2 Слабое взаимодействие 5 Слабое взаимодействие. Универсальное четырехфермионное (v-a)

Реакции, вызываемые слабыми взаимодействиями при энергиях порядка 100 МэВ, имеют сечения в 10¹³ раз меньшие, чем сечения сильного взаимодействия. Поэтому реакции, обусловленные слабым взаимодействием, можно практически наблюдать, когда сильное или электромагнитное взаимодействия выключены, например, под действием нейтрино. Характерное время протекания «слабых» процессов превышает в 10¹³ раз характерные времена «сильных» процессов. Это сразу позволяет выделить реакции и распады, идущие по каналу слабого взаимодействия.

В чисто лептонных процессах участвуют только лептоны: распады мюона и таона (тау-лептона), упругое рассеяние нейтрино на электронах. В полулептонных процессах участвуют лептоны и адроны: лептонные распады заряженных – и К–мезонов, реакции взаимодействия нейтрино с нуклонами. Нелептонные процессы между адронами: распады каонов и гиперонов. Все перечисленные процессы объясняются на основе универсальности слабого взаимодействия, существующего между лептонами и кварками, из которых состоят адроны.

В процессах с участием слабого взаимодействия отсутствует зарядовая и зеркальная симметрия, т.е. нарушается пространственная и зарядовая четности, а также изменяются на единицу квантовые числа адронов странность и очарование ( и ).

Наиболее распространенный процесс, обусловленный слабым взаимодействием – бета-распад радиоактивных атомных ядер.

Например, распад свободного нейтрона на протон, электрон, и электронное антинейтрино: . Энерговыделение около 1 МэВ, время распада порядка тысячи сек. Распад нейтрона в кварковой модели показан на рис. 2.16.

Рис.2.16. Диаграмма распада нейтрона на протон, электрон и антинейтрино:

Согласно универсальной теории слабого взаимодействия гамильтониан четырех фермионного слабого взаимодействия представляет собой произведение двух токов j, каждый из которых является комбинацией векторного V и аксиального A токов (V–A) – взаимодействие.

. (2.54)
Здесь знак + означает эрмитовое сопряжение, = (ct, x₁, x₂, x₃) – пространственно-временная точка, ( = 0, 1, 2, 3) – индекс 4-фермионного тока, по которому предполагается суммирование.

Ток составлен из операторов рождения и уничтожения пары фермионов. Символически, опуская векторный индекс , заряженный ток можно записать в виде

, (2.55)

заряженный ток недиагонален, т.е. переводит один лептон в другой, один кварк в другую линейную комбинацию.

Например, первое слагаемое в (2.55) равно

, (2.56)

где – оператор рождения электрона, – оператор уничтожения электронного нейтрино, – матрицы Дирака, преобразуется как вектор при преобразованиях Лоренца и пространственной инверсии, – как аксиальный вектор. Три последних оператора в (2.55) являются линейными комбинациями операторов рождения кварков, так что кварковый заряженный ток состоит из девяти слагаемых.

Векторно-аксиальная структура (V-A) токов приводит к характерной зависимости реакций слабого взаимодействия от спинов участвующих частиц. Это связано с тем, что матрица (), действуя на волновую функцию фермиона, выделяет из неё состояния с левой спиральностью. В этом случае спин частицы направлен против импульса частицы, т.е. против направления движения частицы.

Заряженный слабый ток – оператор теории слабого взаимодействия отвечает за переходы, при которых электрический заряд начальных и конечных частиц меняется на единицу элементарного электрического заряда. Заряженный слабый ток описывает взаимодействие лептонов и кварков с полем заряженных промежуточных векторных бозонов . Он превращает нейтрон в протон, электрон в нейтрино. Заряженный ток равен сумме лептонного тока и кваркового тока , каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов.

, (2.57)

где = (ct, x₁, x₂, x₃) – пространственно-временная точка – = 0, 1, 2, 3.

В заряженный лептонный ток входят только левые компоненты полей лептонов

, (2.58)

где – операторы полей заряженных лептонов, – операторы нейтрино.

Через операторы полей u(x), d(x), s(x ) кварков заряженный ток Каббибо записывается так:

. (2.59)
При учете дополнительного очарованного с-кварка к току Каббибо необходимо добавить ток ГИМ ( Ш. Глэшоу, Дж. Илиопулос, Л. Майани 1970 г.):
, (2.60)

где с(х) – оператор поля с-кварка.

Взаимодействие заряженного тока с полем промежуточных векторных бозонов описывается плотностью лагранжиана

, (2.61)

где – поле заряженных промежуточных векторных бозонов , g – безразмерная константа взаимодействия (в единицах с = 1, _{ħ = 1}), _ħ.с.– эрмитовое сопряжение.

Плотность эффективного гамильтониана взаимодействия заряженных токов имеет вид

, (2.62)

где – ток, эрмитово сопряженный , – фермиевская константа слабого взаимодействия.

Полный заряженный адронный ток для трех кварковых дублетов

. (2.63)

Кварковые комбинации определяются матрицей Кобаяши–Маскава

Унитарная матрица (Кобаяши, Маскава, 1973) зависит от трех углов Эйлера и одной фазы

Если фаза отлична от нуля, то это означает, что слабое взаимодействие не инвариантно относительно СР-преобразования.

где = (ct, x₁, x₂, x₃) – пространственно-временная точка; =0, 1, 2, 3

Взаимодействия с участием нейтральных токов не сохраняют пространственную четность. Примером процесса с нейтральными лептонным и адронным токами является упругое рассеяние нейтрино на протоне .

Взаимодействие нейтрального тока с полем нейтрального бозона описывается полностью плотностью лагранжиана

g – безразмерная константа взаимодействия (в единицах с=1, _ħ=1) связана с электрическим зарядом е и углом Вайнберга соотношением в области перeдаваемых импульсов, много меньших массы зет-бозона. Bзаимодействие нейтральных токов описывается плотностью гамильтониана

(2.69)

Важным свойством нейтральных токов является их диагональность. Они переводят каждый лептон или кварк сам в себя.

Нейтральный ток каждого лептона и кварка определяется электромагнитным током и током третьей компоненты слабого изоспина

. (2.71)

Нейтральный ток для нейтрино (первое слагаемое в (2.70))

где – оператор нейтринного поля.

Нейтральный ток для электрона (электромагнитный ток )

, (2.73)

где содержит операторы уничтожения позитрона и рождения электрона, – содержит операторы уничтожения электрона и рождения позитрона в пространственно–временной точке х . В другой записи (четвертое слагаемое в (2.70)

здесь – оператор электронного поля, черта над операторами означает дираковское сопряжение, , – матрицы Дирака. Важнейшее свойство электромагнитного тока – его сохранение , является следствием калибровочной инвариантности квантовой электродинамики.

где – постоянная тонкой структуры.

В 80-е гг. ХХ в. было установлено, что слабое и электромагнитное взаимодействия – это различные проявления единого электрослабого взаимодействия.

Если «выключить» слабое взаимодействие, то погасло бы Солнце и звезды, так как прекратился бы водородный цикл сгорания протонов с образованием гелия. Без слабого взаимодействия были бы стабильны нейтрон, мюон, пи-мезон, странные и очарованные частицы.

Для слабого взаимодействия на (рис.2.17) показаны вершины диаграмм и диаграммы рассеяния нейтрино и антинейтрино на электроне, а также диаграмма для распада мюона.

Рис.2.19. Феймановская диаграмма для вклада нейтральных лептонных

токов в упругое рассеяние нейтрино на электроне

Рис.2.20. Диаграмма для реакции распада отрицательного мюона с участием векторного бозона

Рассмотрим поле скалярных частиц, описываемых лагранжианом с двухгорбым потенциалом (см. рис. 2.21)

Возьмем производную от

Потенциал V(x) имеет минимумы в точках

Разложим лагранжиан в окрестности минимума

где – квантовые флуктуации вокруг классического минимума.

Подставим ,

и

в лагранжиан (2.76).

Получим лагранжиан возмущения

Сравним его с лагранжианом для уравнения Клейна-Гордона

содержащим явно массовый член. Видно, что второе слагаемое (массовый член) имеет коэффициент . Члены более высокого порядка и представляют самодействие поля. Таким образом, спонтанное нарушение симметрии скалярного поля привело к возникновению массы у скалярного поля.

Возьмем модельный лагранжиан слабого взаимодействия

где – изотопический спинор в группе – это дублет комплексных скалярных полей

В лагранжиане (2.81) второе слагаемое массовое, третье слагаемое – самодействие скалярных полей, четвертое слагаемое – кинетическая энергия калибровочных полей.

Для инвариантности лагранжиана относительно локальных фазовых преобразований группы

(2.83)

вводим ковариантные производные согласно примеру 4 (формула 2.43):

Возникает три калибровочных поля с дополнительно к четырем скалярным полям (i =1, 2, 3, 4) согласно формуле .

В случае, когда <0 и >0 потенциал имеет минимум при конечном значении , при котором

.

Множество точек, в которых потенциал принимает минимальное значение, инвариантно относительно преобразований группы . Возьмем точку минимума φ₁ = φ₂ = φ₄, , которую обозначим . Это эквивалентно спонтанному нарушению – симметрии.

Разложим теперь в окрестности этого специально выбранного вакуума

, (2.86)

подстановка этого выражения в исходный лагранжиан (2.80)приводит к выражению

Таким образом, из четырех скалярных полей остается только одно хиггсово поле .

Подставляяв лагранжиан (2.87), выделяя второе слагаемое

(2.88)

и сравнивая его с массовым слагаемым для бозона , получаем, что три калибровочных бозона обрели массу

Сравнивая в следующем третьем слагаемом (2.86) член и массовый член , получаем бозон Хиггса с массой

где ГэВ, величина константы λ, к сожалению, не известна.

Отметим, что бозон Хиггса экспериментально не обнаружен (2010 г.). Механизмом Хиггса называется механизм возникновения массы у калибровочного поля вследствие спонтанного нарушения симметрии.
2.5.3. Электрослабое взаимодействие

Электромагнитное и слабое взаимодействия объединены в единую теорию электрослабого взаимодействия Глэшоу-Вайнберга-Салама на основе калибровочной группы . Наблюдение промежуточных векторных бозонов W⁺, W^-, Z⁰ на протон-антипротонных встречных пучках является прямым экспериментальным подтверждением данной теории. Характерной чертой теории является присутствие киральных фермионов (фермионные поля являются собственными векторами проекционных операторов ), что проявляется как нарушение Р-инвариантности в слабых процессах.

В исходной теории имеется три безмассовых векторных поля , соответствующие симметрии с константой и поле , связанное с симметрией с константой . Исходная симметрия должна быть спонтанно нарушена так, чтобы получили массы кванты слабого взаимодействия , а квант электромагнитного поля (фотон) остался безмассовым.

Два нейтральных поля , соответствуют линейным комбинациям наблюдаемых физических полей и

,

, (2.91)

где – угол Вайнберга.

Минимальное число скалярных полей, приводящих к возникновению масс трех промежуточных бозонов, равно четырем. В качестве таковых выбирается комплексный дублет, т.е. вектор спинорного представления группы : и , где + означает эрмитово сопряжение.

Исходный лагранжиан калибровочных и скалярных полей, инвариантный относительно калибровочных преобразований с группой , имеет вид

первое слагаемое – динамическое, второе слагаемое – массовый член, третье слагаемое – самодействие, четвертое слагаемое – кинетическая энергия калибровочных полей, пятое слагаемое – кинетическая энергия фотонного поля.

Здесь >0 – константа взаимодействия поля Хиггса; тензор напряженности фотонного поля , где – 4-векторный потенциал электромагнитного поля; – напряженность поля Янга-Миллса. Ковариантная производная определена выражением

,

, (2.93)

где – константы взаимодействия поля Хиггса с полями и В, – Матрицы Паули.

Явление (механизм) Хиггса осуществляется при отрицательных квадратах масс скалярных частиц < 0. Предполагается, что скалярное поле приобретает ненулевое вакуумное среднее . Скалярные поля переопределяются

, . (2.94)

Здесь физическими полями являются , , . Подстановка переопределенных скалярных полей в лагранжиан приводит к появлению члена первой степени по полю .

Если вакуумное среднее поля равно нулю, то . Решение нарушает симметрию. Коэффициенты при квадратах полей равны, т.е. , а у калибровочного поля появляется масса . Безмассовые скалярные частицы уходят из физического спектра в результате явления Хиггса. При этом необходимо провести следующее калибровочное преобразование векторных потенциалов заряженных бозонов:

. (2.95)

Заряженные бозоны приобретают массу , и нейтральные поля и образуют комбинацию

причем нейтральный бозон приобретает массу . Угол Вайнберга связан с константами связи

Таким образом, три безмассовых скаляра в результате механизма Хиггса включаются в массивные векторные поля. Из равенства заряда элементарному заряду е получаем связь

Для описания взаимодействия векторных и скалярных полей с элементарными спинорами-лептонами и кварками вводятся лептонные мультиплеты

левые и правые ,

аналогично при для ,

и кварковые мультиплеты

левые , правые ,

и аналогично при k= 2, 3 для _.

Штрихи у кварков означают комбинацию кварков d, s, b, определяемую через матрицу Кобаяси–Маскава.

Преобразование левых и правых компонент поля подчиняется калибровочному преобразованию группы

,

. (2.99)

Здесь – слабый гиперзаряд, определенный соотношением

где Q – оператор заряда, являющийся генератором группы , оператор гиперзаряда генерирует группу .

Слабые токи описываются группой с зарядами , которые генерируют алгебру группы

. (2.101)

Окончательный вид электрослабого взаимодействия лептонов и кварков с векторными полями следующий:

где заряженный ток состоит из лептонного и кваркового

электромагнитный ток состоит из диагональных лептонных (), обычных кварковых и комбинационных кварковых токов ,

нейтральный ток состоит из кваркового, комбинационного кваркового и электромагнитного токов

Калибровочная константа связи . Масса заряженных векторных бозонов

где константа электромагнитного взаимодействия .

Таким образом, окончательный лагранжиан стандартной модели (Вайнберга- Салама) электрослабого взаимодействия имеет вид (см.табл.2.5).

Экспериментальным подтверждением электрослабой теории является:

электрослабого взаимодействия Таблица 2.5

Лагранжиан стандартной модели (Вайнберга- Салама) электрослабого взаимодействия = = Кинетическая энергия и самодействие частиц полей ,, + + Кинетическая энергия лептонов и кварков и взаимодействие лептонов и кварков с частицами полей ,, + ++ Взаимодействия и массы частиц полей ,, и хиггсовской частицы Н + + Массы кварков и лептонов и взаимодействие кварков и лептонов с хигговской частицей Н.

Примечание к табл. 2.5

Здесь индексом обозначен левый фермионный (лептонный или кварковый) дублет, а индексом – правый фермионный синглет.
Экспериментальные данные, находящиеся в согласии с электрослабой теорией это:

1. Данные по многочисленным распадам частиц (проверка взаимодействия заряженного тока с -бозоном.

2. Данные по нейтринным реакциям (проверка взаимодействия с -бозонами)

3. Данные по массам и ширинам уровней самих векторных бозонов.