Ііі. Бройни системи

Още в зората на човешката цивилизация възниква необходимостта от броене на хора и добитък, измерване на дължини, на участъци земя, оценяване на резултатите от добив на реколта и др. Появява се понятието число. Освен чрез словесно изговаряне, се създават и различни начини за записване на числата. Този процес протича успоредно с развитието на писмеността (записването на думите) и в известна степен е повлиян от него.

Най – популярната и широко използвана система за записване и смятане с числа е десетичната бройна система. Числата записани в тази бройна система (БС), наричаме десетични.

Пример 1: Число записано в десетична бройна система

Както е известно числото хиляда триста петдесет и седем се записва в десетична БС във вида 1357. Използваните знаци 1, 3, 5 и 7 се наричат цифри. При това записване цифрите се разполагат последователно една след друга, като е възможно многократното им използване в различни позиции.

В числото 1357 има една хилядна, три стотици, пет десетици и седем единици, т. е. 1357 = 1.10³ + 3.10² + 5.10¹ + 7.10⁰

Както е видно, една цифра определя различни стойности в зависимост от позицията си, в която се намира. Такава бройна система се нарича позиционна. Преместването на една позиция в ляво увеличава десет пъти стойността на съответната цифра. Поради това редът в който са записани цифрите е от съществено значение. Числата 1234 и 4321 са различни въпреки, че са съставени от едни и същи цифри.

Естествените числа в десетична бройна система се представят чрез десетте цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. При представяне на числата с десетична дробна част се използва допълнително знакът “,”(десетична запетая – точката се използва като знак за умножение) за отделяне на цялата от дробната част, а при представяне на отрицателните числа – знакът “–” (минус). Понякога пред положителните числа се поставя знакът “+” (плюс).

Словосъчетанието десетична бройна система посочва, че броят на цифрите е десет, както и обстоятелството, че при определяне на стойността на записаното число се използват степените на 10.

В нашия курс ще разгледаме само представянето на целите числа.

Бройна система – това е съвкупност от знаци и правила, чрез които се записват числата.

В позиционните бройни системи се налага въвеждането на знак (цифра) със стойност нула (0). Нулата се използва за отбелязване на празна позиция, като стойностите на всички цифри вляво от нея се увеличават 10 пъти.

Например числото 1000 има стойност хиляда (10³), защото единицата е изместена на три позиции в ляво, числото 1 000 000 – един милион и т. н.

Множителят с който се изменя стойността на цифра, преместена в съседна позиция се нарича, основа на позиционната бройна система. Основата е равна на броя на различните използвани цифри.

За прародина на десетичната бройна система се счита древен Китай, където цифрите се записват чрез йероглифи. По – късно в Индия тези графични знаци се заменят с други. С течение на времето външния вид на използваните знаци многократно се променял, докато се установи съвременното им изписване. Арабите пренасят тези цифри в Европа. Новата система на записване не била приета веднага - чак до VІІІ век в официалните документи се използвали само римски записи на числата. Първи през ХІІІ век започват да ги използват търговците от Флоренция. Едва в края на ХVІ – началото на ХVІІ век започва широкото разпространение на позиционната десетична бройна система в средновековните университети, а от там и в цяла Европа.
2. Двоична бройна система

Двоичната БС е основна за компютрите. Основа на двоичната бройна система е числото 2, а за записване на числата се използват само две цифри - 0 и 1.

Като вземем предвид, че най – дясната цифра представя броя на единиците (2⁰), съседната в ляво – броя на двойките (2¹) и т.н. получаваме :

10111₂ = 1.2⁴ + 0.2³ + 1.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ = 16 + 4 + 2 + 1 = 23

Пресмятането може да се извърши, като изнесем зад скоби двойките в представянето на числото : 10111₂ = (((1.2 + 0).2 + 1).2 + 1).2 + 1

Последователно пресмятаме : 1.2 + 0 = 2; 2.2 +1 = 5; 5.2 +1 = 11; 11.2 + 1 = 23. Този начин на пресмятане е по – удобен при многоцифрени числа. Действа се по следната схема (наричана схема на Хорнер) : умножава се най – лявата цифра по две и се добавя съседната и в дясно; полученият резултат се умножава по две и се добавя следващата съседна цифра вдясно и т.н.

Пример 4: Намиране на представянето в двоична БС на десетичното число 23.

І начин

Най-голямата степен на 2 в 23 е 16 (=2⁴); 23 – 16 = 7;

Най-голямата степен на 2 в 7 е 4 (=2²); 7 – 4 = 3;

Най-голямата степен на 2 в 3 е 2 (=2¹); 3 – 2 = 1;

Най-голямата степен на 2 в 1 е точно 1 (=2⁰); 1 – 1 = 0;

(край)

ІІ начин

Следователно 46 = 101110₂

1. 
   Що е бройна система ?
   
2. 
   Какво е характерно за позиционните бройни системи ?
   
3. 
   Представете чрез многочлен по степените на основата 10 числата :
   

4. 
   Представете в двоична бройна система числата 15, 18, 56, 95, 112, 1024