5-6 классы Модуль 1: Путешествие точки по «экзотическим» геометрическим линиям

Модуль 1: Путешествие точки по «экзотическим» геометрическим линиям

1. 
   Представьте, что конус разрезается плоскостью, параллельной основанию. Какая получится фигура на плоскости разреза (в сечении)?
   
2. 
   П
   редставьте, что конус разрезается плоскостью под каким-то углом по отношению к основанию, но не пересекающей основание. Какая получится фигура в сечении?
   
3. 
   Представьте, что конус разрезается плоскостью, проходящей через боковую поверхность и основание. Какая получится фигура в сечении?
   

1. 
   Круг (рис.А).
   
2. 
   Эллипс (рис.Б).
   
3. 
   Рис. В и Г.
   

Эта кривая, также как и эллипс, имеет два фокуса, но в отличие от эллипса, гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Основное свойство гиперболы: разность расстояния от любой точки гиперболы до двух её фокусов является постоянной величиной. АМ₁ – ВМ₁ = ВМ₂ – АМ₂. Все точки одной ветви ближе к одному фокусу, а другой ветви - к другому.

Парабола

Эта замечательная кривая часто встречается в природе. Например, камень, брошенный под углом к поверхности Земли, или стрела, пущенная из лука также под углом к земле, описывают параболу. Все точки параболы обладают свойством: они равноудалены от одной точки F и прямой l. То есть, для любой точки параболы М длина отрезка FM равна длине отрезка МХ, перпендикулярного прямой l. Точка F называется фокусом параболы.

Слово «спираль» в переводе с латыни означает «изгиб». Изобразить эту кривую мог бы муравей, ползущий с постоянной скоростью по радиусу равномерно вращающегося диска. Проползая вперёд, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Первым такую кривую увидел Архимед, в честь которого она и была названа спиралью Архимеда.

1. 
   На листе бумаги проведите прямую а и перпендикуляр к ней (рис. А).
   
2. 
   На перпендикуляре отметим точку F, а на прямой а отметим точки М₁, М₂, М₃ и т.д. на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. Б).
   
3. 
   Приложите прямоугольный треугольник так, чтобы его вершина совпала с точкой М₁, а точка F оказалась на одной стороне прямого угла треугольника. На другой стороне прямого угла треугольника отметьте точку N, а на листе около нее - N₁ (рис. В).
   
4. 
   Точно также с помощью точки N на треугольнике постройте точки N₂, N₃, N₄ и т.д.
   

5. 
   И
   глой с цветными нитками соединяем точки М₁ с N₁, М₂ с N₂, М₃ с N₃ и т.д. (соединять лучше так: вытащить нитку на лицевую сторону в точке М₁, вывести с лицевой в точке N₁, вытащить нитку на лицевую сторону в точке N₂, вывести с лицевой в точке М₂ и т.д.). Аналогично сделайте с другой стороны перпендикуляра.
   

На каждом из четырех лучей, полученных при пересечении перпендикулярных прямых, надо отметить одинаковое количество точек на некотором расстоянии от точки пересечения.

Соединять точки необходимо на сторонах прямого угла: первую (от точки пересечения) соединяем с последней, вторую – с предпоследней и т.д. (см. рисунок). Полученная кривая называется астроидой.

Сделаем практические работы по построению еще нескольких закономерных кривых линий.