10. Переходные процессы в нелинейных электрических цепях

б) = 40,8 – 45i ² = 0, i = 0,952 A;

1) x_L(0) =(0) = 200 – 45·i ² = 200 Ом = x_Cmax, C_min == 15,9 мкФ;

2) = 200 – 45·i ² = 0, i = 2,11 A, x_Cmin = x_L(2,11) =(2,11) = 133,3 Ом,

Переходные процессы (ПП) в нелинейных электрических цепях носят значительно более сложный и многообразный характер, чем в линейных, так как нелинейность характеристик элементов может приводить как к чисто количественным изменениям показателей ПП, так и к возникновению ка-чественно новых явлений, принципиально недостижимых в линейных цепях. ПП в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Поскольку не найдено общего метода решения таких уравнений, то нельзя указать общего аналитического метода расчета ПП в нелинейной цепи произвольной конфигурации. Существует много частных методов, направленных на решение конкретных задач расчета ПП в нелинейных цепях. Перечислим наиболее распространенные из них и обозначим их сущность.

1. Метод условной линеаризации. Его суть заключается в том, что характеристика нелинейного элемента (НЭ) заменяется прямой линией, проходящей через начальную и конечную точки переходного процесса на характеристике НЭ. Уравнение этой прямой подставляется в дифуравнение, описывающее ПП, в результате чего оно становится линейным и его решение большого труда не представляет.

2. Метод аналитической аппроксимации. Сущность метода заключа-ется в приближенном выражении характеристики НЭ некоторой аналитиче-ской функцией, которая подставляется в дифуравнение, описывающее ПП, и производится его решение. Успешность применения этого метода зависит не только от того, насколько точно выражена характеристика НЭ, но еще и от того, насколько просто находится решение полученного дифуравнения.

3. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Его сущность заключается в замене характеристики НЭ отрезками прямых линий (ломаной), уравнения которых подставляются в нелинейные дифуравнения, описывающие ПП. При этом системе исходных нелинейных соответствует совокупность систем линейных дифуравнений, решение которых может быть найдено известными методами. Постоянные интегрирования, появляющиеся при решении системы линейных дифуравнений, определяются путем «припасовывания», т.е. согласования решений, полученных на соседних линейных участках.

4. Метод последовательных интервалов. Сущность метода основана на предложенном Эйлером приближенном способе решения нелинейного дифуравнения. При этом время ПП разбивается на ряд достаточно малых интервалов ∆t, которыми заменяется dt, имеющееся в уравнении. Это позволяет на каждом интервале определять приращение одной из величин, характеризующих НЭ. Допущение о том, что другая величина, характери-зующая НЭ, имеет значение, соответствующее предыдущему участку, позволяет осуществлять переход от одного интервала к другому и произвести расчет ПП от начального состояния до его практического завершения.

5. Метод графического интегрирования. Его сущность: в исходном дифуравнении нужно разделить переменные, выразив производную одной из них, например, по времени t в виде некоторой функции. Тогда ответ для этой переменной будет представлять собой интеграл от указанной функции. Поскольку значение интеграла равно площади, ограниченной подынтегральной функцией, то, задаваясь различными значениями верхнего предела интеграла, можно каждый раз определять соответствующее значение искомой переменной и получить зависимость между этими величинами в течение всего переходного процесса.

Задача

Таблица 10.1

Решение

В установившемся режиме состояние цепи определяется уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа

Будем полагать, что в этом режиме i_у(r + r₀) » u_Cу (в дальнейшем покажем, что это соотношение выполняется). Тогда

Установившееся значение заряда вариконда

П
о данным табл. 10.1 построим КлВХ вариконда (рис. 10.2) и по амплитудному значению его установившегося заряда q_уm = 0,5 мКл опреде-ляем точку А установившегося режима. Этой точке соответствует ампли-тудное значение установившегося напряжения на вариконде U_Cm = 20 B.

Применяя метод условной линеаризации, заменим КлВХ вариконда прямой линией, проходящей через точку А, уравнение которой

q = Cּu, (10.1)

где = 25 мкФ – ёмкость вариконда в точке А.

Сопротивление конденсатора ёмкостью С

Ом,

т.е. соотношение i_у(r + r₀) » u_Cу действительно выполняется.

Переходный процесс в цепи описывается уравнением

i(r + r₀) + u_C = jr₀, (10.2)

причем , а из (10.1) . (10.3)

Подставляя (10.3) в (10.2), получаем

(10.4)

Решение (10.4)

где: τ = С(r + r₀) – постоянная времени цепи;

Из (10.5) получаем, что В = 0,5ּ10^-3ּcos(ψ). Тогда окончательный ответ для заряда вариконда

(10.6)

= 0,994ּ10^-3 Кл = 0,994 мКл.

Таким образом, = 12,5.

Напомним, что в цепи с линейной ёмкостью указанное превышение не может быть больше двух.
Задача 10.2. В схеме рис. 10.3, содержащей резистивный нелинейный элемент (НЭ), возникает переходный процесс при выключении рубильника. Характеристика НЭ задана в табл. 10.2.

Таблица 10.2

Аппроксимировав характеристику НЭ двумя отрезками прямых, определить закон изменения тока в НЭ и напряжения на ёмкости С. По результатам расчета построить графики зависимости искомых величин от времени, если U = 100 B, r₂ = 5 Ом, r₃ = 52,9 Ом, C = 200 мкФ.

По данным табл. 10.2 строим график u₁(i₁) (ВАХ НЭ), который представлен на рис. 10.4.

Д
о коммутации имеем i₂(t_-) = 0 (ёмкость не пропускает постоянный ток), следовательно, i₁(t_-) = i₃(t_-), поэтому точку (1) установившегося режима до коммутации определим графическим путем в соответствии с уравнением

u₁(t_-) + r₃i₃(t_-) = U.

Из графика рис. 10.4 получаем

В момент коммутации u_С сохранит своё значение в соответствии со вторым законом коммутации, т.е. u_С(0) = 74 B.

В момент коммутации рабочая точка (точка 2) на ВАХ НЭ переместится в соответствии с выражением

Из графика рис. 10.4 получаем:

Рабочий участок ВАХ НЭ аппроксимируем двумя прямолинейными участками: 2-3 и 3-0.

Координаты точки 3: = 0,18 А, = 15,8 В.

Аналитические выражения участков 2-3 и 3-0

где дифференциальные сопротивления r_д1 и r_д2

Для расчета переходного процесса составим дифуравнения цепи после коммутации

При работе НЭ на участке 2-3 его ВАХ уравнение (10.7) принимает вид

13,3 + i₁r_д1 + u_C + i₁r₂ = U; или (10.8)

Решение уравнения (10.8) имеет вид

u_C = U – 13,3 + А₁,

Постоянную интегрирования А₁ определим из условия, что при t = 0 u_С(0) = 74 B, т.е.

Окончательные ответы для u_С и тока в цепи при работе НЭ на участке 2-3

При работе НЭ на участке 3-0 его ВАХ уравнение (10.7) принимает вид

Решение уравнения (10.10) имеет вид

u_C = u_Су + А₂ , (10.11)

где корень характеристического уравнения

с^-1,

а t₁ – момент времени, когда происходит переход с участка 2-3 на участок 3-0.

Определим t₁ из условия, что при t = t₁ (10.9) должно дать результат i⁽³⁾ = 0,18 А, т.е.

0,18 = 0,67·,

откуда 5,0·10^-3 с = 5,0 мс.

Постоянную интегрирования А₂ определим из условия, что при t = t₁ (10.9) и (10.11) для u_С должны дать одинаковый результат, т.е.

86,7 – 12,7·= 100 + А₂,

откуда А₂ = 86,7 – 12,7·– 100 = -16,7 В.

Окончательные ответы для u_С и тока в цепи при работе НЭ на участке 3-0

u_С = 100 – 16,7· B,

i == 200·10^-6·(-16,7)·(-53,9)· = 0,18· A. (10.12)

По (10.9) и (10.12) построены требуемые графики с использованием системы Mathcad, которые приведены на рис. 10.5.

Задача 10.3. В схеме рис. 10.6 во время переходного процесса определить закон изменения тока диода, если J = 10 мА, С = 5 мкФ и ВАХ диода задана табл. 10.3. Найти также время t₁ из условия u(t₁) = 0,8 B.

Таблица 10.3

i, мА	0	0,2	0,6	1	2,5	3,4	6	10
u, B	0	0,1	0,2	0,3	0,5	0,6	0,8	1

Решение

Применим метод аналитической аппроксимации, а именно: характерис-ику диода выразим параболой i = ku². По схеме имеем u_C = u. Согласно второму закону коммутации u_C(0₊) = u_C(0_-) = 0. Следовательно, начальная точка работы диода u(0₊) = 0, i(0₊) = 0 – начало координат. Конечная точка его работы i_у = J = 10 мА, u_у = 1 В. Через конечную точку должна проходить аппроксимирующая парабола, т.е.

i_у = J = ku_у² , k = = 10 ^-2 А/В².

После коммутации

i_C = C; J = i_C + i = C+ ku²;

=; dt ==·=·=·.

Обозначим _Э === 0,5·10 ^-3 с.

Учтем, что = Arth(x), получим

t = _Э·Arth; u = u_У ·th; i = ku² = i_у ·th².

Найдем t₁ из условия u(t₁) = 0,8 B: t₁ = _Э·Arth(0,8) = 0,549·10 ^-3 c.

Задача 10.4. Решить задачу 10.3 методом последовательных интервалов. Полученный результат сравнить с решением задачи 10.3.

Решение

Исходное уравнение для расчёта

или

Заменив dt на t, получим выражение для приращения напряжения на k-ом интервале  u_k =(J – i_k-1).

Ток в начале k-ого интервала будем считать равным току в конце (k–1)-ого интервала. Это позволит переходить от одного интервала к другому.

Выберем t. Его рекомендуют брать в диапазоне (0,10,2)τ_Э. Примем t = 0,1τ_Э = 5·10 ^-5 с = 50 мкс.

Состояние цепи в момент коммутации: u(0) = 0, i(0) = 0.

Результаты расчета переходного процесса по приведенным формулам сведем в табл. 10.4.

Таблица 10.4

k	t, 102 мкс	ik-1 , мА	uk, В	uk = uk-1+uk, В	ik, мА
0	0	-	-	0	0
1	0,5	0	0,1	0,1	0,2
2	1	0,2	0,098	0,198	0,58
3	1,5	0,58	0,094	0,292	0,98
4	2	0,98	0,09	0,382	1,7
5	2,5	1,7	0,083	0,465	2,2
6	3	2,2	0,078	0,543	2,95
7	3,5	2,95	0,071	0,614	3,5
8	4	3,5	0,065	0,679	4,1
9	4,5	4,1	0,059	0,738	4,9
10	5	4,9	0,051	0,789	5,9
11	5,5	5,9	0,041	0,83	6,5
12	6	6,5	0,035	0,865	7
13	6,5	7	0,03	0,895	7,7
14	7	7,7	0,023	0,918	8
15	7,5	8	0,02	0,938	8,4
16	8	8,4	0,016	0,954	8,9
17	8,5	8,9	0,011	0,965	9,2
18	9	9,2	0,008	0,973	9,4
19	9,5	9,4	0,006	0,979	9,6
20	10	9,6	0,004	0,983	9,7
21	10,5	9,7	0,002	0,985	9,75
22	11	9,75	0,0015	0,9865	9,8

П
о данным табл. 10.4 на рис. 10.7 с использованием системы Mathcad построены графики u(t) (кривая 1) и i(t) (кривая 3). Там же приведены эти же зависимости, но полученные в задаче 10.3 (кривые 2 и 4, соответственно).

ЗАДАЧА 10.5. В схеме рис. 10.8 характеристика туннельного диода (НЭ) аппроксимирована отрезками прямых, как показано на рис. 10.9. Координаты точек рис. 10.9: 1(10;100); 2(2;340); 3(10;500). Требуется определить устойчивость положения точки равновесия, рассчитать период автоколебаний, построить графики i(t) и u_L(t), если

Е = 0,3 В; r = 10 Ом; L = 20 мГн.

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа состояние цепи определяется уравнением . Состояние равновесия цепи постоянного тока определяется отсутствием изменения тока во времени, поэтому положение точки равновесия m (рис. 10.9) определим как точку пересе-чения характеристики НЭ с характеристикой активного двухполюсника, состоящего из Е и r. Как видно из рис. 10.9, точка равновесия является неустойчивой, поскольку в её окрестности положительное приращение тока сопровожда-ется отрицательным прираще-нием напряжения и наоборот. Следовательно, в цепи возникнут автоколебания.

После включения цепи в интервале времени 0 ≤ t ≤ t₁ НЭ работает на участке 0-1 своей вах, а ток изменяется в соответ-ствии со схемой рис. 10.10,а, где – динамическое сопротивление НЭ на этом участке. Для этой схемы

После подстановки цифр и вычислений получаем i = 15·(1 – e ^-1000t) мА. Это и будет выражение для тока при t₁ ≤ t ≤ t₂.

В момент времени t = t₁ ток достигает значения i₁ = 10 мА, т.е.

10 = 15·(1 – e ^-1000t1), откуда t₁ = 10^-3·ln(15/5) =1,099·10^-3 c.

В этот же момент процесс лавинообразно переходит в т. 3 вах НЭ и расчетная схема переходного процесса принимает вид, представленный на рис. 10.10,б. В этой схеме Поскольку ток не может изменяться скачком, то при t = t₁ формула для тока должна дать значение, равное i₁. Исходя из этого условия, определяем постоянную интегрирования В и с учетом того, что Е₃ = Е (см. рис. 10.9), получаем ответ i = 10·e ^-1500(t-t1) мА. В момент времени t₂ работа НЭ на участке 3-2 прекраща-ется и ток принимает значение, равное i₂ = 2 мА, т.е.

2 = 10·e ^-1500(t2-t1),

откуда

В этот же момент происходит возврат работы цепи на участок 0-1 вах НЭ и к схеме рис. 10.10,а, но не при нулевом значении тока, а при его значении, равном i₂ = 2 мА. Поэтому ток бу-дет описываться форму-лой i =+ De^-(t-t2)/2, причем на основании вы-ше сказанного D = -13 мА. Таким образом, при

t₂ ≤ t ≤ t₃

i = 15 – 13e^-1000(t-t2) мА.

В момент времени t = t₃ ток достигает значения, равного i₁ = 10 мА, т.е. 10 = 15 – 13e^-1000(t3-t2), откуда

.

Далее процесс будет повторяться в той же последовательности, поэтому период и частота автоколебаний будут

T = t₂ + t₃ = 2,029·10 ^-3 c; f = 1/T = 493 Гц.

На основании полученных выражений с использованием системы Mathcad построен график i(t), приведенный на рис. 10.11.
10.3. задачи для самостоятельного решения

ЗАДАЧА 10.6. Кон-денсатор с ёмкостью С был заряжен до напряжения U, а затем замкнут на полупро-водниковый диод (рис. 10.12), вольт-амперная характеристи-ка которого приближённо описывается уравнением

i = αu².

1. Найти аналитическую зависимость напряжения на диоде и конденсаторе от времени.

2. Сравнить её с уравнением разрядки конденсатора на постоянное сопротивление, равное дифференциальному сопротивлению диода в начале разрядки r_диф0 = du/di = 1/(2αU).

Ответы и комментарии: i = -Сdu/dt = αu²; -Сdu/dt = αu² или

-= dt; t =+ А =- и в первом случае u1(t) =.

Во втором случае u2(t) = U= U= U, разрядка идёт быстрее, так как в первом случае с убыванием напряжения сопротивление диода увеличивается.

Для наглядности на рис. 10.12 построены графики u1(t) и u2(t) при следующих значениях величин: U = 10 В, α = 0,01 А/В², С = 10 ^-6 Ф.

ЗАДАЧА 10.7. Рубильник, шунтировавший источник тока J = 200 мА, размыкается, и источник оказывается соединённым последовательно с полупроводниковым р-n переходом (рис. 10.13,а), схема замещения которого приближённо представлена постоянной ёмкостью С = 200 пФ, соединённой параллельно с нелинейным сопротивлением, имеющим ВАХ рис. 10.13,б (U_пр = 0,5 В; r_диф = m_r·tgβ = 12 Ом). Найти закон изменения напряжения на р-n переходе при включении его в проводящем направлении.

Ответы и комментарии: u(0) = 0; u_∞ = U_пр + r_диф·J = 2,9 В.

Расчёт переходного процесса выполняется методом КЛА. На интервале 0t₁ r_диф = ∞, u < U_пр, u(t) == 10⁹t В; u(t₁) = U_пр, t₁ == 0,5·10 ^-9 с.

На интервале t > t₁ u(t) = u_∞ + Ae^p(t-t1), р == -417·10⁶ с^-1,

A = u(t₁) – u_∞ = -2,4; u(t) = 2,9 – 2,4В.

Окончательно записываем: u(t) =

Г
рафик напряжения u(t) приведен на рис. 10.13,в.

З
Таблица 10.5

u3, В	0	18	30
I3, А	0	0,5	1

АДАЧА 10.8. В цепи рис. 10.14,а u = 60 В, r₁ = = 30 Ом, r₂ = 20 Ом, L = 0,2 Гн, ВАХ НС задана табл. 10.5.

Р
ассчитать токи переходного процесса в цепи.

Ответы и комментарии: задача решается методом условной линеаризации. Установившийся режим до и после коммутации рассчитывается методом эквивалентного генератора графическим способом. Линейная часть цепи представляется эквивалентным генератором, который до коммутации имел следующие параметры:

u_х(t_-) = u = 60 В, r_ЭКВ(t_-) = r₁ = 30 Ом, i_КЗ(t_-) = u_х(t_-)/r_ЭКВ(t_-) = 2 А.

Для точки 1 (рис. 10.14,б): i₃(t_-) = 1 А, u₃(t_-) = 30 В.

В послекоммутационном установившемся режиме

u_х(t₊) = u = 24 В, r_ЭКВ(t₊) == 12 Ом, i_КЗ(t₊) = 2 А.

Для точки 2: i_3∞ = 0,5 А, u_3∞ = 18 В.

Линейная ВАХ через точки 1 и 2: r_3диф = u/i = 24 Ом.

Для расчётной схемы, приведенной на рис. 10.15,а: i₃(t) = i_3∞ + Ae^pt.

p = -= -180 с ^-1, i₃(0) = 1 А, A = i₃(0) – i_3∞ = 0,5.

Таким образом, i₃(t) = 0,5 + 0,5·e ^-180t A, u_L(t) = L= -18e ^-180t В.

Остальные токи и напряжения: u_НС(t) определяем графическим способом, используя график i₃(t) и ВАХ НС; u₂(t) = u_НС + u_L; i₂(t) = u₂/r₂; i₁(t) = i₂ + i₃.

В
се графики представлены на рис. 10.15,б.

_{10.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПЭВМ}

Задача 10.9. В схеме рис. 10.16 методом графического интегрирования рассчитать ток i переходного процесса в катушке со сталью, построить его график, если в цепи действует источник постоянного тока J = 10 А, r = 1 Ом, длина средней магнитной линии l = 50 см, сечение сердечника (сталь 1512) S = 100 см², а число витков катушки w = 490. Потоком рассеяния и потерями в стали пренебречь.

Решение

При указанных допущениях переходный процесс описывается уравнениями J = i + i₁; – i₁r = 0 или , откуда .

В установившемся режиме = 0, поэтому ток I_у = J, а установившееся потокосцепление определяем по вебер-амперной характеристике катушки.

На основании полученного выражения для t, задаваясь различными значениями , не превышающими _у определяем соответствующее t и получаем зависимость (t). Используя характеристику катушки, легко получить зависимость i(t).

Само решение задачи, в том числе построение графиков, произведено в системе Mathcad и приведено ниже.

Задача 10.10. Катушка, содержащая 200 витков, намотанных на сердечнике из стали 1512, включается на напряжение B. Длина средней магнитной линии составляет 50 см, а сечение сердечника 200 см². Активное сопротивление провода обмотки составляет 1 Ом. Требуется: пренебрегая потерями в стали и потоком рассеяния рассчитать потокосцепление и ток переходного процесса, построить их графики; определить степень превышения максимальным током переходного процесса амплитуды тока установившегося режима.

Решение задачи произведено методом аналитической аппроксимации в системе Mathcad и приведено ниже.

C. 233-236 – см. файл «Приложение 10» MathCAD.

жүктеу/скачать 0.64 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: