7 класс Группа "профи"("Ш")
Для самостоятельного решения
жүктеу/скачать 471 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Комбинаторика: основные формулы.
- Для самостоятельного решения
- Счастливые билеты
Для самостоятельного решенияЗад12. Даны точки А и В. Найдите ГМТ М таких, что 12.1. ВАМ – наименьший угол треугольника АВМ; 12.2. АМВ – средний по величине угол треугольника АВМ; 12.3. АВМ – наибольший угол треугольника АВМ. Зад13. Даны горизонтальная прямая l и точки А и В по одну сторону от нее. Найдите ГМТ М таких, что прямая АМ пересекает прямую l левее, чем прямая ВМ. Комбинаторика: основные формулы.Упр1. Среди 12 школьников требуется выбрать дежурных на ближайшие шесть дней – на каждый день по дежурному. Сколько существует различных выборов? Упр2. Сколькими способами можно выбрать из слова «лмышонок» пару из гласной и согласной букв? Упр3. У скольких 10-значных чисел все цифры различны? Упр4. Среди 12 школьников требуется выбрать шесть футболистов. Сколько существует различных выборов? Обозначение. x в убывающей степени k  (всего k сомножителей).
Упр5. Вычислите или упростите: а)  ; б)  ; в)  ; г)  , где k – натурально.
Определение. Числом размещений из n элементов по k называется количество способов выписать в строчку k разных чисел из данных n (строчки, отличающиеся порядком, считаются разными). Оно обозначается  .
Теорема 6.  .
Определение. Числом сочетаний из n элементов по k называется количество способов выбрать k чисел из чисел от 1 до n (наборы, отличающиеся лишь порядком, считаются одинаковыми). Оно обозначается  .
Упр7. Сколько размещений можно сделать из одного сочетания по k элементов? Теорема 8.  .
Упр9. На окружности отмечены 5 красных, 7 желтых и 9 зеленых точек. Сколько есть треугольников в этих точках, у которых все вершины а) зеленые; б) одноцветные; в) все разноцветные; г) не все одноцветные? Зад10. Сколько различных строк можно получить, переставляя буквы в словах а) ПЕРЕГОРОДКА; б) МАТЕМАТИТИКА. Зад11. Для проведения вступительной олимпиады преподаватели разбивают 70 школьников следующим образом: список в алфавитном порядке разбивается на 4 части, первая идет в первую аудиторию, вторая – во вторую и т. д. При этом в каждую аудиторию отправляется хотя бы один школьник. Сколькими способами можно произвести распределение? Зад12. Сколько решений имеет уравнение x+y+z=2000 а) в натуральных числах; б) в целых неотрицательных числах? Зад13. Преподаватели снова делят 70 школьников на 4 аудитории, но в этот раз без учета алфавитного порядка. Найдите число способов. Зад14. Хромая ладья ходит на 1 клетку вправо или на 1 клетку вверх. Занумеруем столбцы слева направо, а строки снизу вверх числами 0, 1, 2, 3. Найдите количество путей, ведущих из левой нижней клетки в клетку на пересечении m-го столбца и n-ной строки. Зад15. Сколько решений в нечетных натуральных числах имеет уравнение x+y+z+t=2000? Для самостоятельного решенияЗад16. Сколькими способами можно расставить k ладей на доске NN так, чтобы они не били друг друга? Зад17. Сколько есть решений уравнения x+y+z=100 в натуральных числах от 1 до 60? Зад18. Сколькими способами можно расставить числа 1, 2, …, 20 в строку так, чтобы каждое число, кроме единицы, было больше по крайней мере одного из своих соседей? Счастливые билетыОпределение. Билет с шестизначным номером от 000000 до 999999 называется счастливым, если сумма его первых трех цифр равна сумме последних трех цифр. Наша цель – найти количество счастливых билетов (КСБ). Упр1. Докажите, что КСБ не более 100000. Обозначение. ak – количество трехзначных номеров с суммой цифр k, bk – количество шестизначных номеров с суммой цифр k. Зад2. Докажите, что КСБ с суммой цифр 2k равно  .
Упр3. Найдите a) a4; б) a9. Зад4. Докажите, что КСБ равно  .
Зад5. Докажите, что ak= a27-k. Зад6. Докажите, что КСБ равно  .
Определение. Рассмотрим все тройки неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих уравнению x+y+z=k. Назовем нарушением, если x, y или z больше 9. Назовем тройку хорошей, если в ней нет нарушений и плохой в противном случае. Аналогично определяются плохие и хорошие шестерки. Упр7. Найдите количество плохих троек при k=10 и k=11. Зад8. Докажите, что при 10k19 количество плохих троек равно 3ak-10. Упр9. Найдите все ak при k=0,1,2,…,12,13 и вычислите КСБ. Зад10. Докажите, что КСБ равно количеству шестизначных номеров с суммой цифр 27. Зад11. Докажите, что КСБ<  .
Зад12(???). Докажите, что при 10k количество плохих шестерок с одним нарушением равно  .
Зад13. Докажите, что КСБ >  .
Зад14. Докажите, что при данном k количество плохих шестерок с двумя нарушениями в данных местах равно  .
Зад15. Докажите, что КСБ=  .
жүктеу/скачать 471 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|