B. I. Обсуждение проблематики теории многообразий (4). В

Оглавление

Введение...4

B.I. Обсуждение проблематики теории многообразий (4). В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации (7). В.З. Цели работы (16). В.4. Основные проблемы (17). В.5. Основные результаты (21). В.6. Основные методы (25). В.7. Структура диссертации (25). В.8. Апробация и публикации (26).

Глава 0. Базисные понятия и факты...28

§0. Предварительные сведения...28

0.0. Основные литературные источники (29). 0.1. Полугруппы (29). 0.2. Полугрупповые слова и тождества (30). 0.3. Многообразия полугрупп (32). 0.4. Решетки (36). 0.5. Решетки подгрупп симметрических групп (38). 0.6. Следствия некоторых тождеств (40). 0.7. Решетки многообразий полугрупп (43). 0.8.

ф Многообразия и квазимногообразия решеток (52). 0-9. Решет-

ки эквивалентностей (54). 0.10. Мультипликативные свойства бинарных отношений (55). 0.11. G-множества (59).

§1. Строение решеток нильмногообразий

и надкоммутативных многообразий полугрупп...62

1.1. Решетки нильмногообразий (62). 1.2. Мультипликативные аналоги результатов о решетках нильмногообразий (66). 1.3. Решетки надкоммутативных многообразий (75). 1.4. Мультипликативные аналоги результатов о решетках надкоммутативных многообразий (78).

§2. Конгруэнции на G-множествах... 81

2.1. Подрешетка жадных конгруэнции (81). 2.2. Решеточные ограничения (84). 2.3. Мультипликативные ограничения (88). 2.4. Обсуждение результатов данного параграфа (89).

Комментарии...91

Глава 1. Тождества, квазитождества и полумодулярность

в решетках многообразий полугрупп...92

§3. Полумодулярность и дезарговость: запрещенные

подмногообразия...93

Оглавление

3.0. Формулировки основных результатов (93). 3.1. Общая схема доказательства для ненильпотентных многообразий (96). 3.2. Ненильпотентные многообразия индекса 2 (97). 3.3. Не-нильпотентные многообразия индекса 3 (100). 3.4. Ненильпотентные многообразия индекса > 3 (101). 3.5. Нильпотентные многообразия (103).

§4. Полумодулярность и дезарговость: завершение

описания...104

4.1. Редукция к нильмногообразиям (105). 4.2. Нильмного-образия: предварительные замечания (108). 4.3. Система тождеств (n5m) (112). 4.4. Система тождеств (пбт) (114). 4.5. Система тождеств (п7го) (115). 4.6. Системы тождеств (n8m) и (п9га) (115). 4.7. Системы тождеств (пЮго) и (nllm) (117). 4.8. Система тождеств (nl2m) (118). 4.9. Системы тождеств (nl3m)-(nl5m) (119). 4.10. Системы тождеств (п1г) и (п21) (120). 4.11. Системы тождеств (nl6m)-(nl9m) (121). 4.12. Системы тождеств (n20m)-(n23m) (121). 4.13. Системы тождеств (пЗе)-(п111) (122). 4.14. Системы тождеств (n24m)-(n41m) (124). 4.15. Системы тождеств (n42m)-(n47m) (125). 4.16. Системы тождеств (n5m)-(n47m): сводка свойств, используемых в дальнейшем (127). 4.17. Эквивалентность модулярности и принадлежности М4,з для комбинаторных многообразий (128). 4.18. Следствия (131).

§5. Квазитождества, влекущие модулярность...135

5.0. Предварительные замечания (135). 5.1. Квазитождества, выполненные в Мц и в Мз,з, но не выполненные в Л/4,3 (136).

5.2. Квазитождества, выполненные в Mi, но не выполненные в Мз,з (141). 5.3. Квазитождества, выполненные в Мз,з, но не выполненные в Mi (146). 5.4. Квазитождества, выполненные в Мз, но не выполненные ни в Mi, ни в Мз,з (149).

§6. Квазитождества, не выполненные в Мз...150

6.1. Нильмногообразия: эквивалентность дистрибутивности и принадлежности Мз (151). 6.2. Комбинаторные многообразия: дистрибутивность (157).

Комментарии...159

Глава 2. Многообразия полугрупп с мультипликативными

ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов...160

§7. 1.5-перестановочность...163

7.1. /г-1.5-перестановочные многообразия (163). 7.2. Почти fi-1.5-перестановочные многообразия (168). 7.3. Наследственно почти /г-1.5-перестановочные многообразия (178). 7.4. Следствия (182).

§8. Перестановочность__...183

Оглавление 3

8.1. /г-перестановочные многообразия (183). 8.2. Почти /г-пе-рестановочные многообразия (184). 8.3. Наследственно почти /i-перестановочные многообразия (188). 8.4. Следствия (189).

§9. 2.5-перестановочность...190

9.1. Основной результат (190). 9.2. Следствия (196). ™ §10. Слабая перестановочность...197

10.1. Редукция к нильмногообразиям (197). 10.2. Нильмного-образия: доказательство необходимости (200). 10.3. Нильмно-гообразия: доказательство достаточности (213). 10.4. Следствия (217).

Комментарии...219

Глава 3. Надкоммутативные многообразия...220

§11. Квазитождества, не выполненные в Мз,

1.5-перестановочность и перестановочность...221

§12. Квазитождества, влекущие модулярность,

и 2.5-перестановочность...227

12.0. Предварительные замечания (227). 12.1. Квазитождества, выполненные в Мз, но не выполненные в Мц, и 2.5-перестановочность (228). 12.2. Квазитождества, выполненные в М4, но не выполненные в М^з (230).

§13. Модулярность, полумодулярность, дезарговость

и слабая перестановочность...237

13.1. Модулярность, полумодулярность вверх, дезарговость и Ф* слабая перестановочность (237). 13.2. Полумодулярность вниз

(242). 13.3. Следствия (244).

Комментарии...245

Заключение...247

3.1. Возможные направления дальнейших исследований (247).

3.2. Специальные элементы решеток многообразий полугрупп (248). 3.3. Почти слабо /г-перестановочные многообразия полугрупп индекса ^ 2 (253). 3.4. Открытые вопросы (253).

Литература...258

Работы автора по теме диссертации...270

Введение

Роль, которую играет в современной общей алгебре понятие многообразия, общеизвестна. Как емко сказано в монографии Р. Маккензи, Дж. Мак-налти и У. Тэйлора [192], "чтобы направить исследования и организовать знания, мы группируем алгебры в многообразия"1). Причем, как подчеркивается в монографии Д. Хобби и Р. Маккензи [155], этот способ объединения алгебр в классы "оказался настолько плодотворным, что не имеет серьезных конкурентов" (цитируется по русскому переводу указанной монографии [91], с. 24).

Многообразия, в свою очередь, могут быть сгруппированы в решетки, изучение которых, говоря опять-таки словами из [192], "обнаруживает необычайно богатую структуру в многообразиях и помогает организовать наши знания об индивидуальных алгебрах и важных семействах алгебр"2\ Последний тезис следует немного дополнить. Очевидны преимущества описания всех подмногообразий некоторого многообразия путем определения устройства соответствующей решетки над неупорядоченным перечнем этих подмногообразий (даже в случае, когда такой перечень можно получить!) — ведь, описав решетку, мы находим не только сами подмногообразия, но и существенные соотношения между ними. Однако обычно о лобовом перечислении всех подмногообразий не может быть и речи, и какая-то информация о них становится доступной только благодаря применению тех или иных решеточных соображений. Таким образом, решетки выступают здесь не только как способ организации знаний, но и как одно из основных средств для их получения. Неудивительно поэтому, что уже на заре развития теории многообразий важность и актуальность исследования решеток многообразий отмечали в своих выступлениях программного характера такие патриархи общей алгебры, как Г. Бирк-гоф (в докладе на Канадском математическом конгрессе в Монреале в 1945 г. [122]) и А. И. Мальцев (в докладе на международном математическом конгрессе в Москве в 1966 г. [58]).

При попытке как-то классифицировать тематику исследований, посвященных решеткам многообразий, естественно опереться на богатый опыт изучения других производных решеток и, в первую очередь, решеток под-

^ В оригинале: "In order to guide research and organize knowledge, we group algebras into varieties" (см. [192], p. 244).

2) В оригинале: "The study of such lattices reveals an extraordinary rich structure in varieties and help to organize our knowledge about individual algebras and important families of algebras" (см. [192], p. vii).

B.I. Обсуждение проблематики теории многообразий

алгебр. Таковой — применительно к полугруппам — отражен в монографии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [99] (см. также ее расширенную англоязычную версию [243]). В ней выделены следующие три основные направления исследований производных решеток (см. [99], с. 4; формулировки воспроизведены, разумеется, mutatis mutandi).

I. Ограничения на производные решетки. Основная задача данного направления — классификация объектов, производные решетки которых удовлетворяют тем или иным заданным решеточным условиям.

П. Решеточные характеристики. Здесь основной является задача ха-рактеризации тех или иных классов объектов — в частности, отдельных объектов — в терминах производных решеток.

III. Решеточные изоморфизмы. Цель данного направления — изучение "степени родства" между объектами с изоморфными производными решетками, в частности, обнаружение объектов, определяющихся своей производной решеткой.

Остановимся более подробно на первом из указанных направлений, поскольку именно ему (применительно к многообразиям полугрупп) посвящена наша диссертация. Отметим, что ситуация, когда каждому объекту А из некоторого класса алгебраических объектов однозначным образом ставится в соответствие производная решетка L(A) (решетка подалгебр, решетка конгруэнции, решетка подмногообразий и т. п.) и изучается влияние свойств Ь{А) на строение А, является одной из типичных в алгебраических исследованиях. Она активно разрабатывается для групп (см. монографии [237,249] и русский перевод второй из них [86]), полугрупп (см. уже упоминавшиеся монографии [99,243] и обзорную статью [242]), колец, алгебр Ли (см. учебное пособие [33]), многообразий колец и линейных алгебр (см. обзорную статью [6]) и т. д.3)

Среди различных встречавшихся в литературе свойств решеток многообразий особое место принадлежит решеточным тождествам и близким к ним условиям. Условия такого типа занимают главенствующее место в нашей диссертации. Остановимся поэтому подробнее на той роли, которую решеточные тождества играют при изучении многообразий.

Классическое построение, восходящее еще к пионерской работе Г. Бирк-гофа [121], связывает со всяким многообразием вполне инвариантную конгруэнцию на абсолютно свободной алгебре счетного ранга соответствующей сигнатуры, причем возникающее отображение является антиизоморфизмом решетки многообразий на решетку вполне инвариантных конгруэнции. Добавив эндоморфизмы в сигнатуру в качестве новых (унарных) операций, получим алгебру, конгруэнции которой суть в точности вполне инвариантные конгруэнции исходной свободной алгебры. Таким образом, решетки многообразий антиизоморфны решеткам конгруэнции некоторых алгебр. (В действительности, как показано в работе Н. Неврли [197], ка-

3^ Отметим, что и в данной диссертации, наряду с многообразиями полугрупп с огра-у ничениями на решетку подмногообразий, рассматриваются унарные алгебры некоторого

Щ\ специального вида с ограничениями на решетку конгруэнции (соответствующие резуль-

таты, впрочем, не являются самоцелью, а играют вспомогательную роль при получении основных результатов).

6 Введение

ждая решетка многообразий антиизоморфна решетке конгруэнции некоторого моноида всего с одной дополнительной унарной операцией.) Роль же тождеств в решетке конгруэнции как одного из наиболее важных факторов определяющих поведение алгебры, общеизвестна. Изучение возникающих в этой связи классов многообразий (конгруэнц-дистрибутивных, кон-груэнц-модулярных и т. п.) является одним из центральных направлений универсальной алгебры (см., например, [72,73,91,140,170,218]). Отметим также, что методы, используемые для анализа строения решеток многообразий (такие, например, как нахождение "хороших" разложений рассматриваемых решеток в подпрямые и прямые произведения), естественно приводят к вопросу о модулярности или дистрибутивности если не всей решетки в целом, то некоторых ее "ключевых" элементов.

Из сказанного видно, что изучение тождеств в решетках многообразий является одним из естественных проявлений общих тенденций развития современной универсальной алгебры.

Все высказанные выше универсально-алгебраические соображения в полной мере применимы и к многообразиям полугрупп. Более того, полугруппы, занимающие промежуточное положение между "сколь угодно сложным" случаем группоидов и (конгруэнц-модулярным) классом групп, представляются, в некотором смысле, оптимальным полигоном для их применения.

Исследование многообразий полугрупп имеет давнюю и богатую историю. Начало систематической деятельности в этом направлении следует отнести, по-видимому, к середине 60-х годов, хотя отдельные результаты появлялись и до этого. Различным аспектам теории многообразий полугрупп полностью или в значительной степени посвящены обзорные статьи А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [4], Ю. М. Важенина [18], Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [98], Л. Н. Шеврина и Е. В. Суханова [100], Т. Эванса [134], О. Г. Харлампович и М. В. Сапира [176], Л. Н. Шеврина и Л. М. Мартынова [241], М. В. Волкова [266,267]. Изложение вопросов, связанных с многообразиями полугрупп, занимает заметное место в главе "Полугруппы" справочной книги по общей алгебре [95] и в недавних монографиях К. Денеке и Ш. Висмат [130] и М. Петрича и Н. Райли [217]. Многообразиям полугрупп посвящены отдельная статья в "Математической энциклопедии" [94] и один из параграфов в опубликованном недавно справочнике по алгебре (см. [244]).

Исследование решеток многообразий полугрупп начинается практически одновременно с началом изучения многообразий полугрупп per se4) и с самого начала становится одним из центральных направлений в данной области. Отметим в этой связи, что в уже упоминавшемся обзоре Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [98] исследование решеток полугрупповых многообразий указано как одно из пяти основных направлений теории многообразий полугрупп — наряду с изучением тождеств, относительно свободных полугрупп, структурных и алгоритмических аспектов. В 70-е — 90-е

4) Отметим в этой связи, что один из первых (если не самый первый) заслуживаю-щий цитирования результат о многообразиях полугрупп в целом относится именно к Щ\ решеточной тематике. Мы имеем в виду описание атомов решетки всех многообразий

полугрупп, полученное Я. Калицки и Д. Скоттом еще в 1956 г. [171] (см. также русский перевод этой статьи [47]).

В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации

годы заметный вклад в это направление внесли А. Я. Айзенштат, С. Вар-рис, А. П. Бирюков, М. В. Волков, Дж. Герхард, П. Джонс, Я. Ежек, Э. Нельсон, Ф. Пастейн, М. Петрич, Л. Полак, Н. Райли, В. В. Расин, М. В. Са-пир, Е. В. Суханов, А. Н. Трахтман, П. Троттер, Т. Холл и другие авторы. Обзор результатов, полученных на первом этапе исследований решеток полугрупповых многообразий, можно найти в уже упоминавшихся обзорных статьях А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [4] и Т. Эванса [134]. В той или иной мере эта тематика нашла также отражение в обзорах [8,46,70,80,251]. Краткий, но весьма емкий обзор "глобального строения" решетки всех полугрупповых многообразий, включающий упоминания о некоторых недавних достижениях в этой области, содержится в [244].

При изучении многообразий полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий рассматривался широкий спектр решеточных условий: условия конечности [13, 57, 77, 78, 83,111, 236], дополняемость и близкие условия [22,112,256]5), разложимость в прямое произведение [19], условия, связанные с понятием дуализма решеток [286], условие "быть цепью" и близкие к нему [20,87,88]. Но наибольшее внимание на протяжении всего периода исследований решеток многообразий полугрупп уделялось рассмотрению тождеств и близких к ним условий в этих решетках. На сегодняшний день имеется более 150 работ, так или иначе связанных с этой областью. Обзор результатов, полученных в этом направлении до написания настоящей диссертации, будет дан в следующем пункте.

В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации

1°. Тождества в решетках многообразий. Хронологически исследования в этой области естественно делятся на три этапа.

Середина 60-х — начало 70-х гг. — первоначальное накопление информации. В 1966 г. в диссертации Р. Швабауэра [238] был приведен первый явный пример многообразия полугрупп с немодулярной решеткой подмногообразий. В печати этот пример появился в 1969 г. [239]. Отметим, что многообразие, найденное Р. Швабауэром, состоит из коммутативных полугрупп. Таким образом, была доказана немодулярность уже решетки Comm всех многообразий коммутативных полугрупп. Интересно сопоставить этот факт с хрестоматийным результатом пионерской работы Б. Неймана [196] о дистрибутивности решетки всех многообразий абелевых групп. В том же 1969 г. в работе Я. Ежека [156] был приведен другой пример многообразия с немодулярной решеткой подмногообразий6). В 1971 г. результаты о немодулярности решетки полугрупповых многообразий были

5* Результаты работы [256] позднее были обобщены на произвольные многообразия универсальных алгебр в [131].

в) Отметим, что 1969 г. мог стать еще более урожайным на примеры немодулярных многообразий. Дело в том, что в этом году вышла замечательная статья П. Перкин-са [205], посвященная проблеме конечного базиса для полугрупп (см. также ее русский перевод [71]). Ее результаты с помощью очень простых и хорошо известных к описываемому периоду решеточных соображений позволяют указать пример немодулярного % многообразия, отличный от двух, упомянутых выше. Как ни странно, это любопытное

I взаимодействие модулярности и проблемы конечного базиса оставалось незамеченным

на протяжении четверти века и впервые было отмечено только в диссертации М. В. Волкова [31].

8 Введение

существенно усилены в двух работах С. Барриса и Э. Нельсон [123,124]. В первой из них было показано, что решетка всех многообразий полугрупп содержит интервал, антиизоморфный решетке разбиений счетного множества. Многообразия, обладающие последним свойством, принято называть решеточно универсальными (этот термин объясняется тем, что, как легко понять, решетка подмногообразий всякого решеточно универсального мно- гообразия содержит изоморфную копию решетки подмногообразий произвольного многообразия универсальных алгебр не более чем счетной сигнатуры). С учетом классической теоремы Уитмена (см., например, [38], §IV.4), указанный результат работы [123] означает, что решетка всех многообразий полугрупп не удовлетворяет никакому нетривиальному тождеству. Во второй из указанных работ С. Барриса и Э. Нельсон, т. е. в [124], было доказано отсутствие нетривиальных тождеств уже в решетке Comm.

В тот же период появляются и первые "позитивные" результаты, т. е. результаты о модулярности или дистрибутивности примечательных в том или ином отношении фрагментов решетки многообразий полугрупп. Так, в работах А. П. Бирюкова [12], К. Фенмора [135-137] и Дж. Герхарда [141], посвященных описанию решетки всех многообразий связок, была установлена дистрибутивность этой решетки. В заметке Т. Хида [154] была доказана дистрибутивность решетки всех многообразий коммутативных моноидов. В работе Р. Швабауэра [240] была указана обширня дистрибутивная подре-шетка в решетке Comm, являющаяся, как было установлено Э. Нельсон в [195], максимальной модулярной подрешеткой в Comm. В [195], а также в [125], был получен и ряд других результатов о тождествах в решетке Comm. В работе И. И. Мельника [64] была доказана дистрибутивность решетки всех многообразий полугрупп, квадрат которых является прямо- угольной связкой. Дистрибутивность других фрагментов решетки много- образий полугрупп доказывается тем же автором в [67] и М. Петричем в [206]. В работе И. И. Мельника [65] была сделана уже первая попытка нащупать границу между многообразиями с модулярной [дистрибутивной] и немодулярной [недистрибутивной] решеткой подмногообразий: было показано, что решетка всех многообразий n-ступенно нильпотентных полугрупп модулярна [дистрибутивна] тогда и только тогда, когда п ^ 3, а решетка всех многообразий гс-ступенно нильпотентных коммутативных полугрупп модулярна [дистрибутивна] тогда и только тогда, когда п ^ 5 [соответственно п < 4].

Завершая обсуждение "пионерского периода" в изучении тождеств в решетке многообразий полугрупп, отметим ряд полученных тогда результатов о специальных элементах этой решетки. В работах И. И. Мельника [62] и [63] показано, что многообразие всех полурешеток SC является, соответственно, модулярным и дистрибутивным элементом решетки всех многообразий полугрупп; первый из этих фактов независимо получен В. Н. Салием в [79]. В [66] И. И. Мельником проверено, что дистрибутивным элементом решетки всех многообразий полугрупп является и многообразие всех полугрупп с нулевым умножением ZM.. Многообразия SC и ZM являются атомами решетки всех многообразий полугрупп. Из резуль- татов работы А. Я. Айзенштат [2] непосредственно вытекает, что всякий атом решетки всех полугрупповых многообразий является кодистрибутив-ным элементом этой решетки (аналогичный факт о решетках многообра-

В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации

зий вполне регулярных и инверсных полугрупп вытекает из результатов более поздней работы автора и М. В. Волкова [22]).

Многие из перечисленных выше результатов были воспроизведены в опубликованном в 1971 г. обзоре Т. Эванса [134], где в связи с ними была поставлена задача описания многообразий полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий. Примерно в то же время Л. Н. Шеврин поставил задачу описания многообразий полугрупп (а также вполне регулярных и инверсных полугрупп) с дистрибутивной решеткой подмногообразий и сформулировал вопрос о наличии нетривиальных тождеств в решетках многообразий вполне регулярных и инверсных полугрупп, которые позднее были опубликованы в "Свердловской тетради" (см. [84], задачи 2.60 и 2.617)).

Середина 70-х — начало 80-х гг. — привлечение структурной теории полугрупп. В этот период продолжают появляться работы, подобные тем, о которых шла речь выше. В работах [3,15,34,35,53-56,60,61,68,89,90,101— 103,142,175,182,188] содержатся новые примеры [не]дистрибутивных или [не]модулярных решеток полугрупповых многообразий. В [157,193] получена новая информация о решеточно универсальных многообразиях полугрупп, а в [181] устанавливается отсутствие нетривиальных тождеств уже в решетке многообразий коммутативных нильпотентных полугрупп.

Однако основные усилия в этот период были сосредоточены на рассмотрении решетки CR всех вполне регулярных многообразий, т. е. многообразий, состоящих из вполне регулярных полугрупп (объединений групп). Отметим, что в большинстве упоминаемых ниже работ, посвященных решетке CR, вполне регулярные полугруппы рассматриваются как унарные полугруппы, т. е. как полугруппы с дополнительной сигнатурной унарной операцией (которая в данном случае трактуется как взятие обратного элемента в наибольшей подгруппе, содержащей данный элемент). Однако полученные при этом результаты применимы и к обычным полугрупповым многообразиям, поскольку, как легко понять, решетка вполне регулярных многообразий полугрупп в обычной сигнатуре является подре-шеткой решетки многообразий вполне регулярных полугрупп в указанной обогащенной сигнатуре. Первый значительный успех в рассмотрении тождеств в решетке CR был достигнут в работе М. Петрича [207] — в ней была доказана модулярность решеток многообразий ортодоксальных связок групп. С этой статьи начался длинный цикл работ различных авторов (П. Джонса, М. Петрича, Н. Райли, В. В. Расина и других), в которых шаг за шагом доказывалась модулярность все более и более обширных решеток вполне регулярных многообразий — см. рабо-

7' Отметим, что интерес к этим задачам диктовался не только внутренней логикой исследования решетки полугрупповых многообразий, но и тем, что происходило в то время в смежных областях общей алгебры: проблемы такого рода тогда буквально носились в воздухе. Так, именно на рубеже 60-х и 70-х годов возник и подвергся интенсивной атаке (за короткий период появилось около 20 работ) вопрос об условии дистрибутивности в решетках многобразий групп, до сих пор, кстати, не проясненный до конца даже для "хороших" (скажем, метабелевых) многообразий. Примерно тогда же Л. А. Бокуть предложил задачу об описании многообразий колец [линейных алгебр] с дистрибутивной решеткой подмногообразий, опубликованную позднее в "Днестровской тетради" (см. [39], задача 19). Продвижениям в решении этой задачи, в том числе ее решению в ряде обширных и важных частных случаев, посвящено около 20 работ, опубликованных с середины 70-х годов и до самого недавнего времени.

10 Введение

ты [74-77,153,162-164,208,209,212-214,225,226]. В качестве наиболее важных вех здесь можно отметить работы В. В. Расина [74,77] и Т. Холла и П. Джонса [153], в которых доказана модулярность решеток всех вполне простых многообразий, всех ортодоксальных многообразий и всех многообразий связок групп соответственно. Важной особенностью всех перечи-., сленных выше работ, посвященных решетке CR, отличающей их от работ

ж» предыдущего периода, было то, что в них началось активное использова-

ние для нужд теории многообразий некоторых достижений структурной теории полугрупп, главным образом, связанных с устройством конгруэнции на регулярных полугруппах (см. монографию М. Петрича и Н. Рай-ли [217]). Именно это предопределило успехи в исследовании решетки CR, достигнутые на данном и следующем этапах.

В тот же период структурный подход был впервые применен и за пределами вполне регулярного случая, что также привело к ощутимому прогрессу. Мы имеем в виду работу М. В. Сапира и Е. В. Суханова [83], в которой для изучения многообразий периодических полугрупп были привлечены результаты Л. Н. Шеврина о разложимости эпигрупп в связку архимедовых компонент (анонсированные в [93] и позднее опубликованные с доказательствами в [96, 97]) и о строении нильполугрупп [92]. Это позволило найти первое нетривиальное необходимое условие модулярности решетки подмногообразий произвольного многообразия полугрупп: в [83] было показано, что всякое многообразие с этим свойством состоит из полурешеток периодических архимедовых полугрупп. (В действительности из результатов указанной работы легко вывести следующий более сильный факт: всякое многообразие полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий либо является периодическим перестановочным многообразием, либо имеет конечный индекс.)

^ Отметим еще, что в рассматриваемый период появился ряд работ, в ко-

торых, применительно к решеткам многообразий полугрупп, рассматривались различные усиления дистрибутивности. В [22] автором и М. В. Волковым были описаны многообразия полугрупп (а также вполне регулярных и инверсных полугрупп) с булевой решеткой подмногообразий (для обычных полугрупповых многообразий этот результат был позднее передоказан А. Я. Айзенштат в [112]). Другим естественным усилением дистрибутивности является условие быть цепью. Напомним, что многообразие, решетка подмногообразий которого является цепью, называется цепным. В работе Е. В. Суханова [87] были описаны негрупповые цепные многообразия полугрупп. Цепные многообразия групп (которые автоматически оказываются периодическими и потому могут рассматриваться как полугрупповые многообразия) изучались в работе В. А. Артамонова [7], из результатов которой, в частности, вытекает полное описание таких многообразий в локально конечном случае.

Середина 80-х — начало 90-х гг. — крупные успехи. Прежде всего, в этот период был продолжен и успешно завершен штурм задачи о модулярности решетки CR. Начатое ранее исследование различных составных частей этой решетки было продолжено в работах [143,166,203,204,230] (см. также

^, обзорные статьи [232, 233,235]). Во второй половине 80-х годов появился

цикл работ Л. Полака [219-221], посвященный весьма глубокому анализу строения решетки CR в целом. Опираясь на развитый в этих работах

В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации 11

подход, Ф. Пастейн в 1990 г. смог, наконец, доказать модулярность решетки CR [199]. В том же году М. Петрич и Н. Райли в [216] и год спустя независимо Ф. Пастейн в [200] нашли иное доказательство этого факта, в меньшей степени зависящее от техники Л. Полака. Модулярность решетки CR вытекает также в качестве следствия из результатов еще одной работы Ф. Пастейна [201], опубликованной также в 1991 г. В том же году результат о модулярности решетки CR был усилен в работе М. В. Волкова и Т. А. Ершовой [269]. Уточняя и модифицируя технику, развитую в [200, 216], авторы этой работы доказали в ней модулярность решетки всех многообразий полугрупп с вполне регулярным квадратом (результат о модулярности решетки CR при этом не использовался, так что в [269] было получено еще одно его доказательство). Отметим, что многие из перечисленных выше работ содержали также информацию о тождествах дистрибутивности и дезарговости. В ряде случаев наряду с модулярностью той или иной части решетки вполне регулярных многообразий была также доказана дистрибутивность соответствующих многообразий "по модулю групп" (см., например, [77]). В [199,200,216] была доказана не только модулярность, но и дезарговость решетки CR, а в [269] — дезарговость решетки многообразий полугрупп с вполне регулярным квадратом.

Работа [269] является частью появившегося на рубеже 80-х и 90-х годов цикла статей М. В. Волкова, в который, помимо нее, входят работы [27-30,257,260,261]. Результаты этих работ подытожены в уже упоминавшейся докторской диссертации М. В. Волкова [31]. В этих работах были аккумулированы и получили дальнейшее развитие все основные идеи, накопленные при изучении тождеств в решетках многообразий полугрупп ранее. В частности, в них получил свои первые применения принципиально новый подход к изучению решеток многообразий нильполугрупп, разработка которого была начата М. В. Волковым и автором в конце 80-х годов8). В результате М. В. Волкову удалось полностью описать многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий, решив тем самым упоминавшуюся выше проблему Эванса, а также продвинуться в решении проблемы Шеврина, получив значительную информацию о многообразиях полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий (близкую к их полному описанию "по модулю групп"); кроме того, ему удалось доказать некоторые существенные результаты о многообразиях полугрупп с дезарговой решеткой подмногообразий.

В рассматриваемый период вышел и целый ряд других работ, связанных с обсуждаемой проблематикой. В работах [14, 69, 104, 132, 178, 236] указаны новые примеры многообразий с [не]дистрибутивной или [не] модулярной решеткой подмногообразий (работы такого рода появлялись и позднее — см., например, недавнюю диссертацию [186]). В статье [20] рассматривалось некоторое усиление дистрибутивности, близкое к условию быть цепью. В [145] указаны новые примеры решеточно универ-

8* Этот подход, основной идеей которого является координатизация многообразий кон-груэнциями на G-множествах, играет основополагающую роль в данной диссертации, и потому в дальнейшем мы будем обсуждать его детально (см., в частности, подпункт 4° данного пункта, п. В.б и §1). Пока же отметим только, что в обсуждаемый период времени разработка этого подхода находилась еще на начальной стадии (соответствующие результаты опубликованы в [23,258]), и потому возможности его применения были весьма ограниченны.

12 Введение

сальных многообразий полугрупп, а в [82] анонсировано полное описание решеточно универсальных многообразий полугрупп, в которых все периодические группы локально конечны. Следует упомянуть также статью Я. Ежека и Р. Маккензи [159], в которой получена существенная информация о модулярных элементах решетки всех многообразий полугрупп.

Описанные выше успехи в изучении эквациональных свойств решеток многообразий полугрупп способствовали решению ряда смежных задач. Примерами здесь могут служить только что упомянутая работа [159], в которой на основе информации о модулярных элементах решетки многообразий полугрупп найдена решеточная характеризация целого ряда фундаментальных свойств многообразий, статья П. Троттера [252], в которой модулярность решетки CR была применена для получения результатов о подпрямых разложениях этой решетки, и работа автора [21], где упомянутые выше результаты М. В. Волкова были использованы для описания псевдомногообразий полугрупп с модулярной решеткой подпсевдомного-образий.

Для полноты картины отметим, что в период с середины 70-х до середины 90-х годов вышло немало работ, в которых исследовались эквацио-нальные свойства решеток многообразий полугрупп с различными дополнительными сигнатурными операциями или решеток классов полугрупп, близких к многообразиям. Здесь прежде всего следует отметить работы, в которых с указанной точки зрения рассматривались многообразия инверсных полугрупп (как унарных полугрупп, где унарная операция состоит во взятии инверсного элемента) [40,48-50,127,180,227-229,231,234]; см. также монографию М. Петрича [210]. Эквациональные свойства решеток многообразий полугрупп с регулярной инволюцией (как унарных полугрупп) рассматривались в [105,106,116,117,211,215]. Напомним, что эпигруппой называется полугруппа, некоторая степень всякого элемента которой лежит в некоторой подгруппе этой полугруппы. На всякой эпигруппе естественным образом можно ввести унарную операцию псевдообращения — см. [96]. В указанной только что работе содержится некоторая информация о многообразиях эпигрупп (как унарных полугрупп) с модулярной решеткой подмногообразий. В работах [255,270,271] с интересующей нас точки зрения рассматривались многообразия моноидов (в том числе вполне регулярных моноидов и моноидов с регулярной инволюцией). От Т. Холла (см., например, [151]) идет идея рассматривать е-многообразия регулярных полугрупп, т. е. классы регулярных полугрупп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов, прямых произведений и регулярных подполугрупп. Информация о тождествах в решетках е-многообразий регулярных полугрупп имеется в [118,151]. Упомянем, наконец, о псевдомногообразиях, т. е. о классах однотипных конечных алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. Как показано в работе [110], строение решеток псевдомногообразий тесно связано со строением решеток многообразий. Эквациональные свойства решеток псевдомногообразий полугрупп и моноидов (в том числе инверсных полугрупп и вполне регулярных полугрупп и моноидов) рассматривались в работах [21,119,152,177,201,202,270]; см. также монографию Дж. Алмей-ды [114] и ее английский перевод [115].

Подводя итог, можно сказать, что с конца 60-х годов и до первой по-

В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации 13

ловины 90-х годов исследование эквациональных условий в решетках полугрупповых многообразий велось интенсивно и широким фронтом и привело к достижению ряда значительных результатов. Тем не менее, многие естественные вопросы в обсуждаемой области оставались открытыми. В частности, практически ничего не было известно о других тождествах в ре-шетках многообразий полугрупп, кроме модулярности, дистрибутивности и дезарговости. Вовсе не исследовались квазитождества в этих решетках. Почти ничего не было известно и о таком важнейшем обобщении модулярности, как полумодулярность.

2°. Мультипликативные свойства конгруэнции. Под мультипликативными свойствами конгруэнции мы понимаем свойства, формулируемые в терминах произведения конгруэнции как бинарных отношений. Существует тесная связь между тождествами в решетках многообразий и мультипликативными свойствами конгруэнции на алгебрах из многообразия. Напомним, что многообразие универсальных алгебр называется конгруэнц-п-перестановочным (где п — натуральное число), если на всякой его алгебре любые две конгруэнции а и (3 удовлетворяют равенству а/За--- = /За/3---, где слева и справа стоят слова длины п. При п = 2 конгруэнц-п-перестановочные многообразия называются просто ко-нгруэнц-перестановочнъши, а при п = 3 — слабо конгруэнц-перестано-вочными. Из классических результатов Б. Йонссона [168] (см. также, например, [38], §IV.4), вытекает, что решетка подмногообразий произвольного [слабо] конгруэнц-перестановочного многообразия универсальных алгебр модулярна [дезаргова]. В работах [189,190] показано, что если многообразие конгруэнц-п-перестановочно для некоторого натурального п, то решетка его подмногообразий удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству.

В случае многообразий полугрупп, однако, условия типа конгруэнц-пе-рестановочности, т. е. ограничения, накладываемые на все конгруэнции всех алгебр из многообразия, как правило, оказываются слишком жесткими и не представляют интереса с точки зрения теории полугрупп. В частности, многообразие полугрупп конгруэнц-п-перестановочно (для некоторого п) тогда и только тогда, когда оно является многообразием периодических групп (при п = 2, т. е. для конгруэнц-перестановочных многообразий, этот результат впервые появился в самом начале 60-х годов в диссертации Е. Тулли [253] и несколько позднее был опубликован в его же работе [254]; при п = 3, т. е. для слабо конгруэнц-перестановочных многообразий, он непосредственно вытекает из теоремы 1.2(Ш) работы П. Джонса [167]; наконец, для произвольного п он доказан в работе П. Липпарини [190]).

Ситуация становится существенно более интересной, если накладывать мультипликативные ограничения не на все конгруэнции всех полугрупп из многообразия, а только на вполне инвариантные конгруэнции полугрупп, свободных в многообразии. При этом, с одной стороны, в полной мере сохраняются связи с тождествами в решетках многообразий, а с другой — возникают классы многообразий, интересные с полугрупповой точки зрения. Так, например, в работах [200,216] было показано, что на произволь- ной (даже не обязательно относительно свободной) вполне простой полугруппе любые две вполне инвариантные конгруэнции перестановочны. В работах, посвященных тождествам в решетках полугрупповых многообра-

14 Введение

зий, эпизодически появлялись рассмотрения, связанные с обсуждаемыми сейчас вопросами (см., например, [200,216,261,269]). Но они не создавали целостной картины и оставляли без ответа многие естественные вопросы. Кроме того, мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнции на полугруппах, свободных в многообразиях, не были ранее самостоятельным объектом изучения.

3°. Подрешетки решетки многообразий полугрупп. Пробелы в исследованиях, о которых упоминалось в двух предыдущих подпунктах, стали очевидны уже к концу 80-х годов. Но попытки заполнить их наталкивались на серьезные трудности, связанные прежде всего с некоторыми особенностями имевшейся тогда информации о "глобальном строении" решетки всех полугрупповых многообразий. К концу 80-х годов в этом направлении было получено немало результатов. Однако различные составные части решетки всех многообразий полугрупп были изучены весьма неравномерно. Чтобы пояснить последний тезис, введем необходимые обозначения.

Общеизвестно, что всякое многообразие полугрупп является либо периодическим (т. е. состоящим из периодических полугрупп), либо надком-мутативным (т. е. содержащим многообразие всех коммутативных полугрупп). И совокупность Per всех периодических многообразий, и совокупность ОС всех надкоммутативных многообразий являются подрешетками решетки всех многообразий полугрупп. В решетке Per можно выделить две большие подрешетки, пересекающиеся только по тривиальному многообразию, т. е. многообразию, состоящему только из одноэлементных полугрупп. Речь идет об уже упоминавшейся подрешетке CR всех вполне регулярных многообразий и о подрешетке Nil всех нильмногообразий. "Взаимное расположение" упомянутых подрешеток решетки всех многообразий полугрупп изображено на рис. В.1 (где через Т, СОМ и SSM. обозначены, соответственно, тривиальное многообразие, многообразие всех коммутативных полугрупп и многообразие всех полугрупп).

Не будет большим преувеличением сказать, что вплоть до середины 90-х годов практически во всех работах, в которых декларировалось изучение решетки всех многообразий полугрупп, в действительности изучалась ее подрешетка Per. О ней удалось узнать достаточно много, а некоторые ее важные фрагменты были даже полностью описаны (не претендуя на полноту, отметим здесь работы [19,57,83,111,144,178,195,199,200,216,219-221,236,269]).

В то же время о решетке ОС к указанному времени было получено лишь несколько изолированных фактов, не создающих общего представления о строении этой решетки. По существу здесь можно упомянуть лишь работы А. Я. Айзенштат [1] и Дж. Макналти [193]. В первой из них доказано, что в решетке ОС каждый элемент имеет покрытие9), а во второй установлено, что ОС не содержит антиизоморфной копии решетки разбиений на счетном множестве.

Решетки CR и Nil также были изучены в совершенно различной степени. Первая из них исследовалась в 70-е и 80-е годы весьма активно. Усили-

9* Сравнительно недавно этот факт передоказан более простым способом М. В. Волковым в [264].

ями целого ряда авторов в этот период строение решетки CR было изучено довольно детально (более подробную информацию об этом см. в подпункте 1°). В то же время информация о решетке Nil, полученная к концу 80-х годов, может быть охарактеризована как весьма скудная и фрагментарная. Здесь можно отметить, пожалуй, лишь работы И. И. Мельника [65], Дж. Алмейды [113] и И. О. Корякова [181], в которых получена некоторая информация о "нижних этажах" решетки Nil, и работу Я. Ежека [157], в которой показано, что решетка Nil (в отличие от ОС) содержит антиизоморфную копию решетки разбиений на счетном множестве. Последний результат свидетельствует о большой (в определенном смысле максимальной) сложности устройства решетки нильмногообразий. Неудивительно поэтому, что вплоть до середины 90-х годов бытовало представление, что решетка Nil устроена крайне нерегулярно и получить о ней какие-либо результаты "позитивного" характера практически невозможно.

Столь явная неравномерность в исследовании различных частей решетки полугрупповых многообразий объясняется вполне конкретными объективными причинами. Как уже отмечалось в подпункте 1°, успехи в исследовании решетки CR были основаны на применении структурной теории полугрупп. Но эта теория практически не применима для изучения решеток Nil и ОС. Фактически вплоть до начала 90-х годов изучение этих решеток проводилось, как сказано в уже упоминавшемся обзоре Т. Эван-са [134], путем "прямой атаки на тождества как таковые (в сочетании с толикой элементарной теории чисел)"10). Между тем, как было ясно уже тогда, обе решетки, о которых идет речь, устроены весьма сложно, и вря-дли можно было надеяться глубоко проникнуть в их внутреннюю структуру с помощью столь "кустарных" методов. Подводя итог, можно сказать,

10) В оригинале: "a direct attack on the identities themselves (combined with a little elementary number theory)" (см. [134], p. 32).

16 Введение

что изучение решеток Nil и ОС сдерживалось отсутствием адекватного языка, на котором можно было бы формулировать и доказывать соответствующие результаты.

4°. Конгруэнции на G-множествах. Адекватный язык для изучения решеток Nil и ОС был предложен в 90-х годах автором и М. В. Волковым. Оказалось, что их строение может быть охарактеризовано в терминах решеток конгруэнции некоторых специфических унарных алгебр, так называемых G-множеств. Соответствующие результаты о решетках над-коммутативных многообразий опубликованы в [263], а о решетках ниль-многообразий — в [23-25]UK Отметим, что разработанный в этих работах подход можно рассматривать как аналог хорошо известного метода изучения решеток многообразий линейных алгебр над полем характеристики 0 с помощью представлений симметрической группы (см., например, [10,11]), широко применяемого, в том числе, и для изучения тождеств в этих решетках.

Язык G-множеств оказался очень удобным для изучения свойств решеток Nil и ОС. Но для его успешного применения нужна была существенная информация о решетках конгруэнции G-множеств. Отметим, что изучение этих решеток представляет, на наш взгляд, и несомненный самостоятельный интерес, поскольку изучение решеток конгруэнции алгебр различных типов является одной из стандартных постановок задач в общей алгебре. В этой связи уместно отметить, что решетки конгруэнции унаров, т. е. унарных алгебр с одной операцией, изучались весьма активно (см., например, работы [16,41-44,120,246], в которых рассматривались унары с ограничениями на решетку их конгруэнции), но о решетках конгруэнции унарных алгебр с произвольным числом операций до появления наших результатов было известно совсем немного (хотя нельзя сказать, что в этом направлении исследования совсем не велись — см., например, работу [245]). Что же касается мультипликативных свойств конгруэнции унарных алгебр, то они, по-видимому, ранее совсем не исследовались, даже в случае унаров.

В.З. Цели работы

Основная цель диссертации состоит в том, чтобы заполнить описанные выше пробелы в изучении решеток многообразий полугрупп. Проведенный в п. В.2 анализ приводит к формулированию четырех более конкретных целей:

1) изучить многообразия полугрупп, решетки подмногообразий которых удовлетворяют различным квазитождествам (в том числе тожде-

п) См. также заметку [258], в которой была анонсирована первоначальная версия результатов, впоследствии в усовершенствованном виде опубликованных в [24]. Отметим, что в [258], а также в диссертации М. В. Волкова [31], решетки нильмногообразий описывались не на языке решеток конгруэнции G-множеств, а с помощью более сложных производных решеток, так называемых решеток согласованных пар G-множеств (мы не приводим соответствующего определения, поскольку в дальнейшем это понятие нам не

- , понадобится). Переход от решеток согласованных пар к решеткам конгруэнции G-mho-