Қазақстан Республикасының Оқу-ағарту министрлігі. ҒЫлыми жоба тақырыбы: «Көбейтудің әр түрлі тәсілдері»

Дайындаған:

ғылыми жетекшісі: /аты-жөніңіз/

Руководитель: / ФИО /

Annotation

Head: / FULL NAME /

Кіріспе

Барлық уақытта математика мектептегі негізгі пәндердің бірі болды және болып қала береді, өйткені математикалық білім барлық адамдарға қажет. Математика логикалық ойлау қабілетін дамытады, бұл адамға қызықты өмір сүруге және ешқашан жалықпауға мүмкіндік береді. Бұл тамаша ғылым қораптан тыс ойлау, кез келген жағдайдан шығудың жолын табу қабілетін дамытады.
Біздің жоғары технология және компьютерді кеңінен қолдану ғасырымызда санада жеткілікті күрделі есептеулерді тез және дұрыс орындау мүмкіндігі ешқашан өзектілігін жоғалтқан жоқ. Ақыл-ойдың икемділігі адамдар үшін мақтаныш болып табылады, ал мысалы, санада есептеулерді жылдам орындау қабілеті таң қалдырады.

Мұндай дағдылар адамға оқуда, күнделікті өмірде, кәсіби қызметте көмектеседі. Көптеген ақпаратты талдағаннан кейін біз жылдам санаудың әдеттен тыс тәсілдері, көбейту әдістері туралы өте қызықты тарихи деректерге тап болдық. Біраз күш-жігер жұмсап, біз қазір өзіміз жылдам балл жинай аламыз және бұл білімімізді сыныптастармен және таныстармен бөлісе аламыз.

Жұмыстың өзектілігі: Қолда бар электронды есептеуіш құрылғылардың көп болуына байланысты соңғы жылдары біздің өміріміз әлдеқайда жеңілдегеніне қарамастан, жылдам әрі ыңғайлы есептеу шеберлігі адамдар үшін өзектілігін жойған жоқ. Сондықтан, біз өз жұмысымызда қалай тез және дұрыс санауға болатындығын және әрекеттерді орындау процесі пайдалы ғана емес, сонымен қатар қызықты болуы мүмкін екенін көрсеткіміз келеді.

Зерттеу болжамы: Есептеу дағдыларын қалыптастыруда стандартты емес әдістерді қолдану оқушылардың есептеу мәдениетін арттырып, оқушылардың математикаға қызығушылығын арттырып, математикалық қабілеттерінің дамуына ықпал ететінін көрсету.

Мақсаты: жылдам санау техникасын оқып үйрену, сандармен қимылдарды орындау қаншалықты қызықты және ыңғайлы екенін практикалық және теориялық түрде көрсету.

Жобаның мақсаттары:

есептік жазбаны құру тарихымен танысу;

Зерттеу әдістері: тақырып бойынша материал жинау, оны талдау және өңдеу, жұмысты безендіру, презентация құру.

Жоба өнімінің нәтижесі: стандартты емес тәсілдермен көбейтуді орындау бойынша кітапша.

Бұл жұмыстың материалын математика сабағында немесе мектептегі математика үйірмесінің кабинетінде пәнге деген қызығушылықты тудыру және оқушылардың математиканы оқуға деген құштарлығын ояту, сондай-ақ олардың ой-өрісін кеңейту мақсатында қосымша материал ретінде пайдалануға ұсынылуы мүмкін. .

Есептеудің алғашқы қадамдары

Саусақпен санау, саусақпен санау – адамның бүгу, ұзарту немесе сілтеу саусақтары (кейде аяқ) көмегімен жүргізетін математикалық есептеулері. Саусақтар жоғарғы палеолит дәуіріндегі ежелгі адамның ең алғашқы санау құралы болып саналады.

Қытай есебі

Қытайлық санау әдісі саусақтардың саны мен символикасына негізделген. Бұл әдісті қолдана отырып, екі қолмен 20-ға дейін санауға болады.Кейбір провинцияларда ым-ишара әр түрлі болуы мүмкін екенін атап өткен жөн.

0 - бүктелген жұдырық; 1 - ашылмаған сұқ саусақ;

Жапондық есептеу

Жапонияда санау қолды ашудан басталады. Ұсталған бас бармақ 1 санын, кішкентай саусақ 5 санын білдіреді. Осылайша, жұдырықтай қайырылған саусақтар 5 санын көрсетеді. Содан кейін кері әрекет орындалады: 6 саны тартылмаған кішкентай саусақпен көрсетіледі.

Ашық алақанға оралу 10 санын білдіреді. Мысалы, 7 саны индекс пен ортаңғы саусақтарды көрсетеді.

Саусақтардың көмегімен 6-дан 9-ға дейінгі сандарды көбейтуге болады.Ежелгі заманнан бері бұл әдісті көпестер ақыл-ой санауында көмекші құрал ретінде қолданған. Көбейту кезінде қолдар табиғи түрде орналасады, алақандар сізге қарап тұрады. 7 мен 8-ді көбейту керек делік. Бір жағынан 7 саны 5-тен үлкен болса, яғни 2 саусақ болса, ал екінші жағынан 5-тен үлкен болса, сонша саусақты ал, яғни 3 саусақ.

Ә) 9 санына көбейту - 9 1, 9 2 ... 9 10

- жадтан өшіру оңайырақ және қосу арқылы қолмен қайта есептеу қиынырақ, бірақ 9 саны үшін көбейту «саусақпен» оңай шығарылады. Саусақтарыңызды екі қолыңызға жайып, алақаныңызды өзіңізден бұрыңыз. 1-ден 10-ға дейінгі сандарды саусақтарға ойша тағайындаңыз, сол қолдың кішкентай саусағынан бастап оң қолдың кішкентай саусағымен аяқталады (бұл суретте көрсетілген).

9-ды 6-ға көбейткіміз келеді делік. Тоғызды көбейтетін санға тең саусақты бүгеміз. Біздің мысалда саусақты 6 санымен бүгу керек. Бүгілген саусақтың сол жағындағы саусақтардың саны бізге жауаптағы ондық санын, оң жақтағы саусақтардың саны - бірлік санын көрсетеді. Сол жақта бүгілмеген 5 саусақ, оң жақта 4 саусақ бар. Сонымен, 9 6=54. Төмендегі суретте бүкіл «есептеу» принципі егжей-тегжейлі көрсетілген.

Тағы бір мысал: 9 8=? есептеу керек. Жолда саусақтар міндетті түрде «есептеу машинасы» ретінде әрекет етпеуі мүмкін екенін айтамыз. Мысалы, дәптердегі 10 ұяшықты алайық. Біз 8-ші ұяшықты сызып тастаймыз. Сол жақта 7 ұяшық, оң жақта 2 ұяшық бар. Сонымен 9 8=72. Барлығы өте қарапайым.

Көбейту

Математиктердің де қиялы бай. Олар бағанға көбейту мен бөлуден жалыққан кезде, бәрімізді мектепте оқытатындай, олар математикалық есептеулердің әдеттен тыс тәсілдерін ойлап табады. Кейбіреулер үшін олар қызықты және орынды болып көрінуі мүмкін, басқалары үшін - күрделі және қолайсыз.

Көбейтудің және бөлудің көптеген тәсілдері бар, 15 ғасырдағы итальяндық математигі Лука Пачоли көбейтудің 8 әдісін береді, бұл бәрі емес. Біз олардың кейбіреулерін назарларыңызға ұсынамыз.

11-ге көбейтіңіз

А) Цифрларының қосындысы 10 немесе 10-нан кіші санды 11-ге көбейту үшін осы санның цифрларын ойша итеру керек, олардың арасына осы цифрлардың қосындысын қою керек.

Санды 12-ге көбейту үшін:

көбейтіндінің соңғы цифры екі еселенеді және нәтиженің оң жақ цифры ретінде жазылады;

4 x 2 = 8; 2 x 2 + 4 = 8; 1 x 2 + 2 = 4

көбейту ережелері

а) Екі таңбалы санды 101-ге көбейту.Екі таңбалы санды 101-ге көбейту үшін оның жанына толық санды екі рет жазу керек.

B) Цифрларының қосындысы 10-нан кіші екі таңбалы санды 111-ге көбейту.

Берілген екі таңбалы санның цифрларының қосындысын табыңыз (4 + 2 = 6). Көбейткіштің цифрларын итеріп, олардың арасына берілген екі таңбалы санның цифрларының қосындысын екі есе етіп жазамыз.

42 x 111 = 4662

Санды 5, 25, 125-ке көбейту үшін оны сәйкесінше 2, 4, 8-ге бөліп, 10, 100, 1000-ға көбейту жеткілікті.

Мысалға:

1246 x 5 \u003d 6230, 1246 жылдан бастап: 2 \u003d 623;

6428 x 25 \u003d 160700, 6428-ден бастап: 4 \u003d 1607;

8032:8 = 1004-тен 8032 x 125 = 1004000.

Ферроль әдісімен көбейту.

Көбейтіндінің бірліктерін көбейту, көбейткіштердің бірліктерін көбейту, ондықтарды алу, бірінің ондықтарын екіншісінің бірліктеріне және керісінше көбейту және нәтижелерді қосу, жүздіктерді алу үшін ондықтарды көбейту керек. Феррол әдісі арқылы екі таңбалы сандарды 10-нан 20-ға дейін ауызша көбейту оңай.

Мысалға:

12x14=168

а) 2x4 \u003d 8, біз 8 жазамыз

100-ге жақын сандарды қарапайым көбейту.

Мысалы, 96 және 97 сандарын көбейту керек.

Калькуляторға асықпаудың немесе бағанмен санауды бастаудың қажеті жоқ. Көмекші сандарды табамыз. Біз оларды 100-ден өзімізге қолжетімді санды шегеру арқылы табамыз. Біздің жағдайда көмекші сандар 4 және 3 болып шығады.

Содан кейін біз сандар туралы деректерді ұмыта аламыз. Енді қажетті санның басындағы сандарды табайық: 4 пен 3-ті қосамыз, содан кейін 100-ден шыққан санды шегереміз: 4+3=7, 100-7=93. Сонымен санымыздың басында 93 саны тұр.

Содан кейін біз қажетті санның соңғы цифрларын табамыз: біз жай ғана 4 пен 3-ті көбейтеміз. 12 саны біздің санның соңғы цифрлары болып шықты. Біз 9312 санын алдық. Сонымен 96*97=9312.

Көбейтудің орысша тәсілі

Бұл әдіс орыс шаруаларының күнделікті өмірінде кең тараған және оларға ежелгі дәуірден мұра болған. Оның мәні мынада: кез келген екі санды көбейту екінші санды екі есе көбейту кезінде бір санның екі еселенген дәйекті бөліністерінің қатарына қысқарады, бұл жағдайда көбейту кестесі қажет емес.

Бөліну бөлімі 1-ге тең болғанша жалғасады, ал басқа сан параллель екі еселенеді. Соңғы екі еселенген сан қажетті нәтижені береді (1-сурет). Бұл әдіс неге негізделгенін түсіну қиын емес: егер бір фактор екі есе азайса, екіншісі екі еселенсе, өнім өзгермейді. Сондықтан бұл операцияны қайталау нәтижесінде қажетті өнім алынатыны анық.

Қабылдаудың дұрыстығы мынаны ескерсек анық болады:

5 x 48 = (4 + 1) x 48 = 4 x 48 + 48

21 x 12 = (20 + 1) x 12 = 20 x 12 + 12

Тақ санды екіге бөлгенде жоғалған 48, 12 сандарын көбейтінді алу үшін соңғы көбейту нәтижесіне қосу керек екені түсінікті. Орысша көбейту тәсілі бір мезгілде талғампаз және экстравагант болып табылады.

Қытайдың көбейту әдісі

Енді қытайша деп аталатын көбейту әдісін елестетіңіз. Сандарды көбейту кезінде екі фактордың әрбір цифрының цифрларының санына сәйкес келетін сызықтардың қиылысу нүктелері қарастырылады.

Мысалы: 12 × 321 = 3852

Бірінші көбейткіште 1 он және 2 бірлік бар, сондықтан оған параллель бір жасыл сызық (1) және екі қызғылт сары сызық (2) саламыз.

Екінші көбейткіш 3 жүздік, 2 ондық және 1 бірлік. Біз параллель үш көк (3) түзу, екі қызыл (2) және бір көк бір қашықтықта саламыз. Бірінші фактордың сызықтарымен қиылысатын сызықтар.

Енді сызба бойымен жүріп, таяқша сандарының қиылысу нүктелерін бөліктерге бөліп, нүктелерді санауға кірісеміз. Оңнан солға қарай (сағат тілімен): 2, 5, 8, 3. Нәтиже нөмірін солдан оңға қарай (сағат тіліне қарсы) «жинақтаймыз», біз 3852 алдық.

Көбейтудің итальяндық әдісі («Тор»)

Италияда, сондай-ақ Шығыстың көптеген елдерінде бұл әдіс өте танымал болды.

Мысалы: 1234-ті 576-ға көбейтіңіз.

1. Төртбұрышты торды сызып, сандардың бірін бағандардың үстіне, екіншісін биіктігі бойынша жазамыз.

2. Әр жолдың санын әр бағанның сандарына ретімен көбейтіңіз.

Анау. 4х5 = 20. 2 мен 0-ді жазамыз.

1x5 * 3 \u003d 6. Егер көбейту бір таңбалы санды шығарса, біз жазамыз

жоғарғысы 0, ал төменгісі сан.

3. Торды толығымен толтырып, диагональды жолақтардан кейінгі сандарды қосыңыз. Біз оңнан солға қарай бүктеуді бастаймыз. Егер бір диагоналдың қосындысында ондықтар болса, онда оларды келесі диагоналдың бірліктеріне қосамыз.

Көбейтудің үнді тәсілі

Мысалы, 385-ті 64-ке көбейту үшін бір санды көбейткіш, ал оның астына басқа санды көбейткіш ретінде жазамыз. Шарлауды жеңілдету үшін торды сілтеме ретінде пайдалануға болады.

Енді көбейткіштің сол цифрын көбейткіштің әрбір цифрына көбейтеміз. Алынған жұмыстар торға жазылады.

Сол ережелерді сақтай отырып, бүкіл процесті басқа көбейткіш сандармен қайталайық.

Жапондық көбейту әдісі

Екінші фактордың бірінші цифры 3, ал екіншісі 4 болғандықтан, бірінші бағанның шеңберлерін үш бөлікке, екінші бағанды ​​төртке бөлеміз.

Шеңберлер бөлінген бөліктердің саны жауап болып табылады, яғни 12 x 34 = 408.