Двухуровневая игра с веерной иерархией на нижнем уровне

Л. В. Смирнова

Рассматривается двухуровневая иерархическая игра с бескоалиционным вариантом на нижнем уровне иерархии при использовании аналога решения по Штакельбергу и концепции равновесия по Бержу-Вайсману.

Ключевые слова: управляемые системы, двухуровневая система, условие равновесности по Бержу-Вайсману, теория иерархических игр, бескоалиционный вариант.

Иерархические игры моделируют конфликтно управляемые системы с иерархической структурой. Такая структура определяется последовательностью уровней управления, следующих друг за другом в порядке определенного приоритета. В математической постановке иерархические игры классифицируются по числу уровней. Простейшей из них является двухуровневая система, состоящая их одного элемента верхнего уровня – центра и элементов нижнего уровня – игроков. Управляющий центр имеет право первого хода и может ограничивать возможности игроков нижнего уровня. Иными словами, иерархические игры - это класс игр, характеризующихся прежде всего неравноправным положением её участников. Особенность игры состоит в наличии на нижнем уровне иерархии не менее двух игроков. В связи с этим возникает вопрос о выборе игроками нижнего уровня правил рационального поведения. Предположим, что среди игроков нижнего уровня образование коалиций либо невозможно, либо запрещено правилами ведения игры, то есть игроки действуют изолированно.

Таким образом, в статье рассматривается иерархическая система с бескоалиционным вариантом на нижнем уровне. В этом случае будем считать, что выбор стратегий игроков нижнего уровня продиктован стремлением к достижению одной из равновесных ситуаций. В данной работе ограничимся концепцией равновесия по Бержу-Вайсману.
постановка задачи

Двухуровневая игра с одним игроком верхнего уровня иерархии и бескоалиционной игрой N лиц на нижнем уровне задается упорядоченной четверкой

Здесь множество порядковых номеров игроков (подсистем) нижнего уровня иерархии ; 0 – порядковый номер игрока верхнего уровня (центра), который распоряжается выбором своей стратегии . Стратегию –го игрока нижнего уровня иерархии будем отождествлять с вектор-функцией , предполагая при этом измеримость по Борелю компонент (этот факт обозначаем ).

Порядок ходов в игре следующий. Первый ход делает центр (игрок верхнего уровня иерархии), сообщая всем игрокам нижнего уровня свою стратегию . Затем (второй ход) игроки нижнего уровня выбирают свои стратегии , , которые совместно с образуют ситуацию игры . На множестве таких ситуаций , где , определена функция выигрыша каждого -го игрока , значение которой в конкретной ситуации называют выигрышем игрока . Окончательный (третий ход) делает центр, формируя свою стратегию , исходя из значения функционала . Будем считать, что при формировании своих стратегий (с учетом порядка ходов) все игроки стремятся к увеличению своих выигрышей. При этом в первую очередь, возникает вопрос о формализации «подходящего» решения игры .

Поясним подход, используемый далее в определении решения игры для случая, когда на нижнем уровне иерархии функционирует лишь один игрок (то есть и поэтому ), пусть также . При этом используем возможный аналог максимакса для однокритериальной задачи

Аналог максимакса для формализуем в два этапа.

то есть множество состоит из точек , в которых реализуется максимум функции при заданном ; эту операцию естественно назвать построением внутреннего максимума.

Пару (ситуацию) естественно назвать - максимаксимальным решением задачи (аналог решения двухуровневой игры по Штакельбергу и аналог внешнего максимума в максиминной задаче).

Следуя изложенному подходу, решение игры также будем определять в два этапа.

1 этап: для бескоалиционной игры лиц , которую получаем из , фиксируя , именно,

, (1)

в качестве аналога внутреннего максимума (этап I) используем концепцию равновесности по Бержу-Вайсману: ситуацию назовем удовлетворяющей условию равновесности по Бержу-Вайсману в игре , если

здесь ; операция (2) «порождает» многозначное отображение

причем ; пусть - измеримый по Борелю селектор отображения ; здесь и далее означает множество всех подмножеств компакта .

С учетом упомянутого выше порядка ходов для игры ситуацию естественно называть -максимальным решением игры .

Цель предлагаемой статьи состоит в том, чтобы установить существование указанного -максимального решения при обычных для математической теории игр ограничениях на элементы игры .

свойства равновесия по Бержу-Вайсману

В этом разделе будем рассматривать бескоалиционную игру лиц для каждой стратегии центра . Напомним, что ситуация игры удовлетворяет условию равновесности по Бержу-Вайсману, если

здесь , тогда равенства (4) можно представить в эквивалентном виде

Далее будет установлен ряд свойств ситуаций, удовлетворяющих условию равновесности по Бержу-Вайсману, которые затем используются в разделе 3 при доказательстве существования -максимального решения игры .

Покажем, что замкнуто. Для этого рассмотрим произвольную бесконечную последовательность точек из . Так как , а есть компакт, то существует подпоследовательность и ситуация такие, что (покомпонентно)

Множество замкнуто, если . Установим этот факт от противного, предположим, что . Тогда найдутся (см. (4) и (5)) номер и набор стратегий игроков такие, что

Из (7), а также из непрерывности на , и, следовательно, непрерывности на получаем существование настолько малого числа такого, что для всех ситуаций игры , при которых евклидова норма (и, следовательно ), будет

Выберем теперь такой «достаточно большой» номер , чтобы

при всех (что возможно вследствие (6)). Тогда для этих из (8) следует

Данное неравенство противоречит тому факту, что и, поэтому является ситуацией игры (1), удовлетворяющей условию равновесности по Бержу-Вайсману, то есть

Из ограниченности и замкнутости множества следует его компактность.

является компактом (может и пустым) при каждом .

Здесь - множество ситуаций игры , удовлетворяющих условию равновесности по Бержу-Вайсману.

Справедливость следствия 1 сразу получаем из утверждения 1 и непрерывности вектор-функции по для каждого (при непрерывном отображении компакт переходит в компакт).

Для игры введем функцию

(9)

где ситуации , а стратегия центра фиксирована. Будем считать, что пара является седловой точкой , если при всех и справедлива цепочка неравенств

Неравенства (11) выполнены и для . Отсюда, учитывая равенство

получим

Значит для всех и

Тогда, согласно приведенному выше определению, ситуация удовлетворяет условию (5) равновесности по Бержу-Вайсману.

Перейдем к свойству многозначного отображения из (3), связанному с полунепрерывностью сверху. Итак, пусть выполнены требования утверждений 1 и 2, то есть имеют место

Построим многозначное отображение (3):

По утверждению 2 множество при каждом , а по утверждению 1 для всех множество есть компактное подмножество компакта . Таким образом, каждой стратегии центра поставлен в соответствие непустой компакт , точки которого в игре удовлетворяют условию равновесности по Бержу-Вайсману.

Отображение называется полунепрерывным сверху по включению при изменении , если справедливо следующее заключение:

пусть есть некоторая последовательность, имеющая предел (покомпонентный)

и пусть

соответствующая ей последовательность ситуаций игр , также имеющая предел

Тогда отображение полунепрерывно сверху по включению при изменении , если

полунепрерывно сверху по включению при изменении .

и имеющую предел

Заметим, что множество есть компакт (как декартово произведение компактов ), поэтому из последовательности всегда можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из .

Наконец, докажем, что справедливо включение

.

Предположим противное: пусть ситуация , то есть не удовлетворяет условию (4) равновесности по Бержу-Вайсману в игре . Тогда найдутся, по крайней мере, одна ситуация и номер такие, что

Вследствие непрерывности на , существования пределов (12) и (14), а также выполнения неравенства (16) найдется достаточно большое целое число , что при будет

Эти неравенства противоречат условию равновесности по Бержу-Вайсману ситуаций в играх . Итак, установлено, что при выполнении условий 1 и 2 определенное в (3) многозначное отображение полунепрерывно сверху по включению при изменении .

С учетом указанного в разделе 1 порядка ходов и применения на нижнем уровне иерархии концепции равновесности по Бержу-Вайсману, приведем формальное определение -равновесного решения иерархической двухуровневой игры .

Пусть априори задано (или выбрано) число ; далее BVS - первые английские буквы фамилий Бержа, Вайсмана и Штакельберга соответственно.

Определение. Ситуацию назовем -равновесным по BVS решением игры , если при каждой стратегии центра

а) справедливы равенства

б) имеет место неравенство

Существование введенного выше -равновесного по BVS решения (при любых ) устанавливается в следующем утверждении.

1⁰) множества суть непустые компакты, а функции выигрыша непрерывны на ;

2⁰) скалярная функция

при каждом имеет седловую точку , именно,

Тогда при любом в игре существует -равновесное по BVS решение.

при каждом удовлетворяющих условию равновесности по Бержу-Вайсману:

Множество ,

Учитывая, кроме этих трех фактов, компактность и непрерывность , по теореме об измеримом выборе [6, с. 26] получаем, что существует измеримый по Борелю селектор (измеримая по Борелю вектор-функция ), который при каждой стратегии центра и каждом , реализует равенство (17) и поэтому удовлетворяет требованию (а) приведенного выше определения.

Пусть теперь - произвольное положительное число. Тогда для каждого можно указать такую «свою» стратегию центра , что для всех имеет место неравенство

то есть выполнено неравенство (18) из определения -равновесной по BVS ситуации (в игре ). Следовательно, в результате этапов I и II показано, что в игре существует пара , удовлетворяющая требованиям (а) и (б) приведенного определения равновесной по BVS ситуации. Теорема доказана.

Для двухуровневой иерархической игры с бескоалиционным вариантом на нижнем уровне формализовано понятие -равновесного по BVS решения и установлены достаточные условия существования указанного решения.

1. 
   Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
   
2. 
   Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.
   
3. 
   Von Stackelberg H. Marktform and Gleichgewicht. Vienna: Springer, 1934 (Англ. перев.: The theory of the market economy. Oxford: Oxford University Press, 1952).
   
4. 
   Nash J.F. Non-cooperative games // Ann. Math.. 1951, № 54.
   
5. 
   Жуковский В.И., Смирнова Л.В. Двухуровневая игра с бескоалиционным вариантом на нижнем уровне иерархии // Spectral and Evolution Problems, Ukraine, 2008, Vol. 18.
   

Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности.