Физико-математических наук

В рассматриваемый период весьма популярной была игра, называемая "диалектикой", в которой участвовали два человека А и В. Игрок А задавал вопросы В, а В мог отвечать на них только "да" или "нет". Цель игры состояла в том, что А должен принудить В согласиться с некоторыми положениями, которые В прежде отрицал. В начале спора А выдвигал некоторые предложения-постулаты (от латинского слова postulatum – требования), которые В должен был принять без доказательств. Если В не соглашался с ними, то спор не мог произойти. В противном случае он вынужден был согласиться и с другими положениями, выдвинутыми А.

В математике аксиоматический метод впервые появился в работах древнегреческих ученых. Имеются сведения о том, что Гиппократом Хиосским (V в. до н.э.) были написаны первые "Начала". Спустя почти полтора столетия Архимед предпринял попытку аксиоматически определить понятие площади и длины. Аполлоний предложил новую аксиоматику геометрии. Но особое место в этом ряду занимают "Начала" Евклида (13 книг), которые стали одной из важнейших составляющих геометрии эпохи эллинизма. В них автор придерживался аристотелевских принципов дедуктивного построения науки.

Согласно Аристотелю, всякое учение и основанная на рассуждениях наука возникают из предшествующих знаний, однако не всякое рассуждение можно считать доказательством. Доказательство (аподейктика), по Аристотелю, – это установление истинности суждения путем выведения его с необходимостью из истинности других. Доказательная наука должна строиться на истинных, первичных положениях, которые не доказываются.

К исходным положениям Аристотеля относятся:

• 
  тезис (νεσιζ) – недоказываемое положение, которое изучающему необходимо иметь заранее;
  
• 
  аксиома (αξιωμα) – недоказываемое, обладающее наивысшей степенью общности положение, отличающееся от тезиса тем, что ее необходимо иметь заранее каждому изучающему.
  

• 
  гипотеза (οπονεσιζ) – положение, в котором принимается или отвергается существование чего-то;
  
• 
  определение (поризм) (ορισμοζ) – положение, в котором не принимается и не отвергается существование чего-либо.
  

• 
  Постулаты (αιτηματα) – положения, т.е. аксиомы геометрического характера.
  

Книги "Начал" представляют единое целое: I-IV посвящены планиметрии, VII-IX – арифметике, X – несоизмеримым величинам и оперированию с иррациональностями, XI-XIII – стереометрии. Циркуль и линейка принципиально не употребляются как метрические средства, поэтому в книгах нет речи об измерении длин отрезков, площадей и объемов тел. Везде рассмотрено только их отношение.

В основе дедуктивного построения геометрии Евклида лежат неопределяемые понятия, определения, аксиомы и постулаты.

Неопределяемым понятиям Евклид дает пояснения – т. е. утверждения, при помощи которых они вводятся, например: точка есть то, что не имеет частей; линия же – длина без ширины; концы же линии – точки и др.

Затем Евклид вводит постулаты (требования) о возможности геометрических построений. Требуется:

Евклид ввел также и аксиомы, в переводе с греческого означающие уважение, достоинство, т. е. то, что вследствие своего авторитета не подвергается сомнению, а потому принимается без доказательства. Ими являются:

А₇. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Выбор постулатов и аксиом очень удачен. Почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако их недостаточно для дедуктивного построения геометрии. В связи со строгими логическими принципами, развитыми в предыдущую эпоху и усовершенствованными отчасти самим Евклидом в его работе о ложных заключениях, самым важным была логическая неуязвимость. Но, кроме того, требовалось расположить – и в каждой книге, и во всем труде в целом – задачи и теоремы так, чтобы материалы для каждой новой теоремы (задачи) доставлялись предыдущими. Руководствуясь этим принципом, Евклид не позволял себе пользоваться даже серединой отрезка в каком-нибудь доказательстве, прежде чем не доказывал ранее его существование путем построения. Такую совокупность положений, при которой идут от известного к неизвестному, т.е. поднимаются от простого и частного к сложному и общему, называют синтетической системой. Она содержит исходный пункт и заключение.

Ясно, что теоремы, доказательства которых опираются на предшествующие теоремы и задачи, должны предполагать некоторые предварительные первичные построения, возможность выполнения которых считается известной, а также некоторые первичные утверждения, истинность которых считается очевидной. У Евклида роль таких построений играют постулаты, а аксиомы выполняют роль функции утверждений.

Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, которое в конечном счете опирается на систему исходных высказываний. Из него он развивает последовательность следствий, приводящих к исходному утверждению. Обратный путь рассуждений в "Началах" не употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом.

Доказательства теорем строятся по единой схеме:

1. 
   формулировка задачи или теоремы (предложение – προπασισ);
   
2. 
   введение чертежа для наглядного разъяснения постановки задачи или теоремы (изложение – εχυεσισ);
   
3. 
   формулировка по чертежу искомого (определение – διορισμοσ);
   
4. 
   проведение вспомогательных линий (построение – χατασχευη);
   
5. 
   доказательство в собственном смысле (доказательство – αποσιξισ);
   
6. 
   объявление того, что доказано и это доказанное решает задачу или же оно адекватно поставленной теореме (заключение – σιμπερασμα).
   

После этого все другие математические утверждения Евклид строго доказывает. Теорема в переводе с греческого означает "представление", "зрелище". В математике древних греков термин употребляется в смысле "истины, доступной созерцанию". Рассуждения, с помощью которых устанавливается справедливость теоремы, называются доказательством, т.е. проводится цепочка правильных умозаключений, идущих от исходных данных, признанных истинными к доказываемому утверждению.

"Начала" Евклида являлись уникальным образцом развертывания геометрии своей эпохи. Они оказывали огромнейшее влияние на жизнь многих выдающихся ученых. С томами Евклида не расставался Н.Коперник; тщательно изучал "Начала" Галилео Галилей; план своего основного сочинения "Этика" Спиноза целиком заимствовал у Евклида. Геометрией Евклида был очарован и Альберт Эйнштейн. Он говорил о том, что почитает Древнюю Грецию как колыбель западной науки, где была впервые создана геометрия Евклида – это чудо мысли, логическая система, выводы которой с точностью вытекают один из другого так, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительное произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Об Евклиде Э.Кольман сказал: "Не может быть сомнения в том, что Евклид был великим геометром. Гигантская задача систематизации, которую он столь блестяще выполнил, сама по себе была под силу лишь крупнейшему ученому".

О личности Евклида сохранилось мало сведений. Известно, что он заведовал математическим отделом Александрийской библиотеки, был очень скромным человеком, не искал славы. Если верить древним авторам, то он отказался от всех земных утех и радостей. До нас дошли лишь два эпизода из жизни Евклида. Египетский царь Птолемей I, наслышавшись о необычайной мудрости ученого, пожелал лично познакомиться с выдающимся математиком и его не менее прославленными "Началами". В сопровождении придворных царь прибыл в библиотеку и попросил Евклида рассказать ему о рукописи. Он милостиво выслушал формулировку и доказательство двух первых теорем. Но уже в начале третьей, удивляясь тому, каких трудностей стоило усвоение истин, содержащихся в них, с ужасом воскликнул: "Неужели нет других путей для того, чтобы понять эти вещи? " На это Евклид с достоинством ответил: "Нет, в математике даже для царей нет других путей". Да, даже для царей! Мысль о том, что математика – это предмет, требующий напряжения всех сил от каждого, кто пожелает ее изучать, бесконечно повторялась в разных вариантах многими как до Евклида, так и после него.

Евклидовы "Начала" были такими сложными для усвоения, что о теоремах, помещенных в них, говорили: первые две являются теоремами, а третья – "эфелюгой", что означало "бегство ученика". Действительно, мало кто выдерживал то неимоверное напряжение мысли, которого требовало изучение теорем. Впоследствии возникла легенда, которую пересказывали в различных видоизменениях: один из учеников, обессиленный от попыток усвоить "Начала", обратился со слезной просьбой к своему скромному, но очень требовательному учителю: "А что я буду иметь, если все это выучу?" Евклид приказал одному из своих рабов: «Дай ему три обола (мелкая монета). Он заслужил их уже тем, что изучает "Начала"». Изучение математики – это труд, который оценивается так же, если не больше, чем физическая работа. Однако, говорят, Евклид, приказав дать ученику три обола, проявил полное неуважение к нему, сказав: "Этот ученик думает не о науке, а о том, как извлечь из нее выгоду".

Итак, Евклид собрал воедино математические сведения своих предшественников и современников, дополнив их собственными исследованиями, дал их систематическое изложение в своих "Началах". Больше всего в этом труде ученых интересовал пятый постулат, который трудно было признать очевидным. Поэтому возникло стремление доказать его, вывести из других основных посылок. Однако все доказательства либо содержали ошибки, либо опирались на положения, которых не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном анализе всегда оказывалось, что доказанное предложение равносильно V постулату. Так, еще греческий комментатор "Начал" Прокл Диадох (V в) доказал его, исходя из того, что параллельные прямые расположены на одинаковом расстоянии друг от друга или, по крайней мере, на ограниченном.

Другими предложениями, равносильными V постулату, являются:

1. 
   через точку вне данной прямой проходит единственная прямая, параллельная ей;
   
2. 
   две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы;
   
3. 
   cумма внутренних углов треугольника равна 180º;
   
4. 
   cуществуют подобные неравные треугольники и др.
   

Многочисленные исследования, посвященные проблеме V постулата, сыграли существенную роль в развитии геометрии, так как в них прослеживалась система далеко идущих следствий.

Аксиоматический метод является одним из эффективных средств построения научной теории. Однако в нем есть и свои особенности. Часто система аксиом – логический фундамент обоснования математической теории − не является навсегда законченной и совершенной, как и сами аксиомы. Она изменяется и совершенствуется. Наглядный пример тому – попытки заменить V постулат Евклида, которые привели к созданию новой геометрии.

При построении теории аксиоматическим методом всегда возникают три проблемы, которые необходимо решить: непротиворечивости, независимости и полноты той или иной системой аксиом.

Система аксиом называется противоречивой, если из нее по правилам логического вывода можно вывести два противоречащих друг другу утверждения. В противном случае система аксиом непротиворечива. Противоречивая система не может быть пригодной для обоснования научной дисциплины.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из ее аксиом не является следствием других. Иными словами, независимость системы аксиом сводится к минимальности числа ее аксиом. Это требование обязательно только при строгом аксиоматическом изложении теории, удовлетворяется оно не всегда. В учебных целях для упрощения некоторые аксиомы системы оставляют зависимыми.

Система аксиом называется полной, если все ее интерпретации (реализации, модели) изоморфны друг другу. В такой системе любое утверждение, высказанное на языке построенной теории, может быть либо доказано, либо опровергнуто. Полные системы аксиом встречаются редко. Существует два способа проверки непротиворечивости и независимости систем аксиом: непосредственный, исходящий из самого построения теории, и опосредованный – с помощью построения модели. В XVIII столетии геометры изобрели новый способ доказательства независимости V постулата: предположив, что он неверен, старались прийти к противоречию, как это происходит при доказательстве методом от противного. Действительно, если пятый постулат можно вывести из других постулатов и аксиом евклидовой геометрии (т.е. он является теоремой), то предположение о том, что он неверен, должно бы привести к противоречию. Такую попытку предпринял в 1733 г. итальянский математик Дж. Саккери (1667–1733). В его работе "Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливаемый самые первые принципы универсальной геометрии", в центре построений лежит четырехугольник (рис. 3) с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами и . Из симметрии относительно серединного перпендикуляра вытекает, что углы при вершинах и равны. Предположив, что V постулат не включен в список исходных постулатов и аксиом, Саккери установил: если угол тупой, то это противоречит аксиомам геометрии; если же прямой, то утверждение равносильно V постулату. Далее, допустив, что угол острый, после ряда логически верных рассуждений он получил выводы, в высшей степени странные с точки зрения обычной геометрии. Поэтому, апеллируя лишь к наглядному представлению, он ошибочно заключил, что такое допущение также противоречит остальным аксиомам.

Используя метод от противного, пытался доказать пятый постулат и швейцарский ученый И.Г.Ламберт (1728–1777). В сочинении "Теория параллельных линий" (1766) основой построений является прямоугольник с тремя прямыми углами (рис. 4). Относительно четвертого угла могут быть сделаны три допущения: он тупой, прямой или острый. В ходе доказательства Ламберт установил: гипотеза о том, что тупой, противоречит остальным аксиомам евклидовой геометрии; если , то она равносильна V постулату. Из гипотезы же острого угла Ламберт развил целую систему далеко идущих следствий, многие из которых противоречили наглядному представлению о свойствах прямых. В отличие от Саккери, он не сделал ошибки, благодаря которой можно было бы отвергнуть пятый постулат. Наоборот, ученый писал о том, что доказательства V постулата могут быть доведены "столь далеко", что для успеха остается ничтожная мелочь. Однако именно в ней и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат.

В работе А.М.Лежандра (1752–1833) выясняется связь между V постулатом и предложением о сумме углов треугольника. Он вводит три взаимно исключающие друг друга гипотезы: сумма углов треугольника больше, равна или меньше суммы двух прямых углов.

Ему принадлежит доказательство теорем: если сумма углов треугольника больше двух прямых, то это противоречит аксиомам геометрии; если для всех треугольников сумма углов равна двум прямым, то верен V постулат, и наоборот: если сумма углов какого-либо треугольника равна двум прямым, то и для всех треугольников сумма углов равна двум прямым. Таким образом, утверждение о том, что сумма углов какого-либо треугольника меньше двух прямых, равносильно предложению, отрицающему V постулат.

Однако, как ни пытались геометры прийти к противоречию, им не удавалось этого сделать. Они получали все новые и новые следствия, некоторые выглядели парадоксально: сумма углов у различных треугольников различна, но всегда меньше или равна 180º; линия, отстоящая от некоторой прямой (эквидистанта), не является прямой; не существует подобных треугольников и вообще подобных фигур и др.

Попытки доказательства независимости V постулата продолжались. В двадцатых годах XIX в. было получено неожиданное решение этой многовековой проблемы. Оно было связанно с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому независимо друг от друга пришли три великих ученых: наш соотечественник Н.И.Лобачевский (1792–1856), немецкий математик К.Ф.Гаусс (1777–1855) и венгерский – Я.Бойяи (1802–1860). В результате своих исследований они пришли к убежденности в том, что при замене V постулата противоречия не будет, так как новое утверждение не относится к геометрии Евклида, а полученные результаты представляют факты новой геометрии.

Таким образом, если заменить V постулат другим и вывести из новой системы постулатов и аксиом возможные следствия, то они будут теоремами другой геометрии. Допущение отрицания утверждения: через точку А вне прямой а проходит только одна прямая, параллельная данной, означает, что:

• 
  через А можно провести хотя бы две прямые, не пересекающие а;
  
• 
  таких прямых не существует, т.е. вообще нет параллельных прямых.
  

К открытию неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевский пришел независимо от К.Ф.Гаусса. Вначале он пытался вывести различные следствия из отрицания V постулата, надеясь рано или поздно получить противоречие, а позже пришел к выводу, что таким путем построил новую геометрию и назвал ее воображаемой. Результаты исследований Лобачевский, начиная с 1829 г. изложил в ряде сочинений. Но ученые не приняли его новых идей, так как не мыслили существования геометрии, отличной от евклидовой. Он умер, так и не добившись признания результатов своих исследований.

Третьим ученым, разделяющим заслугу открытия неевклидовой геометрии, был Я.Бойяи. Его отец, известный венгерский математик Ф.Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше человеческих сил, и хотел оградить сына от неудач и разочарования. Но Янош не внял предупреждениям. Вскоре он, независимо от Гаусса и Лобачевского, пришел к таким же результатам. В приложении к книге отца Я.Бойяи дал самостоятельное изложение неевклидовой геометрии (1832).

В геометрии Лобачевского теоремы имеют странные, непривычные нам формулировки: если через А вне данной прямой а можно провести две прямые, параллельные а, то их существуют бесконечное множество; существуют треугольники, стороны которых параллельны, а площади имеют конечную величину; сумма внутренних углов треугольника всегда меньше 180º и др.

Для доказательства непротиворечивости геометрии следовало построить модель. Н.И. Лобачевский это понимал и пытался найти либо ее, либо приложения своей геометрии. Он предпринял смелую попытку опытной проверки результатов при помощи астрономических наблюдений: рассматривал треугольники, вершинами которых являются звезды, и путем измерений хотел убедиться в том, что сумма углов в них меньше 180º. Ученый стал исследовать "внутреннюю геометрию поверхности", изучавшую свойства фигур на поверхностях, которые сохраняются при изгибании последних. Поверхности постоянной положительной кривизны – это куски сферы. Для них были получены формулы сферической тригонометрии. Одновременно, но независимо друг от друга, Н.И.Лобачевский и Ф.Г.Миндинг установили замечательный факт: в евклидовом пространстве на поверхности постоянной отрицательной кривизны геометрия геодезических линий совпадает с планиметрией Лобачевского.

В 1868 г. итальянский геометр Е.Бельтрами (1835–1900) провел строгие расчеты и построил модель геометрии Лобачевского. Интерпретацию для плоскости Лобачевского нашел через три года Ф.Клейн (1849–1905), а спустя еще 11 лет – А.Пуанкаре (1854–1912). Впоследствии предлагались и другие модели. Тем самым была окончательно установлена ее непротиворечивость и показано, что евклидова геометрия не является единственно возможной.

Сам Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов. Она нашла применение в геометрических методах теории чисел. Эта геометрия важна не только для абстрактной математики. Была установлена тесная связь ее с кинематикой частной теории относительности: согласно модели Ф.Клейна в пространстве скоростей внутри сферы радиуса c, т.е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского. Сложение скоростей, например, интерпретируется как сложение отрезков этой геометрии. Ее формулы используются в расчетах современных ускорителей ядерных частиц. Интересное приложение нашла геометрия Лобачевского и в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (в космических масштабах это допустимое приближение), то оказывается, что пространство обладает свойствами геометрии Лобачевского. Этот факт оправдывает предложение ученого о его геометрии как возможной теории реального пространства.

Одним из первых дал высокую оценку значению открытия неевклидовой геометрии английский математик У.К.Клиффорд (1845–1879). Он писал о том, что чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует интересная параллель: оба славяне по происхождению, каждый сделал революцию в научных идеях, взглядах…

Немецкий ученый Б.Риман (1826–1866) предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий, в которых можно выполнить измерение длин, площадей, углов, объемов. При этом он не ограничивался случаем трехмерного пространства, а строил геометрии пространств любого числа измерений. Свое первое сообщение Риман сделал в лекции "О гипотезах, лежащих в основании "геометрии" (1854). Он построил геометрию "в малом", носящую его имя. Первоначальными понятиями в ней, как и в других, являлись "точка", "прямая" и "плоскость". Они характеризуются связывающими их аксиомами, в значительной степени отличными от требований евклидовой геометрии. Основными отношениями являются принадлежность (точки прямой, точки плоскости); порядок точек на прямой; прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости и т.д.); конгруэнтность (фигур). Четыре группы аксиом Риман назвал соответственно: I – соединения; II – порядка; III – непрерывности; IV – конгруэнтности. Все остальные утверждения (теоремы) этой геометрии были получены логическим путем, с использованием неопределяемых понятий и аксиом.

Последовательно проводя дедуктивное построение своей теории, Риман также установил ряд утверждений, которые с позиции евклидовой геометрии выглядели нелепыми, например: не существует параллельных прямых, нет подобных фигур, зато сумма углов треугольника больше 180º, а длины прямых ограничены. В такой геометрии существуют треугольники с двумя и даже тремя прямыми углами и т.д.

Для доказательства непротиворечивости геометрии Римана следует построить модель, на которой выполнялись бы все аксиомы. В качестве одной из них можно взять эллипсоид вращения, где прямыми являются эллипсы на его поверхности с центром О (на оси), расположенном на одинаковом расстоянии от фокусов F₁ и F₂ (рис. 3). Тогда отрезком прямой считается дуга эллипса с центром О. Далее можно определить "треугольник", "окружность", ввести понятие равенства двух отрезков, треугольников. На этой модели действительно возможны треугольники, у которых два, а то и все три внутренних угла прямые, и т.д. В дальнейшем были предложены и другие методы построения неевклидовой геометрии. Между собой геометрические пространства различаются по тому, насколько они отличаются от евклидова. Само это отличие называют "кривизной".

Неевклидовы геометрии не только открыли новую эру в математике, они стали незаменимым математическим аппаратом многих важнейших частей современной физики, особенно теории относительности.

Имеется интересный и простой признак, при помощи которого можно охарактеризовать отличие полученной геометрии от евклидовой, не перечисляя всех аксиом. Им является теорема о сумме внутренних углов треугольника σ. Тогда можно положить, что величина кривизны характеризуется отношением разности к площади треугольника. Значение Δ в разных геометриях может быть как больше, так и меньше нуля, в соответствии с чем говорят, что пространство имеет положительную или отрицательную кривизну. Евклидово геометрическое пространство тогда имеет нулевую кривизну.

С появлением неевклидовых геометрий возникли проблемы их обоснования. Так, геометрия Лобачевского отличается от евклидовой аксиомой параллельности. Что произойдет, если изменить и другие аксиомы? Всегда ли при этом будут получаться новые геометрические системы? В каких случаях они противоречивы? Для ответов на эти вопросы ученые прежде всего вновь обратились к исследованиям геометрии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы, нужные для ее построения, а затем уже изучить связи между ними, выяснить, что произойдет, если отбросить одну или несколько аксиом и заменить их другими. Эту проблему впервые удалось

решить Д.Гильберту (1862–1943). В "Основаниях геометрии" (1899) им была создана первая полная система аксиом геометрии Евклида и изучены вопросы, о которых говорилось выше.

Исследования Гильберта и других ученых способствовали развитию аксиоматического метода, а формирование геометрии как дедуктивной науки далеко не закончилось построением евклидовой геометрии. Это было только начало открытий, блестящее продолжение которых осуществлялось в дальнейшем.

1. 
   Больяи Я. Аппендикс. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную / пер. с лат., вступ. ст. и примеч. В.Ф.Кагана. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
   
2. 
   Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
   
3. 
   Евклид. Начала / пер. Д.Д.Мордухай-Бол-товского; М.; Л.: ГТТИ, 1948–1950. Т.1–3.
   
4. 
   Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Физматгиз, 1961.
   
5. 
   Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. М.: Знание, 1984.
   
6. 
   Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
   
7. 
   Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. М.: Знание, 1975.
   
8. 
   Ливанова А. Три судьбы. М.: Знание, 1975.
   
9. 
   Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: ГТТЛ, 1953.
   

11. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М.: Наука, 1976.

12. Фетисов А.Н. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. М.: Просвещение, 1965.