина такою разбиения заключается в том, что эти три типа возмущений метрики не взаимодействуют между собой в линеаризованных уравнениях для возмущений. Векторные возмущения в расширяющейся Вселенной быстро распадаются и не приводят к наблюдаемым эффектам. Тензорные возмущения метрики описывают гравитационные волны и не взаимодействуют с неоднородности ми давления и плотности энергии. Скалярные возмущения могут привести к росту

Глава 1. Линейная теория возмущении в инфляционной космологии

неоднородностей плотности материи, что очень важно для описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной.

Скалярные возмущения можно сконструировать из скаляров, их производных, а также любых трехмерных фоновых величин - например, трехмерной фоновой метрики. В наиболее общем виде их можно записать с помощью четырех скалярных функций ф, ~ф, В и Е:

2/ х / %Ф -Bu \

Sg^ = a2(r]) ' I . (1.4)

\ /

Здесь вертикальная черта обозначает ковариантную производную в трехмерном пространстве с метрикой 7tj-

>, ч I О ~S' \

од^ = -а'{п)\ _ I- (!¦¦))

где трехмерные вектора Si и F{ удовлетворят дополнительным условиям S-t ' — FI '' — 0.

Тензорные возмущения соответственно записываются с помощью одного тензо]);» hij, который удовлетворяет условиям h] — OJi,.^ — 0. Они имеют вид:

Окончательно общая форма линейного элемента имеет вид |09|:

1 = a2(n) {(1 + 2o)dif ~ 2(B\i -[(1 - 2t/;)7«j + 2E\a + 2FA} + h{j] dxldxJ} . (1.7)

В данной работе мы будем рассматривать только скалярные неоднородное™ па фоне пространственно - плоской Вселенной, т.е. линейный элемент запишем в виде [69]:

ds2 = a2{r]) {(l + 20)dr?2-2B|Id7?Jxi-[(l-2'0)^ + 2?;|lj] dx{dxP}. (1.8)

Глава 1. Линейная теория возмущений н инфляционное! космологии.___________

1.2. Калибровочные преобразования метрики.

Разбиение метрики на однородную и неоднородную части неоднозначно. Произведем преобразование координат

f, = ц + ?° (77, х) , хг = хг + ?, *' (7/: х) . (1.0)

где ?°(77,х) и Щ (г/, х) - малые, а в остальном произвольные, скалярные функции. Функция ?° определяет выбор пространственных гиперповерхностей постоянного конформного времени, ?,' (•//, х) определяет выбор пространственных координат па этих гиперповерхностях.

Закон преобразования дифференциалов координат получается

дифференцированием соотношения (1.9):

dTi = d

dxJ = dx1 - СV dfj - iu ldxJ, (1.11)

где штрихом обозначена производная по конформному времени. Подставляя -пи выражения в линейный элемент (1.6), получаем законы преобразовании компонент возмущений метрики [62]:

ь-^'. (1.12)

5 = В + 4°-С', (1.14)

Ё = Е - ?, (1.1."))

где сделано обозначение "Н = — ¦ Тензорная часть возмущений метрики не мспмечем при калибровочных преобразованиях (1.9). Векторные и скалярные возмущении метрики преобразуются независимо, о чем говорилось раньше. В дальнейшем Нулем рассматривать только скалярные возмущения.

1.3. Преобразование скалярных и векторных величин.

При калибровочных преобразованиях меняются не только компоненты метрического тензора, но и скалярные и векторные величины. Любой скаляр / аналогично разложению (1.1) может быть представлен в виде / {т],х1) = (°)/ (г?) + Sf (r/, :r'). При преобразованиях (1.7) возмущение скалярной величины преобразуются по правилу

Очевидно, что трехмерные скаляры, такие как неоднородности давления или плотности материи, зависят только от выбора пространственно - подобной

Глава J. Линейная теория возмущений в инфляционной космологии

гиперповерхности и не зависят от выбора координат на ней.

Векторная величина, представимая в виде градиента от трехмерного скаляра W , может зависеть только от сдвига ? на пространственно - подобных гиперповерхностях. В дальнейшем нас будет интересовать закон преобразования потенциала скоростей. Определим потенциал скоростей W соотношением (см. п. 1.6):

1.4. Наиболее часто используемые калибровочные условия.

Как было показано в п. 1.2. разбиение метрики на однородную и неоднородную части неоднозначно. Калибровочные преобразования (1.7) позволяют упростить линейным элемент (1.6) путем выбора подходящего пространственно - подобною сечения и координат на нем. Здесь мы опишем несколько наиболее часто используемых калибровочных условий для скалярных возмущений. Более подробный обзор калибровок можно найти в работе |G2].

1.4.1. Продольная калибровка.

Эту калибровку также называют конформно-ньютоновской. Она задастся ус. мжпя.мм В — Е = 0. Эти условия полностью фиксируют выбор координат. Переход и продольную калибровку осуществляется преобрггюваниями

¦П "> Vl = V - (В - Е') , хг -+ х\ = х' + 7lJ?b- (1-2D

Линейный элемент метрики приобретает вид

ds2 = а2^) [(1 + 2фй) drj2 - (1 - 2^) ll3dx4xi] . (1.22)

В случае, если пространственная часть возмущений тензора энергии-импульса

Глава 1. Линейная теория возмущении в инфляционной космологии.____________________1С

является диагональной, получаем

Фь = Фь- (1-23)

Из величин ф,ф,В,Е можно составить комбинации, которые не изменяются при калибровочных преобразованиях. Например, часто используются величины [G9|:

1 '\ V "' '

a a

которые впервые были введены Бардиным (Bardeen) [2|. Калибровочно инвариантные величины Ф. Ф не зависят от выбора системы координат и в продольной калибровке совпадают с величинами ф^ , ф^ соответственно.

Эту калибровку называют также внедиагональной. В ней на выбранной пространственной гиперповерхности трехмерная метрика однородна, что требует ф — Е — 0. Соответствующее калибровочное преобразование имеет вид:

Оставшиеся степени свободы метрического тензора описываются величинами

В(:С = В-Е'-щ. (1.27)

Эти величины также являются калибровочно-ннвариантными и были обозначены Л, В в работе [42].

В некоторых случаях оказывается более удобным использовать '-гги переменные вместо переменных Ф и Ф. Например, если рассчитывается эволюция возмущении во время сжатия в модели "перед Большим Взрывом", возмущения Л и В остаются малыми даже если Ф и Ф становятся большими (см. например (12|). Возмущения скалярного поля в калибровке постоянной кривизны в силу закона преобразования (1.16) равны

6<р + <р'^ (1.28)

и совпадают с калибровочно-инвариантпой переменной Сасаки - Муханова |С9|.

1.4.3. Сопутствующая ортогональная калибровка.

Предположим, что материя во Вселенной может рассматриваться как идеальная жидкость. Сопутствующая ортогональная калибровка определяется таким образом.

Глава 1. Линейная теория возмущений в инфляционной космологии._______________________1_7

чтобы трехмерная скорость жидкости была равна нулю vlc = 0. Ортогональность гиперповерхностей постоянного времени к четырехмерной скорости требует выполнения условия В = 0. Такая калибровка часто используется при рассмотрении возмущений в радиационно - доминированной и пылевидно - доминированной Вселенной. Из уравнений (1.14) и (1.20) получаем соответствующее калибровочное преобразование:

& = -(\V + B), (1.29)

xi), (1.30)

где ?(хг) отражает возможность преобразования пространственных координат. Все трехмерные скаляры не зависят от этой остаточной свободы в выборе координат. Скалярные возмущения метрики равны:

В)а}'

а ¦фс = ф -Л(УУ + В), (1.32)

Ес = Е + I Wdr]-?. (1.33)

Калибровочно-инвариантная величина фс впервые была использована в работ*1 В.Н. Лукаша (60). В работе Д.Х. Лиса (Lyth) [57| она получила обозначение 7Z. которое в настоящее время широко используется. Используя уравнения Эйнштейна (см. п.1.6.1), можно получить соотношение

"'%тт- (1-31)

из которого потенциал скорости выражается через возмущения метрики. Величину 7Z можно записать в терминах калибровочно-инвариантных величин Ф и Ф:

которая при Ф = Ф совпадает с величиной, обозначенной С, в обзоре [69|.

1.4.4. Синхронная калибровка.

Синхронная калибровка задается условиями ф = 0 и В = 0. Из (1.G) видно, что из любой начальной системы координат можно найти преобразование в синхронную калибровку. Искомое преобразование имеет вид [69]

Л-*'П» = т)+- / офит], х*-*х\ = х* + jij ( f Bdr)+ [^ [ aфdЛ , (1.30)