Бройни системи основни бройни системи

БРОЙНИ СИСТЕМИ

1. ОСНОВНИ БРОЙНИ СИСТЕМИ

1.1. ОБЩИ ПОЛОЖЕНИЯ

Десетична система, която ползува за основа числото 10;

Двоична система, която ползува за основа числото 2;

Осмична система, която ползува за основа числото 8;

Шестнайсетична система, която ползува за основа числото 16;

Тези системи са широко използувани в цифровите системи и компютрите.

Ние ще разглеждаме двоичните, осмичните и шестнайсетичните бройни системи като ги сравним с нашата много добре позната десетична система.

1.2. ДЕСЕТИЧНА БРОЙНА СИСТЕМА.

Различните цифрови позиции на ляво в десетичното число са с нарастващи степени на 10.

Хиляди Стотици Десетици Единици

10³ 10² 10¹ 10⁰

Както знаем дадено число може да се представи с десетични знаци. За дробни числа прилагаме подобна стойност (приложение), цифри зад десетична точка са записани в отрицателна степен на 10.

ПРИМЕР: 2786,134₁₀ може да се смята като:

2х10³ + 7х10² + 8x10¹ + 6x10⁰ + 1x10^-1 + 3х10^-2 + 4х10^-3

Десетичната система е казано да има основа или база 10, защото тя използува 10 цифри и съседни цифрови позиции различаващи се на една степен на 10.

За едно число знакът използуван за долен индекс, който показва каква е основата (базата) се записва по следния начин:

123₁₀ означава десетичното число 123;

11011₂ означава двоично число 11011;

567₈ означава осмичното число 567;

1.3. ДВОИЧНА БРОЙНА СИСТЕМА.

Двоичната система използува само две цифри 0 и 1, но точно същите основни принципи се прилагат както за десетичната бройна система. Всяка съседна цифрова позиция (бит) се различава със степен на 2. Така двоичното число 10110₂ може да бъде написано като:

2⁴ 2³ 2² 2¹ 2°

16 8 4 2 1

1 0 1 1 0

или като 1х2⁴ + 0х2³ + 1х2² + 1х2¹ + 0x2⁰

Десетичният еквивалент на двоичното число лесно се получава чрез сумиране заедно различните степени на две за числото.

1х2⁴ + 0х2³ + 1х2² + 1х2¹ + 0x2⁰ =16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

Опитайте един или два примера самостоятелно:

ЗАДАЧИ: Преобразувайте следните двоични числа в техния десетичен еквивалент.

а) 101₂ Отг. 5₁₀

б)1111₂ Отг. 15₁₀

в) 100111₂ Отг. 39₁₀

1.4. ОСМИЧНА БРОЙНА СИСТЕМА.

8³ 8² 8¹ 8⁰ 8^-1 8^-2 8^-3

512 64 8 1 1/8 1/64 1/512

ПРИМЕР: Така осмичното число 56₈ може да бъде преобразувано в десетично като:

56₈ = 5х8¹ + 6x8⁰ = 5x8 + 6 8⁰ = 40 + 6 = 46₁₀

ПРИМЕР: Аналогично и за осмичното 777₈ десетичният еквивалент е:

777₈ = 7х8² + 7х8¹ + 7x8⁰ = 7x64 + 7x8 + 7= 448 + 56 + 7 = 511₁₀ '

1.5. ШЕСТНАЙСЕТИЧНА БРОЙНА СИСТЕМА.

Тази система използува шестнадесет за основа или база, така че всяка цифрова позиция е степен на 16. Тъй като тази основа използува повече от 10 символа, първите 6 букви от английската азбуката се използуват да представят числата от 10 до 15.

10 = А; 13= D;

11 = В; 14 = Е;

12 = С; 15= F.

Таблицата по-долу показва десетичните, двоични, осмични и шестнадесетични еквиваленти на първите 21 десетични числа.

Десетични Двоични Осмични Шестнадесетични

0 00000 00 0

1 00001 01 1

2 00010 02 2

3 00011 03 3

4 00100 04 4

5 00101 05 5

6 00110 06 6

7 00111 07 7

8 01000 10 8

9 01001 11 9

10 01010 12 A

11 01011 13 B

12 01100 14 C

13 01101 15 D

14 01110 16 E

15 01111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

18 10010 22 12

19 10011 23 13

20 10100 24 14

Десетични еквиваленти от шестнадесетични числа получаваме аналогично

567₁₆ = 5х16² + 6x16¹ + 7x16⁰ = 5x256 + 6x16 + 7 = 1280 + 96 + 7 = 1383₁₀

FАВ4₁₆ = Fх16³ + Ах16² + Вх16¹ + 4x16⁰ = 15х16³ + 10х16² + 11x16¹ + 4x16⁰ = 15x4096 + 10x256 + 11x16 + 4x1 =61440 + 2560 + 176 + 4 = 64180₁₀

ЗАДАЧА: Преобразувайте шестнадесетичното число В65F в десетично самостоятелно

Отг. 46687₁₀