Исследование позитронных и позитрониевых состояний в кристалле

Исследование позитронных

В предыдущей главе было установлено, что существуют стационарные состояния систем позитрон (атом Рs) - кристалл, так как характерные времена протекания позитронных процессов составляют 10^–16 с, ионных процессов - 10^–13 с, а самое короткое время жизни относительно аннигиляции равно примерно 10^-10 с. Причем позитрон и атом Рs находятся в тепловом равновесии с решеткой кристалла, т.е. они термализованы. В общем случае при облучении позитронами идеального кристалла образуются позитронные состояния следующего типа: электроны, позитроны, дырки, экситоны, атом Рs и комплексы различной природы [366]. Теория таких состояний в полупроводниках и ионных кристаллах анализировалась в рамках известных расчетных моделей квантовой физики твердого тела [196, 199]. Удалось установить как условие стабилизации этих состояний в кристалле (например, атом Рs в идеальной кристаллической решетке), так и условие их деструкции (например, распад атома Рs при экранировании кулоновского взаимодействия между электроном и позитроном свободными носителями в полупроводниках). Теория этих состояний, однако, нуждается в более строгом обосновании и дальнейшем развитии. Наиболее эффективным методом описания свойств таких состояний является метод квантовополевой теории твердого тела [190]. Поэтому ниже в рамках этой теории дается описание свойств (эффективные массы, выражение для энергий и т.п.) позитронных состояний в идеальных кристаллах.

Изложим метод вторичного квантования для электронов и позитронов в твердом теле. Согласно [366], можем выписать выражение для одночастичных электронных и позитронных состояний в представлении вторичного квантования

Здесь операторы и a⁺ являются операторами рождения и определены в [366]; С_ - коэффициент разложения, причем ;

Аналогично может быть рассмотрено общее состояние двух частиц с координатами и

Причем, как и выше,

Выбирая стандартный гамильтониан, получаем уравнение

Эти результаты могут быть обобщены на случай многих частиц:

2.2. Проблема многих электронов и позитронов

Проблема многих электронов и позитронов в рамках метода вторичного квантования может быть сформирована на основании следующей картины: электроны и позитроны движутся в строго периодическом поле решетки, ионы которой имеют бесконечно большие массы и находятся в состоянии покоя. Электроны внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что они вместе с положительными атомными ядрами создают эффективный периодический решеточный потенциал V. Eстественно, что позитроны в основном движутся по периферии атомов кристалла в силу электростатического отталкивания ядрами. Оператор Гамильтона для электронов и позитронов состоит из четырех составляющих: кинетической энергии электронов (позитронов), кулоновской энергии взаимодействия электронов (позитронов) с ядрами, потенциальной энергии взаимодействия электронов (позитронов) друг с другом и кулоновской энергии взаимодействия электронов с позитронами. Cогласно [190, 196], можно записать уравнение Шредингера для электронной и позитронной подсистем через операторы поля ⁺(), , ⁺(), (), удовлетворяющие ферми-перестановочным соотношениям [190]. Эти операторы разлагаются по собственным функциям и cледующим образом:

Отметим, что операторы поля и также удовлетворяют ферми-перестановочным соотношениям. Считаем, как обычно, что собственные функции , образует полный набор ортонормированных функций, но при этом их следует минимизировать так, чтобы они являлись решениями уравнения Шредингера. Для этого используется метод Хартри - Фока [130, 190, 196].

Создадим некоторое состояние Ф электронов и позитронов кристалла. Для этого расположим электроны и позитроны один за другим по состояниям к_–1, к_–2, ..., к_–n, к₊₁, к₊₂, ..., к_+m. Таким образом,

. (2.8)

Используем волновую функцию (2.8) для построения среднего значения оператора Гамильтона

H  =  H_– + H₊ (2.9)

с дополнительным условием, что функция состояния нормирована.

и вычислим его как функционал и c дополнительным

Затем определим и с помощью варьирования, что позволит сразу же получить уравнение Хартри - Фока для одноэлектронных и однопозитронных волновых функций кристалла

Здесь - эффективные хартри-фоковские потенциалы, включающие все виды взаимодействий, в общем случае являются периодическими с периодом решетки кристалла.

Ранее никак не уточнялось, насколько заполнены получившиеся электронные и позитронные зоны. Приведенный формализм может быть применен для случая полностью заполненной валентной зоны и соседних электронных и позитронных зон проводимости с одним электроном и одним позитроном. Имеем для функции избыточного электрона

, (2.14)

а для функции избыточного позитрона

где L_–, L₊, v - индексы, относящиеся к электронным и позитронным

Далее, согласно [190, 196], легко рассмотреть применение теории Блоха к системе электронов и позитронов в кристаллической решетке и дать обоснование МЭМ, позволяющие записать полные энергии

+(члены более высокого порядка, которыми пренебрегаем). (2.17)

Здесь - эффективные массы электрона или позитрона. С учетом сдвига по энергии Е₀ уравнение Шредингера в блоховском потенциале W_ (x) записывается в виде

. (2.18)

Решение уравнения (2.18) для позитрона удобнее всего анализировать в приближении Ванье [196], позволяющем описывать локализацию позитрона в окрестности точки на протяжении примерно постоянной решетки. Важным свойством функций Ванье является их ортогональность, т.е. функции Ванье, локализованные в точках l и l^ или принадлежащие различным значениям  и ^, взаимно ортогональны

2.3. Электроны, позитроны и дырки

Формализм вторичного квантования позволяет определить электрон, позитрон и дырку как квазичастицы с эффективными массами m_–, m₊, m_v соответственно. Для этого рассмотрим взаимодействие между электронами, дырками и позитронами на примере полупроводникового кристалла. Исследуем вопрос о форме эффективных взаимодействий при наличии удаленных из валентной зоны в зону проводимости некоторых электронов (т.е. создание в валентной зоне нескольких дырок). Причем не обязательно число дырок равно числу электронов в зоне проводимости. Их число может быть значительно больше в результате ионизации мелких примесных центров даже при комнатной температуре. Позитроны же вводятся в кристаллы, например, из ⁺-радиоактивного источника (Na²², Cu⁶⁴ и т.д.) и образуют позитронную зону проводимости. Система такого типа описывается уравнением Шредингера НФ = EФ. Оператор Гамильтона Н, как и ранее, записываем через операторы поля и которые для рассмотрения состояний электронов в валентной зоне v, электронов и позитронов в зоне проводимости разлагаются по собственным функциям валентной зоны и зоны проводимости .

Вводим операторы рождения и уничтожения дырок, электронов и позитронов соответственно. Из соотношений (2.14), (2.15) и введенных операторов рождения и уничтожения квазичастиц следует, что дырка в валентной зоне не полностью тождественна позитрону как реальной частице.
Согласно проведенным расчетам [190], оператор Гамильтона

, (2.20)

где и - операторы, описывающие взаимодействие лептонов в зоне проводимости и взаимодействие лептонов зоны проводимости и валентной зоны. В свою очередь

Здесь - взаимодействие электронов в зоне проводимости; - взаимодействие электронов с позитронами; - взаимодействие дырок в валентной зоне; - взаимодействие дырок валентной зоны и позитронов в позитронной зоне проводимости.

Таким образом, оператор Гамильтона для электронов, дырок и
позитронов в кристалле может быть выбран в виде

H = H₀ + H_вз = Н_эл + Н_д + Н_поз + Н_эл-эл + Н_эл-д +

+ Н_поз-д + Н_эл-поз + Н_д-д + W_зап, (2.23)

где W_зап - энергия валентной зоны.

В работах [190, 196] нами получены выражения для H_ij, входящие в гамильтониан (2.23), через операторы рождения и уничтожения электронов, дырок и позитрона и матричные элементы энергий взаимодействия между соответствующими зонами. Выражения для энергий основного состояния электронов, позитрона и дырок для случая их нахождения вблизи краев зон записываются в виде

; (2.24)

. (2.25)

Сравнение (2.24) и (2.25) четко выявляет различие между позитроном и дыркой.

2.4. Проблема экситона, атома Рs и комплексов
Уилера различной природы
(позитрон-экситонные комплексы и ионы атома Рs)

С учетом приведенной выше многочастичной модели рассмотрим проблему экситонов, атома Рs и позитрон-экситонных комплексов [119, 149]. Задача для общего случая позитрон-экситонного комплекса заключается опять-таки в решении уравнения Шредингера НФ = ЕФ, где гамильтониан Н описывается выражением (2.23).

Рассмотрим уравнение (2.23) для случая одного электрона, одного позитрона и одной дырки. Волновые функции электронов в состоянии
k_–1, позитрона в состоянии k₊₁ и дырки в состоянии k_–2 можно получить из состояния, описывающего полностью заполненную валентную зону, последовательным действием операторов рождения , и на функцию валентной зоны

. (2.26)

Из выражения (2.26) следует, что электрон, дырка и позитрон, пролетая друг относительно друга, испытывают взаимное рассеяние, в результате чего попадают в различные конечные состояния ,

Гамильтониан трехчастичной системы с учетом сдвига по энергии с тем, чтобы опустить W_зап [190], состоит из выражения для кинетической энергии электрона, позитрона и дырки и взаимодействия между ними

H_общ  =  Н_кин + Н_эл-д + Н_эл-поз + Н_поз-д. (2.28)

Действуя оператором Н_общ на функцию Ф и выполняя соответствующие преобразования и упрощения, получаем уравнение Шредингера для позитрон-экситонного комплекса

Позитронно-экситонный комплекс (своеобразное соединение

Ранее постулировалось утверждение о том, что расстояние между электроном, позитроном и дыркой велико, следовательно, вполне

Здесь - оператор рождения локализованного в точке атома Ps. Разумеется, оператор его уничтожения есть . Гамильтониан позитрония Френкеля при помощи этих операторов запишется в виде

Действуя этим оператором на волновую функцию Ф и проводя

где - волновой вектор позитрония; . Выражение (2.31) представляет собой закон дисперсии для френкелевской позитрониевой зоны в кристалле [190, 196].

2.5. Взаимодействие позитронов и атома Рs
с фононами кристалла в рамках методов
вторичного квантования и функций Грина

По методу вторичного квантования в [190, 196] было учтено взаимодействие позитронов и атома Рs с фононами кристалла. Для этого в рамках нестационарной теории возмущений в представлении взаимодействия рассмотрены процессы cпонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном в кристалле.

Квантованный гамильтониан Фрелиха системы записывается, как обычно [190], в виде суммы Н = Н₀ + Н_вз, где Н₀ - гамильтониан невозмущенной задачи; Н_вз рассматривается как малое возмущение.

Диаграммная техника первого порядка теории возмущений позволяет вычислить вероятность спонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном. Расчеты же с использованием диаграммной техники второго порядка теории возмущений позволяют найти значения собственной энергии и перенормированной массы позитрона в кристалле: где  - сдвиг по энергии в единицах массы; - зонная эффективная масса.

Использование теоремы о точной форме решения для взаимодействия позитрона с колебаниями решетки стационарного уравнения Шредингера НФ = ЕФ в полярных кристаллах позволяет получить выражение для энергии позитронного полярона Фрелиха [196]:

. (2.33)

Откуда следует, что собственная энергия Е₀ и перенормированная масса равны соответственно

где  - константа связи.

Для расчетов позитронных процессов в кристаллах был использован метод функций Грина [196]. Показано, что функция Грина позитрона имеет стандартный вид

, (2.36)

и является функцией и  (здесь  имеет размерность частоты).

Рассмотрим функцию (2.36) для фиксированного позитрона, но переменного . Так как знаменатель в - комплексная величина, то эта функция отображается на комплексной -плоскости. Эта функция имеет на комплексной плоскости один полюс, действительная координата которого равна , а мнимая - обратному значению времени жизни. Отсюда приходим к основному понятию: полюс определяет энергию и время жизни позитрона (как квазичастицы) или его взаимодействие с кристаллом (окружением).

Чрезвычайно интересно применение метода функций Грина

2.6. Теория атома Рs в полярных кристаллах.

Ниже показано, что поляризация решетки ионного (полярного) кристалла, не только вызывает изменение собственной энергии и перенормировку масс электрона и позитрона, но и создает дополнительное отталкивающее взаимодействие между электроном и позитроном [196].

Исходный гамильтониан атома Рs, учитывающий взаимодействие электрона и позитрона с колебаниями решетки, записывается в виде

H  =  Н_эл + Н_поз + Н_ph + H_вз1 + Н_вз2 +Н_эл-поз. (2.37)

Здесь Н_эл и Н_поз - операторы Гамильтона свободных электрона и
позитрона,

, (2.38)

причем в общем случае .

Оператор Н_ph описывает газ фононов (колебания решетки)

, (2.39)

где и - операторы испускания (рождения) и поглощения фононов соответственно;  - частота продольных колебаний; - волновой вектор фонона.

Члены, отвечающие взаимодействию электрона и позитрона
с фононами, имеют вид

, i = 1, 2. (2.40)

Гамильтониан

где - оптическая диэлектрическая проницаемость.

Задача эффективного взаимодействия электрона с позитроном
(т.е. поляроном) в изложенных выше приближениях была решена методом Хакена [196]. В частности, для полной энергии имеем

. (2.42)

Здесь ₀ - статическая диэлектрическая проницаемость; ;

Из анализа выражения для полной энергии (2.42) следует, что для атома Рs, так же как и для экситонов, в экспериментах можно установить существование перехода от кулоновского взаимодействия с _ при малых радиусах атома Рs к взаимодействию с ₀ при больших радиусах атома Ps.