Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh,cosh.

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• 
  гиперболический синус:
  

• 
  гиперболический косинус:
  

• 
  гиперболический тангенс:
  

• 
  гиперболический котангенс:
  

Иногда также определяются

• 
  гиперболические секанс и косеканс:, .
  

• 
   — «ши́нус», «сихинус».
  
• 
   — «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чи́нус», «чихо́нус».
  
• 
   — «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».
  
• 
   — «кочангенс», «кота́хинус».
  

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Ввиду соотношения ch²t-sh²t=1, гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x² − y² = 1 (x=cht, y=sht). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

sin (х) = Im(e)

При этом .

, ,

, ,

1. 
   
   
2. 
   Чётность:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
3. 
   Формулы сложения:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
4. 
   Формулы двойного угла:
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
   4. 
      
      
   5. 
      
      
   6. 
      
      
5. 
   Формулы кратных углов:
   

6. 
   Произведения
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
   4. 
      
      
7. 
   Суммы
   
   1. 
      
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      
   4. 
      
      
8. 
   Формулы понижения степени
   

9. 
   Производные:
   

10. 
    Интегралы:
    
    1. 
       
       
    2. 
       
       
    3. 
       
       
    4. 
       
       
    5. 
       
       

При всех выполняется:

Здесь B_2n — числа Бернулли.

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

Эти функции имеют следующее разложение в ряд: