Изучение характеристик сцинтилляционного детектора ядерных излучений

Изучение характеристик сцинтилляционного детектора

ядерных излучений

1. Введение

Принцип работы сцинтилляционного детектора схематично следующий.

Излучение, попадая в вещество, производит в нём ионизацию. При этом в ряде веществ образуется свечение в оптическом диапазоне, называемое сцинтилляцией. Излученный свет собирается – в спектральном диапазоне прозрачности сцинтиллятора – на фотоприёмник. В качестве последнего часто служит фотоэлектронный умножитель. На фотокатоде ФЭУ в результате фотоэффекта свет преобразуется в поток электронов, который усиливается динодной системой за счёт механизма вторичной электронной эмиссии. Анодный токовый сигнал ФЭУ – через усилитель или непосредственно - подается на вход измерительного прибора – счетчика импульсов, осциллографа, аналого-цифрового преобразователя и т.п.

В соответствии с этой схемой построена структура предлагаемого методического пособия к лабораторной работе. В главе 2 изложен вопрос об ионизационном торможении частиц. В гл.3 рассматривается механизм и закономерности сцинтилляции в общем, а гл.4 более подробно описывает применяемый в работе кристаллический сцинтиллятор. В гл.5 рассматривается принцип работы и характеристики ФЭУ. Гл.6 посвящена ядерным излучениям. В гл.7 дается описание используемого в работе детектора, а также измерительной аппаратуры. В гл.8 описана модель измеряемого амплитудного спектра, а также сформулирована задача определения нелинейности световыхода. Гл.9 содержит некоторые сведения о методах статистической обработки измерений. В заключение, в гл.10 предлагается ряд измерительных и вычислительных задач по тематике работы. В приложение вынесены таблица -распадов нептуниевого ряда, а также список литературы.

2. Ионизационные потери

Ионизационное торможение - главный механизм потерь энергии при прохождении заряженной частицы через вещество. Движущаяся через вещество частица испытывает кулоновское взаимодействие с электронами и передаёт часть энергии на их возбуждение и ионизацию.

Т.н. плотность ионизационных потерь, т.е. потери энергии dE на единицу пройденной в среде «толщины» dx =   dl , где  - плотность вещества, а dl имеет размерность длины, определяется формулой Бете-Блоха:
(2.1)
Здесь N_A – число Авогадро, Z и A –и атомный номер и массовое число вещества, I – его средний потенциал ионизации, z – заряд (в единицах e) ионизирующей частицы,  - её скорость (в единицах скорости света c), e и m_e – заряд и масса электрона.

Основной характер поведения dE/dx может быть получен в простой модели рассеяния тяжёлой (M>>m_e) заряженной частицы, движущейся со скоростью v =c вдоль оси x на прицельном расстоянии  от свободного покоящегося электрона. Считая, что взаимодействие эффективно на участке пути вдоль x , сравнимом с  , например - < x < , оценим поперечный (по отношению к x) импульс, передаваемый электрону кулоновской силой :

в последнем равенстве использована связь прицельного расстояния и переданной в столкновении энергии . В релятивистской механике максимально возможная передача энергии составляет . Квантовый, дискретный характер эффекта проявляется в ненулевой минимальной «порции» энергии, в качестве которой возьмём некий усреднённый потенциал ионизации . Подстановка выражений для энергий даёт формулу, близкую к формуле Бете-Блоха.

Характерный вид кривой (2.1) для плотности ионизационных потерь представлен на рис. (2.1). Более строгий и полный вывод формулы для ионизационных потерь требует привлечения релятивистской квантовой механики. Для достаточно медленных частиц, при скорости, сравнимой с орбитальной скоростью атомных электронов, применимость формулы Бете-Блоха ставится под вопрос. Иногда в этой области, слева от максимума кривой, плотность потерь энергии считают линейно растущей с . Но наиболее адекватное описание требовало бы учёта электронной оболочечной структуры атомов конкретного вещества.

Рис. (2.1). Характерный вид зависимости плотности ионизационных потерь однозарядной частицей от произведения её скорости  на релятивистский фактор

Основные закономерности, вытекающие из формулы Бете-Блоха, таковы:

1. 
   Потери не зависят от массы, квадратично зависят от заряда частицы и являются функцией её скорости:
   

2. 
   Эта универсальная для всех частиц функция в области малых скоростей 1 (но больших по сравнению с «внутриатомными скоростями» электронов, см. выше) изменяется как 1/² , т.е. по мере замедления нерелятивистской частицы её торможение резко усиливается. С ростом  функция достигает (при  ~ 34) минимума. Поэтому умеренно релятивистскую частицу иногда называют «минимально ионизирующей». При дальнейшем росте  потери медленно (~ln ) растут.
   
3. 
   Зависимость dE/dx от свойств среды главным образом определяется отношением Z/A, близким к 1/2 для большинства веществ. В этом состоит практичность выражения плотности потерь в единицах «толщины», а не длины. Влияние среднего потенциала ионизации I , стоящего «под логарифмом», мало. Для однозарядной минимально ионизирующей частицы потери составляют от 1 до 2 МэВ  см²/ г.
   

В представленном виде формула Бете-Блоха справедлива, вообще говоря, для тяжёлых (M>>m_e) частиц без спина. Однако учёт спина и расширение формулы на лёгкие частицы -позитроны и электроны, а также учет тождественности сталкивающихся частиц в последнем случае, не существенно (для наших целей) изменяют функциональный вид ионизационных потерь и их численные значения. Это же замечание касается - в интересующей нас области медленных и умеренно релятивистских частиц, - и других поправок, возникающих в квантово-механическом расчёте эффекта и опущенных в упрощённом варианте формулы ионизационных потерь.

Достаточно энергичные из них ( кэВ- и даже МэВ-ные), называемые -электронами, в свою очередь производят вторичную ионизацию. Полный пробег R_T -электрона в веществе, измеренный вдоль его траектории, может быть вычислен интегрированием формулы Бете-Блоха на длине l=R_T и приравниванием полученного интеграла и начальной энергии.

По мере ионизационного торможения электроны испытывают также весьма значительное угловое рассеяние, так что процесс их распространения подобен диффузии. Поэтому для характеристики толщины вещества, на которую эффективно проникают электроны и которая существенно меньше полного пробега, используется т.н. практический пробег R_P. Для тонких детекторов - электроны могут вылетать за пределы чувствительной области, уменьшая тем самым детектируемые ионизационные потери. Практический пробег слабо зависит от геометрии поглотителя и его состава (за исключением водорода и тяжелых элементов) и неплохо аппроксимируется формулой

. Для многих веществ R_P измерен как функция энергии и затабулирован (табл. 2.1).
Табл. (2.1). Практический пробег электронов в алюминии в зависимости от энергии.

E, кэВ	12	15	20	25	30	40	50	65	80	100	120	150	200	250	300	400	500
RP, мг/см2	0.24	0.38	0.68	1.06	1.5	2.6	4.0	6.4	9.2	13.5	18.5	26.5	42	59	78	120	165

Табл. (2.1). Продолжение.

Полное число ион-электронных пар, произведенное в результате первичной и вторичной ионизации, пропорционально ионизационным потерям и меняется в широких пределах для разных веществ. Так, на образование одной пары в газообразном аргоне требуется в среднем 26 эВ, а в полупроводнике всего ~3 эВ.

Ионизация в детекторе может измеряться как прямо - по высвобождающемуся электрическому заряду, так и через различные вторичные эффекты: химические реакции в фотоэмульсии, пузырьки пара в перегретой жидкости в пузырьковых камерах, световое излучение в сцинтилляторе.

В заключение отметим, что взаимодействие гамма–кванта с веществом также приводит к ионизации - посредством фотоэлектрона в случае фотоэффекта или электронов отдачи при комптоновском рассеянии на них .

3. 
   Сцинтилляция
   

В сцинтилляторе часть ионизационных потерь конвертируется в оптическое излучение.

Сцинтилляторы можно разделить на несколько групп: газообразные (в основном инертные газы), органические - жидкие и пластические, органические кристаллы, неорганические кристаллы.

Процесс сцинтилляции происходит в три этапа:

- поглощение ионизирующего излучения ;

- передача части поглощенной энергии центрам люминесценции с их возбуждением в излучающее состояние;

- излучательный возврат с некоторой эффективностью центра люминесценции в основное состояние.

Механизмы сцинтилляций на молекулярном уровне в разных сцинтилляторах различны и не для всех из них хорошо выяснены.

Ограничимся рассмотрением сцинтилляционного процесса в полупроводниковых кристаллах, к классу которых относится и используемый в работе сцинтиллятор (см. ниже). Здесь процесс сцинтилляции определяется зонной структурой кристалла.

В интересующей нас оптической области спектра фотоны имеют энергию в диапазоне от долей до единиц электрон-вольт. Соответствующие оптические энергетические переходы затрагивают электроны верхних энергетических зон и уровней. Для полупроводника это валентная зона, зона проводимости с примыкающей к ней экситонной зоной и расположенные в запрещённой зоне (шириной E_g ~ 15 эВ) примесные уровни.

Применительно к полупроводнику ионизация означает возбуждение валентных электронов с их переходом в зону проводимости и образованием дырки в валентной зоне. Очень быстро сильно возбуждённые электроны и глубоко лежащие дырки термализуются, т.е. уравновешивают «температуры» , соответственно опускаясь и поднимаясь к границам своих зон. Часть из высвобожденных носителей противоположного знака может при термализации спариваться в электрически нейтральную квазичастицу - т.н. экситон.

Наряду с указанными возбуждениями (экситонами и подвижными носителями заряда), возможно прямое возбуждение ионизирующей частицей электронов и на дискретные примесные уровни, однако оно маловероятно в связи с низкой концентрацией последних.

Возбуждения могут быть сняты различными путями. Во-первых, в результате нерадиационных многофононных переходов, вероятность которых мала при нормальной температуре из-за большого отличия характерных энергии возбуждения и тепловой энергии: E_g  kT  0.025 эВ, но экспоненциально растёт с ростом температуры.

Во-вторых, за счёт излучательных переходов при рекомбинации электронов и дырок и аннигиляции экситонов. Однако они не могут служить основным источником сцинтилляции, поскольку спектр этих переходов с энергией E_g перекрывается со спектром собственного поглощения кристалла. Вообще отметим, что в эффективном сцинтилляторе спектр излучения должен быть заметно сдвинут (в длинноволновую область) относительно спектра поглощения (т.н. сдвиг Стокса).

В то же время рекомбинационные и аннигиляционные радиационные переходы играют роль в диффузии энергии по кристаллу, через чередующиеся поглощение и излучение, до её передачи примесным уровням.

Радиационные переходы с возбуждённых примесных уровней, опять же конкурирующие с безизлучательными, и составляют основную часть люминесценции. Примеси, контролируемо вводимые в основное вещество (иногда называемое матрицей) для придания (улучшения) сцинтилляционных свойств, называют активатором.

Описанная модель сцинтилляции объясняет экспериментально наблюдаемый факт, что спектр люминесценции (по крайней мере, её основной части) слабо зависит от способа возбуждения кристалла (оптическое или радиационное) и концентрации активатора, и что люминесценция есть свойство агрегатного состояния вещества – она отсутствует в расплаве или растворе (для многих органических сцинтилляторов это не так!).

Исходя из вышесказанного, эффективность конверсии энергии ионизации в люминесценцию с частотой  несколько условно может быть факторизована в виде

 = (h/E)  Sq = (h/E_g)  (E_g/E)  Sq ,

где S – эффективность передачи энергии от e-h пары к центру люминесценции , q – его излучательная квантовая эффективность, E - средняя энергия, затрачиваемая на единичный акт ионизации. E  3E_g и увеличивается с ростом энергии фононов решетки.

Таким образом, кроме высоких (близких к 1) эффективностей S и q, для хорошей конверсии требуется кристалл с не слишком широкой запрещенной зоной и низкими колебательными частотами (и, как уже отмечалось, при не слишком высокой температуре).

Вероятность захвата возбуждения на примесные уровни, а с ней - поначалу - эффективность передачи S, растут с увеличением их концентрации. Начиная с некоторой концентрации активатора начинает преобладать эффект поглощения излучения этими же примесями, и «эффективная» величина S , а с ней и количество света , уменьшается. Существование оптимальной концентрации активатора подтверждается экспериментально.

Ещё одним опытным фактом является зависимость удельного, т.е. приходящегося на единицу поглощённой энергии, световыхода L/E от нескольких характеристик регистрируемых частиц - их массы, заряда, энергии. Совокупность многих измерений показывает, что, как правило, эта зависимость может быть выражена через функцию одной переменной - плотности ионизационных потерь dE/dx. С ростом плотности ионизации удельный световыход падает.

Этот эффект может быть объяснён с помощью следующей феноменологической модели, не конкретизирующей реальные микроскопические механизмы сцинтилляции.

Предположим, что наряду с возбуждениями (экситонами), возникающими на пути заряженной частицы с линейной плотностью A dE/dx, образуются центры тушения, т.е. безизлучательного снятия возбуждения, с концентрацией C dE/dx. Пусть, в свою очередь, концентрация центров люминесценции n_L. Если сечения захвата экситона центром люминесценции и центром тушения равны _L и _Q соответственно, то удельный световыход, или число фотонов люминесценции на единицу пути,

(3.1)

Эту зависимость световыхода от плотности ионизационных потерь называют формулой Биркса, а постоянную B, характеризующую сцинтиллятор и не зависящую от типа и энергии частицы, – коэффициентом Биркса. В качестве возможной природы тушения называют ионизационные повреждения молекул, локальный нагрев вещества вдоль трека частицы и др.

При B=0 или при малой плотности энерговыделения dL/dx  dE/dx , и полный световыход на пути торможения частицы L  E, т.е. удельный световыход L/E = const. При очень высокой плотности ионизации dL/dx = const, и световыход пропорционален пробегу частицы: L  x. В общем случае зависит от закона ионизационного торможения частицы.

Согласно рассмотренной модели, временное развитие сцинтилляционной вспышки зависит от времени, затрачиваемого на возбуждение люминесцентных центров (поглощение и миграция к ним энергии), с одной стороны, и времени их жизни , с другой. Если, как обычно бывает, первое много меньше второго, то в простейшем случае интенсивность свечения как функция времени описывается простой экспоненциальной зависимостью: . Часто зависимость I(t) имеет более сложный характер и описывается суммой нескольких компонент с разными временами высвечивания сцинтиллятора.

Эти компоненты, как правило, отличаются спектральным составом, а соотношение их интенсивностей может зависеть от температуры, плотности ионизации и других факторов.

4. Характеристики кристалла YAP
Рассмотрим подробнее вещество, используемое в качестве сцинтиллятора в нашей работе, - полупроводник YAlO₃ , называемый также YAP , «перовскит иттрия», «ортоалюминат иттрия». Это твердый кристалл, не растворимый в неорганических кислотах, устойчивый к щелочам, негигроскопичный. Плавится при 1875C. Индекс преломления (важный с точки зрения оптимизации светосбора на фотоприёмник) 1.9. Его плотность, определяющая в т.ч. плотность ионизационных потерь, около 5.5 г/см³ . Средний потенциал ионизации около 240 эВ. Средний заряд ядер, характеризующий тормозную способность для -квантов, Z=32 . Кристалл активирован примесной добавкой Ce с оптимальной весовой концентрацией около 0.2 %.

Ионы церия, играющие роль центров люминесценции, размещаются в узлах решётки, замещая Y³⁺ .

Возбуждение трехвалентного церия Ce³⁺  (Ce³⁺)* может происходить различными способами:

- непосредственно ионизирующей частицей;

- через образование 4-х-зарядного иона либо прямой ионизацией, либо захватом дырки: Ce³⁺ + h  Ce⁴⁺.

При этом захват дырки может быть “мгновенным” либо задержанным на время ее диффузии к решёточному узлу церия. Образовавшийся ион может захватить электрон: Ce⁴⁺ + e  (Ce³⁺)*, опять же либо “мгновенно” в случае со свободным электроном ионизации, либо с задержкой – при тепловом высвобождении электрона из “ловушки” – потенциальной ямы, связанной с неидеальностью кристаллической решётки (наличием примесей и дислокаций).

Электронная конфигурация атома редкоземельного элемента ₅₈Ce - 4f 5d 6s² . Ион трёхвалентного церия Ce³⁺ имеет основное электронное состояние 4f . Соответствующий дублет ионных состояний ²F_5/2 и ²F_7/2 расщеплен по энергии спин-орбитальным взаимодействием на ~2250 см^-1 , однако переходы на эти уровни в интересующей нас области излучения (см. ниже) не разделяются.

Первое электронное возбуждение имеет конфигурацию 5d. Ромбическая решетка YAP характеризуется C_1h симметрией с разрешенными электрическими дипольными переходами. Благодаря этому снимается вырождение, за исключением т.н. двукратного вырождения Крамерса для систем с полуцелым спином, всех 4f и 5d состояний. Расщепление 5d уровней ~5500 см^-1 , а средняя энергия составляет 38 300 см^-1 .

Нерадиационные переходы между далеко отстоящими уровнями (>10⁴ см^-1) в редкоземельных элементах важны только при повышенной температуре, т.е. квантовая эффективность радиационного перехода 5d  4f высока. Другая ситуация наблюдается для близких уровней конфигурации 5d , когда сильная ион-решеточная связь приводит к быстрой многофононной (безизлучательной) релаксации на наинизший 5d уровень.

Таким образом, основную часть оптического спектра Ce³⁺ составляют переходы f-d в ближнем ультрафиолетовом диапазоне.

В типичной для фотокатодов (см. гл. 5) области чувствительности 200 – 500 нм в спектрах поглощения кристалла YAlO₃:Ce³⁺ наблюдается до 5 довольно широких полос на ~220, 238, 275, 290 и 303 нм, сопоставляемых с пятью электронными 5d-уровнями Ce³⁺. Край собственного (беспримесного) поглощения YAlO₃ начинается ниже 200 нм.

Смещение Стокса между полосами поглощения и излучения составляет ~4500 см^-1 , т.е. излучательный спектр имеет максимум на ~360 нм.

Измеренное время высвечивания основной компоненты YAP около 28 нс , что близко к расчётной (обратной) скорости радиационных переходов в ионе Ce³⁺. Такое сравнительно быстрое высвечивание YAP отличает его от большинства кристаллических сцинтилляторов с характерными временами 0.1 – 10 мкс.

Наличие неконтролируемых примесей в кристалле, а также смещенных и четырехвалентных ионов церия приводит к появлению в спектре дополнительных полос, характеризующихся большими временами высвечивания от ~100 нс до ~ 10 мкс. Эта медленная компонента сильно варьирует от образца к образцу, составляя по интенсивности, по различным данным, от 2% до 15% от основной.

Для иллюстрации сказанного на рис.4.1 приведен электронный «снимок» с экрана цифрового осциллографа. На нем с помощью ФЭУ зарегистрированы и наложены друг на друга два импульса сцинтилляций YAP, отличающиеся по амплитуде в 5 раз. После быстрого заднего фронта наблюдается более медленная компонента.


Рис.4.1. Осциллограммы двух импульсов сцинтилляций YAP.

Важная черта YAP – довольно высокий световыход, доходящий для лучших образцов до 50 % от «эталонного» для неорганических кристаллических сцинтилляторов световыхода NaI(Tl). Это составляет ~1810³ фотонов на 1 МэВ поглощённой энергии при возбуждении кристалла  - квантом и ~5.410³ фотонов/МэВ для  - частиц (см. выше о различии световыхода для разных видов поглощаемого излучения).

Температурный коэффициент световыхода 0.4% / К.

Благодаря ряду свойств (высокий световыход, быстрота и подходящий к чувствительности ФЭУ спектр излучения и др.) YAP считается одним из перспективных сцинтилляторов для различных спектрометрических приложений.

5. Фотоэлектронный умножитель и его применение в сцинтилляционном детекторе
Детекторы, применяемые в спектрометрии ядерных излучений и в физике частиц, используются обычно в импульсном режиме: измеряются короткие сигналы, вызываемые актом взаимодействия отдельной частицы с веществом. Так, в сцинтилляционной спектрометрии регистрируются световые вспышки, для чего применяется тот или иной фотоприемник, в нашем случае ФЭУ. При этом непосредственно измеряемой величиной является амплитуда (точнее, заряд) токового импульса ФЭУ, зависящая от характеристик детектора и регистрируемого излучения.

В основе испускания электронов веществом под действием света лежит внешний фотоэффект, суть которого состоит в возможности возбуждения электрона до его выхода из вещества путём передачи ему всей энергии поглощенного фотона. В рассматриваемом случае ФЭУ эмиссия происходит из твердого фотокатода в вакуум. Вероятность выбивания электрона называется квантовой чувствительностью, или эффективностью, фотокатода. Она зависит от энергии фотона, свойств вещества, состояния его поверхности и ряда других факторов. Многие закономерности фотоэффекта определяются зонной структурой твердого тела.

В металле возбуждаются с выходом в вакуум электроны проводимости. Пороговая частота излучения, ниже которой (при T=0) фотоэффект невозможен, определяется разностью энергий электрона, находящегося вне тела достаточно далеко от его поверхности, и электрона на наивысшем энергетическом уровне в яме, образуемой потенциалом кристаллической решётки металла:

h_min = E_vac – E_max  _ф. _ф носит название фотоэлектронной работы выхода.

Для полупроводника, в отличие от металла, основной вклад в фотоэмиссию, как и в упомянутое в связи со сцинтилляцией оптическое поглощение, дают валентные электроны, имеющие на порядки большую концентрацию по сравнению с примесными и электронами проводимости. Последние дают небольшой вклад в величину фототока, создавая длинноволновой «хвост» фотоэмиссии за порогом собственного фотоэффекта h_min = _ф = E_g + E_a. Здесь E_g – ширина запрещённой зоны, E_a – энергетическое расстояние от нижней границы зоны проводимости до уровня вакуума, называемое электронным сродством.

Другое важное отличие полупроводника от металла состоит в характере связи фотоэмиссионной способности материала с его термоэмиссией. Последняя, будучи в отличие от фотоэмиссии равновесным процессом, определяется химическим потенциалом вещества - положением уровня Ферми. В металле уровень Ферми совпадает (в пределе T=0) с верхним заполненным уровнем зоны проводимости: E_F = E_max, поэтому термоэлектронная работа выхода совпадает с фотоэлектронной: _T = _ф, и характеристики обоих процессов определяются одной энергетической величиной. Для полупроводников ситуация принципиально другая.

В чистом полупроводнике уровень Ферми лежит в середине запрещённой зоны, и _T = ½ E_g + E_a. Наличие примесей (донорных или акцепторных) смещает его к границе (верхней или нижней) этой зоны. Но в обоих случаях работы термоэмиссии и фотоэмиссии в полупроводнике - две разные энергетические характеристики кристалла. Это открывает принципиальную возможность создания эффективных полупроводниковых фотоэмиттеров с приемлемо низким уровнем термотока без их охлаждения.

Ток электронов, эмитированных катодом, усиливается т.н. динодной системой ФЭУ – рядом электродов, находящихся под последовательно возрастающими потенциалами. В основе процесса усиления лежит эффект вторичной электронной эмиссии – выбивания из вещества (вторичных) электронов в результате «бомбардировки» его поверхности достаточно энергичными (первичными) электронами. Эффект характеризуется коэффициентом вторичной эмиссии (к.в.э.) - отношением тока вторичных электронов к току первичных. Усиление в системе из n каскадов усиления (динодов) , где _i – (средний) коэффициент вторичной эмиссии i-го динода.

К.в.э. как функция энергии первичного электрона имеет максимум, достигающий (для эффективных эмиттеров) по порядку величины ~ 10¹ 10² . Качественно это объясняется соотношением двух основных факторов: с одной стороны, с ростом энергии растёт число возбуждаемых вторичных электронов. В то же время увеличивается глубина генерации в толще вещества этих электронов, вследствие чего падает вероятность их выхода из объёма вещества. Для широкого круга веществ энергия, соответствующая максимуму к.в.э., составляет несколько сотен электрон-вольт. На практике по ряду причин разность потенциалов между последовательными динодами ФЭУ составляет заметно меньшую величину V ~100-200 В. При типичных для современных ФЭУ к.в.э., равном 4, и числе каскадов 12 коэффициент усиления составляет M≈10⁷.

При чрезмерном повышении напряжения на ФЭУ начинает сказываться объемный заряд электронного облака на конечных стадиях размножения, что приводит к насыщению коэффициента усиления и нелинейности ФЭУ. Кроме того, растут шумы ФЭУ (см. далее). Возможно появление паразитных послеимпульсов, связанных с ударной электронной ионизацией остаточного газа в вакуумном объеме и последующим соударением образовавшихся ионов с катодом или динодами (т.н. ионная обратная связь). Еще один источник послеимпульсов – фотонная обратная связь, когда фотоны видимого диапазона, сопровождающие мощную лавину на аноде, вызывают фотоэффект из катода или динодов. Наконец, при очень большом анодном токе, вызванным слишком большим усилением или сильной засветкой фотокатода, могут произойти изменения свойств последнего динода и анода, вплоть до необратимого нарушения работы ФЭУ.

В достаточно узком диапазоне напряжений (энергий) в рабочей области к.в.э. динодов может быть грубо аппроксимирован линейной функцией (V)  cV. Для подачи на электроды ФЭУ напряжения обычно используется резистивный делитель напряжения. При равномерном распределении потенциалов напряжение между последовательными динодами V= V₀/n , где V₀ – полное напряжение на динодной системе ФЭУ. Тогда в предположении эквивалентности всех каскадов полное усиление , т.е. относительное изменение коэффициента усиления ФЭУ при изменении напряжения на нём . На практике из-за различия усиления каскадов зависимость M(V₀) имеет несколько меньший показатель степени, который имеет смысл «эффективного» числа динодов.

Отсюда следует важное практическое требование к условиям измерений: при необходимости обеспечить стабильность dM/M < 1% и типичных n ~10, V₀ ~ 1 кВ постоянство напряжения питания ФЭУ должно быть не хуже ~ 1 В.
Для импульсных измерений важными являются временные характеристики ФЭУ, в первую очередь длительность выходного импульса в ответ на -вспышку света и – в меньшей степени - время его задержки. Задержка определяется суммарным временем, затрачиваемым размножающимися электронами на пролет через всю динодную систему ФЭУ, и типично составляет ~(1÷2)·10^-8 с. Длительность импульса зависит от двух основных факторов. Первый - разброс времен пролета электронов, главным образом на начальной стадии размножения (на катоде и первых динодах), в силу разброса их начальных эмиссионных скоростей и не изохронности разных траекторий движения. Второй фактор – граничная частота полосы пропускания, определяемая паразитной емкостью анода ФЭУ относительно всех других электродов и сопротивлением внешней цепи. Длительность импульса варьируется от нескольких (~2-5) нс для быстрых («временных») типов ФЭУ до ~20-40 нс для сравнительно «медленных» типов ФЭУ. Для примера на рис.5.1 показан осциллограмма сигнала с ФЭУ-84, засвечиваемого короткой вспышкой быстрого светоизлучающего диода (СИД).

Рис. 5.1. Копия экрана цифрового осциллографа с осциллограммами импульсов ФЭУ от быстрого СИД. Шкала временной развертки 10 нс/деление.

Разрешение накладывает ограничения на точность измерения, в нашем случае - ионизационных потерь, и на возможность разделения сигналов от, скажем, групп частиц с близкой энергией.

Рассмотрим разрешение сцинтилляционного детектора в импульсном режиме.

Разрешение (например, энергетическое) R принято определять как (выраженное в процентах) отношение полной ширины пика в спектре, измеренное на его полувысоте (FWHM), к его среднему значению.

Введём обозначение относительной дисперсии случайной величины E со средним и дисперсией D(E): , и будем опускать слово «относительная» там, где оно подразумевается принятым обозначением.

Для типичного случая гауссовской формы аппаратурной функции (нормированной на единицу)

разрешение очень просто выражается через дисперсию: . Ввиду такой связи иногда, говоря о разрешении, подразумевают  .

Пусть сцинтилляционным детектором регистрируются акты полного поглощения ионизирующих частиц фиксированной энергии. Полный заряд Q в анодном импульсе ФЭУ представляется в упрощённом виде как

(5.1) .

В дальнейшем знак усреднения - черту над символом - будем опускать.

Здесь N_ - число фотонов в сцинтилляционной вспышке , M - коэффициент усиления ФЭУ, p - эффективность передачи фотонов, равная отношению числа первичных электронов, возникших на входе ФЭУ, к числу фотонов: p = N_e1N_. По формуле распространения ошибок дисперсия заряда (5.1) просто складывается из дисперсий предполагаемых независимыми сомножителей:

(5.2). В предположении пуассоновского распределения числа фотонов k со средним N_ (5.3).

Дисперсию ²(p) следует понимать как относительную среднеквадратичную флуктуацию числа электронов N_e1 при фиксированном числе фотонов N_. Рассматривая "преобразование" фотона в электрон как бернуллиевский процесс с вероятностями "успеха" и "неудачи" p и q=1-p соответственно, воспользуемся выражением для дисперсии биномиального распределения числа "успешных" исходов N_e1 в серии из N_ испытаний:

Подставляя (5.3) и (5.4) в (5.2), получим

Из сравнения (5.2) и (5.5) видно, что дисперсия числа электронов, возникших в результате последовательности двух случайных процессов - излучения фотонов и фотоэффекта, совпадает с выражением для дисперсии пуассоновского распределения со средним N_e1 = N_ p .

Покажем с использованием формализма производящих функций, что это не случайно.

Представим число электронов как сумму случайного числа k случайных величин _i :

Здесь  принимает с вероятностями p и 1-p значения 0 и 1 соответственно, а производящая функция для такого распределения . Величина k – пуассоновская со средним N_ и производящей функцией .

Тогда N_e1 , согласно теории вероятностей, есть случайная величина с производящей функцией , то есть имеет пуассоновское распределение со средним N_ p.

Обратимся теперь ко второму слагаемому в (5.5) – вкладу флуктуаций усиления ФЭУ.

Процесс усиления в динодной системе ФЭУ – это типичный цепной процесс размножения. В отличие от фотоэффекта, здесь исходом «испытания» - падения первичного электрона – может быть произвольное число вторичных электронов.

Дисперсия усиления – это дисперсия в числе электронов на аноде ФЭУ N_e при фиксированном (не флуктуирующем) числе электронов на его первом диноде N_e1 = N_ p:

Считая независимыми флуктуации эмиссии на каждом из k динодов, имеем , где D_i (N_e) – дисперсия в числе электронов на аноде, найденная при условии, что только к.в.э. i-го динода является случайной величиной с дисперсией D(_i), а для остальных динодов дисперсии равны нулю. Если на k-й динод приходит Np₁₂…_k-1 электронов, то с него испускается Np₁₂…_k-1_k электронов с дисперсией

Таким образом,

Из (5.6) видно, что основной вклад в дисперсию даёт первый член суммы - флуктуации размножения на первом диноде.

Полагая для всех i= 1…n (n>>1) _i =  >>1 и D(_i) = D() , получим

.

Распределение по числу вторичных электронов считают пуассоновским, тогда D() = . Окончательно получим ²(M) = 1/( N_ p ) (5.7) ,

или, подставляя (5.7) в (5.5) ,

(5.8).

Выражение (5.8) соответствует нижнему теоретически достижимому пределу разрешения при измерении данным типом детектора. Рассмотренная идеализированная модель не включает многих факторов, присущих реальному детектору.

Во-первых, полный разброс числа испущенных фотонов больше чисто пуассоновского: ²(N_) = 1/N_ + ²_Sс. Добавочный член , обозначенный ²_Sс (от «scintillation») , обусловлен несовершенством сцинтиллятора, главным образом его неоднородностью (по концентрации центров люминесценции, прозрачности и др.). Считается также, что вклад в ²_Sс даёт уже упомянутое непостоянство световыхода сцинтиллятора, благодаря различию от вспышки к вспышке «сценариев», составленных из элементарных актов диссипации энергии.

Аналогично, к уже рассмотренному вкладу в дисперсию передачи ²(p) принципиально неустранимых - в силу статистической природы фотоэффекта - флуктуаций надо добавить вариации передачи ²_Tr (от «transmission»), обусловленные несовершенством детектора:

Это в первую очередь неравномерность спектрального квантового выхода по засвечиваемой площади фотокатода.

Кроме квантовой чувствительности фотокатода ФЭУ, эффективность передачи фотонов p включает такие факторы, как: 1) эффективность светосбора с учётом геометрии сцинтиллятора, отражательных свойств его поверхности, качества оптического контакта с окном ФЭУ, и 2) эффективность сбора фотоэлектронов на первый динод ФЭУ.

Соответственно, различие в светосборе в зависимости от места и (возможно) направленности вспышки и вариации доли «потерянных» электронов (т.н. «коэффициент пролета») дают вклад в ²_Tr .

Наконец, в отношении последнего члена в (5.2), флуктуации анодного тока ФЭУ (при фиксированном катодном токе) не ограничиваются одними статистическими флуктуациями размножения. Так, здесь сказывается трудно измеримый фактор междинодного пролета электронов. Ещё один источник шума в анодном сигнале - т.н. темновой ток. Он имеет неустранимые составляющие, связанные с электронной эмиссией, причём основная из них - ток термоэмиссии с катода - подвержена такому же усилению в динодной системе, как фототок. Кроме этого, могут присутствовать зависящие от конструкции, технологии производства и режима работы ФЭУ токи утечки, оптической и ионной обратной связей. Поэтому вклад флуктуаций усиления часто заменяют совокупной величиной - т.н. коэффициентом избыточного шума ФЭУ B .

Окончательно, вместо выражения (5.8) имеем

Т.о., для сцинтилляционного детектора, где энергетическим эквивалентом выступает заряд в импульсе ФЭУ, полное разрешение R представляется в виде квадратичной суммы т.н. внутреннего разрешения сцинтиллятора R_i , разрешения передачи R_p и разрешения ФЭУ R_M (несколько произвольно называемого также “вкладом фотоэлектронной статистики”), соответственно трём слагаемым в (5.9):

Действительно, наилучшие кристаллы YAP, находящиеся в оптическом контакте с окном ФЭУ, позволяют достичь очень хорошего энергетического разрешения R_s = (R_i² + R_p²)^1/2 до 3.4% на «эталонной», обычно используемой для измерений, 662 кэВ-ной  - линии от источника ¹³⁷Cs,.

Коэффициент шума ФЭУ B варьируется от десятых долей для "хороших" типов и образцов ФЭУ до нескольких единиц. Он может быть измерен в принципе из амплитудного распределения одноэлектронных импульсов (р.о.и., или одноэлектронного спектра), т.е. анодных сигналов, вызываемых вылетом из катода одного электрона:

, где и - соответственно среднее значение и абсолютная дисперсия р.о.и.

Для получения р.о.и. часто используется метод слабых световых вспышек. Фотокатод освещается короткими вспышками от импульсного источника света (например, СИД). Интенсивность вспышек уменьшают так, что среднее число фотоэлектронов <<1 . Об этом можно судить, оценивая по осциллографу интенсивность «нулевой» линии развертки в канале измерения анодного сигнала. Она должна составлять большую долю (>0.9) от всех запусков развёртки осциллографа, синхронизованных со вспышкой. При этом, исходя из пуассоновской статистики, вероятность «нулевого» сигнала P(0) = e^-  1- близка к единице, а подавляющая часть остального спектра - одноэлектронные импульсы:

В практических измерениях надо учесть, что при отсутствии светового сигнала результатом «оцифровки» амплитуды будет ненулевое значение, смещённое для однополярного АЦП в его рабочую область - т. н. «пьедестал». Среднее значение пьедестала и, более важно, его разброс могут определяться различными факторами: вкладом самого АЦП (напряжение смещения и/или ток утечки входного каскада и др.), электронными шумами, помехами ("наводками"), темновым током ФЭУ, температурным дрейфом измерительной схемы и др.

Для отслеживания величины пьедесталов используют т.н. "пьедестальные" – не синхронизованные с сигналом или в его отсутствие - запуски АЦП. При сравнительно узком относительно структур изучаемого спектра и стабильном пьедестальном распределении его среднее можно просто вычесть из оцифрованного сигнала. При заметной дисперсии пьедестала может потребоваться учёт её квадратичного вклада в аппаратурное разрешение. Часто при наличии дополнительных входов АЦП одновременно с изучаемым сигналом измеряют пьедестал на контрольном входе, что в случае коррелированных помех и шумов позволяет эффективно снизить уширение в изучаемом спектре.

Особенно существенен пьедестальный пик в случае измерения слабых сигналов, в особенности одноэлектронных. В «хороших одноэлектронных» ФЭУ р.о.и. имеет более или менее чётко отделённый от пьедестальных амплитуд сигнальный пик. Используемый в работе ФЭУ-84 (см. ниже) имеет динодную систему т.н. жалюзийного типа. Как правило, в такой системе довольно велик коэффициент пролета - доля первичных электронов, пролетающих мимо ближайшего динода и, как следствие, подверженных меньшему размножению. Это, наряду с низким коэффициентом вторичной эмиссии первого динода, является основной причиной плохого р.о.и. примерно экспоненциально падающего от пьедестала к области больших амплитуд. Экспериментальное определение величины B с хорошей точностью по такому одноэлектронному спектру затруднительно.

(Иногда используется форма записи , здесь b и C - параметры).

Первый член - т.н. "стохастический" - отражает статистический, как правило, пуассоновский, характер процесса преобразования поглощаемой энергии в измеряемый эффект (в нашем случае заряд ФЭУ).

Второй, т.н. "константный", член эффективно учитывает "необязательные" по отношению к измеряемому эффекту погрешности измерения различного характера, слабо зависящие от энергии - электронные шумы и наводки, пространственную неоднородность отклика детектора, неполное поглощение энергии в детекторе, нестабильность аппаратуры и др. Чем меньше его вклад, тем разрешение детектора ближе к минимально достижимому для данного метода детектирования чисто статистическому пределу.

Из сравнения (5.9) и (5.11) видно, что в рассматриваемой модели детектора "стохастическому" члену соответствует разрешение ФЭУ, а "константному" - суммарный вклад разрешений передачи и внутреннего разрешения сцинтиллятора.

6. Радиоактивность

Радиоактивность - общее название для процессов самопроизвольных ядерных превращений, сопровождающихся излучением. Основными видами ядерных излучений являются -, - и - излучения, а также моноэнергетические электроны и др. ионизирующие излучения.

Наблюдаемый для многих тяжелых ядер -распад – это испускание ядром с числом протонов Z и нейтронов N=A-Z -частицы (ядра ): , возможное в принципе только при условии положительного энергетического баланса: энергия (масса) дочернего ядра меньше родительского. Энергетический выигрыш составляет единицы МэВ.

Испускание  - частиц с определенной энергией соответствует переходам между определёнными энергетическими состояниями родительского и дочернего ядер. Как правило, основная часть переходов происходит между их наинизшими уровнями. Если наряду с ними осуществляются переходы с возбужденного или на возбужденный уровень, появляются линии излучения с соответственно большей или меньшей энергией. Первый случай отвечает возникновению т.н. «длиннопробежных» -частиц, второй - тонкой структуры  - спектра.

Родительское ядро в возбужденном состоянии образуется чаще всего в результате ядерного -распада (см. далее). Как правило, это возбуждение за очень короткое время «снимается» γ –излучением. Поэтому длиннопробежные -частицы обнаружены в считанном числе межъядерных переходов. Тонкая же структура  - спектров встречается довольно часто. Интенсивности линий тонкой структуры спектра характеризуют относительными вероятностями соответствующих переходов, так что полная вероятность (100%) соответствует постоянной распада данного  - активного изотопа.

Переход при - распаде на возбужденный уровень дочернего ядра сопровождается электромагнитным переходом на его же основной или другой нижележащий уровень. Наиболее «простым» электромагнитным переходом является вышеупомянутое испускание -кванта. Если уровней несколько, то наряду с однократным переходом может осуществляться и каскадный, когда ядро переходит в основное состояние путем ряда последовательных переходов.

Спины J и пространственные четности P начального и конечного состояний ядра и момент импульса L, уносимый излучением, связаны определенными квантово-механическими соотношениями. Иначе говоря, переход (излучение) характеризуется некоторой мультипольностью. Вероятность -излучения быстро падает с ростом мультипольности, и переходы с L4 практически не наблюдаются.

Поскольку квант электромагнитного поля - фотон - имеет единичный спин, т.е. всегда L1, то т.н. переход 00 (начальное и конечное значения J=0) с испусканием одного -кванта запрещен. Он может происходить, например, с излучением 2-х фотонов или, альтернативно, путем внутренней конверсии: энергия возбуждения передается (посредством виртуального -кванта) одному из орбитальных электронов, который вылетает с соответствующей (за вычетом энергии связи данной оболочки) кинетической энергией.

Внутренняя конверсия может происходить и в других типах переходов и т.о. конкурирует с -излучением. В целом отношение вероятности внутренней конверсии к вероятности испускания , называемое коэффициентом конверсии, увеличивается с ростом мультипольности перехода. Полный коэффициент конверсии складывается из коэффициентов конверсии со всех атомных оболочек. Если энергии возбуждения ядра достаточно, то, как правило, преобладает конверсия с самой «глубокой» (т.н. K ) оболочки,

В результате внутренней конверсии атом оказывается возбужденным, поскольку в одной из его (внутренних) оболочек не достает электрона. Практически мгновенно вакансия заполняется электроном с внешней оболочки, что сопровождается характеристическим рентгеновским излучением или, альтернативно, испусканием оже-электрона. Так, при заполнении вакансии в K-оболочке электроном из (ближайшей) L-оболочки энергия рентгеновского кванта E_p=E_K-E_L, а кинетическая энергия электрона Оже E_e=E_K-E_2L, где E_K , E_L , E_2L - энергии связи соответственно одного электрона на K-оболочке, L-оболочке и двух электронов на L-оболочке.

Вернемся к -распаду. В квантовой механике он рассматривается как процесс проникновения  - частицы, заключённой в потенциальную яму ядерного взаимодействия, через кулоновский энергетический барьер. Глубина ямы определяется энергией связи  - частицы в ядре, ширина – размером ядра, форму потенциала в простейшей модели полагают прямоугольной.

Для получения постоянной распада  вероятность подбарьерного “туннелирования” D, т.е. отношение плотностей потоков для прошедшей и падающей волн, надо умножить на частоту f «соударений» -частицы с барьером - поверхностью ядра:  = f D .

В классическом представлении f = v/(2R), где v – скорость -частицы в потенциальной яме; f  10²⁰ с^-1.

В квазиклассическом приближении и для кулоновского потенциала V(r) проницаемость барьера

,

где E=T – кинетическая энергия частицы, пределы интегрирования R и r_T = Zze²/T – соответственно радиус ядра и точка поворота, μ= mM/(m+M) - приведенная масса системы тел с массами дочернего ядра M и -частицы m, их заряды соответственно Z и z = 2.

Взятие интеграла приводит к выражению

D = exp{-2g(Z,R) (x)} ,

где введены безразмерная переменная x=E/B, B=Zze²/R – высота барьера, и функции

, .

Разложение в ряд Тейлора вблизи x=0 дает для показателя экспоненты

Пренебрегая высшими членами и считая предэкспоненциальный множитель константой, получают связь постоянной -распада (или времени полураспада) и его энергии в форме, соответствующей эмпирическому закону Гейгера – Нэттола:

Энергия распада Q_eff слагается из энергии  - частицы E_ и энергии ядра отдачи E_M_/M_я, а также поправки (~ 40 кэВ) на экранирование кулоновского поля родительского ядра электронами E_экр = 65.3 (Z+2)^7/5 – 80 (Z+2)^2/5 эВ.

Полуэмпирическая постоянная A_z в первом приближении пропорциональна Z, зависимость B_z (Z) слабая. Для тяжелых элементов, где и наблюдается -распад, A140 и B-50 , если t – в сек., Q_eff – в МэВ.
Столь сильная зависимость t_1/2(Q) объясняет гигантский диапазон (до 20 порядков) наблюдаемых времен полураспада  - активных ядер при сравнительно близких энергиях распада (4–9 МэВ). По мере уменьшения атомного номера ядра энергетический выигрыш относительно “удаления” из него 2-х протонов и 2-х нейтронов также уменьшается, вследствие чего  - распад становится все менее вероятен. Для ядра ²⁰⁹Bi энергетически возможен  - распад с энергией излучения 3 МэВ, но с периодом полураспада >10¹⁸ лет, и экспериментально он не наблюдается.
Наиболее адекватно закон Гейгера – Нэттола применим к переходам между основными (невозбужденными) состояниями четно-четных ядер (т.е. состоящих из 2k протонов и 2m нейтронов). Для других распадов наблюдается большее или меньшее отклонение от приведенной простой зависимости, измеряемое т.н. коэффициентом запрета F:

.

Из сотен известных распадов F<1 лишь в считанных случаях, что оправдывает применение термина. Так определенный коэффициент запрета связан с различными факторами. Наиболее изученный среди них и хорошо вычисляемый (при известном изменении углового момента при переходе) - центробежный эффект. При испускании -частицы с орбитальным угловым моментом L  0 проницаемость барьера уменьшается примерно в D₀/D_L = exp{ ћL(L+1) / (MRZe²)^1/2 } раз. При встречающихся на практике небольших значениях L10 добавочный “центробежный барьер” довольно мал сравнительно с основным кулоновским (напомним, диапазон изменения lg t_1/2 ~ 20).

В качестве примера приведём распад ²¹³Bi  ²⁰⁹Tl , являющийся переходом между состояниями со спин-чётностью ядра J^P = (9/2)⁺ и (1/2)^ и, соответственно, с испусканием -частицы в состоянии L=5 (минимально возможное по правилу сложения моментов значение L=4 запрещено сохранением четности). Соответствующий коэффициент подавления скорости распада составляет около 0.08 (см. Приложение). Поскольку проницаемости барьера для различных L сравнимы, часто можно ожидать в одном типе распада смесь -частиц с допустимыми угловыми моментами в диапазоне J_i – J_f L  J_i + J_f , где индексы i, f относятся соответственно к начальному и конечному состояниям.

Кроме центробежного фактора, есть более трудно учитываемые и модельно-зависимые эффекты несферичности ядер и взаимодействия  - частицы с сопровождающим распад электромагнитным излучением дочернего ядра.

Вероятно, большую роль играет также вероятность образования  - частицы вблизи поверхности ядра, соответствующая квазиклассической частоте соударений с барьером. Менее значимые факторы – не прямоугольность ядерного потенциала и передача части энергии распада электронам оболочки вплоть до ионизации атома.

Отметим, что полная и последовательная теория - распада, обусловленного т.н. сильным (иногда называемым также ядерным) взаимодействием, ещё не создана.

Количество ядер i-го члена цепи распадов в образце в момент времени t от момента приготовления t₀=0 исходного (i=1) чистого изотопа определяется выражением:

₁₁ = N₁(0) .

Можно показать, что при ₁ >> t >> _i (i>1) N_i(t) подчиняются т.н. “вековому уравнению”: N_i /_i = N₁ /₁ ~ exp(-t/₁). Отметим, что при указанных условиях вековое уравнение справедливо для любого процесса, происходящего по закону радиоактивного распада, в т.ч. для рассматриваемого далее  - распада.

По мере уменьшения атомного числа ядра в ряду оно становится нейтроно-избыточным и энергетически неустойчивым относительно  - распада, которым и “разряжается”, по-прежнему оставаясь в “своём” ряду.  - распадом называется процесс самопроизвольного превращения ядра в ядро-изобару (т.е. с тем же числом нуклонов) с зарядом, отличающимся на Z=1, за счёт испускания электрона или позитрона или захвата электрона. Ядра рассматриваемой цепочки испытывают первый из 3-х указанных видов – т.н.  ^- - распад. В его основе - распад одного нейтрона: , где означает электронное антинейтрино. Бета - распад происходит за счёт т.н. слабого взаимодействия, которое вместе с электромагнитным взаимодействием описывается одной из наиболее последовательных и полных современных теорий - теорией электрослабого взаимодействия. В этом смысле -распад не является «истинно» ядерным процессом, описываемым сильным взаимодействием. Ядро участвует в нём в той мере, в какой отличаются состояния свободного и внутриядерного нуклона.

В частности, энергетическое условие возможности  ^- - распада определяется разностью масс родительского и дочернего ядер (зависящей в т.ч. от энергии связи нуклона в ядре): E₀ = M(A,Z) - M(A,Z+1) > m_e + m_  m_e ( считаем массу (анти)нейтрино m_ 0 ). Поскольку, в отличие от двух-частичного -распада, часть энергии-импульса уносится нейтрино, электроны не будут обладать строго определённой энергией. Получим в упрощённой квантово-механической (не полевой) модели форму их энергетического спектра.

Вероятность перехода за единицу времени системы с гамильтонианом H (слабого) взаимодействия нуклонов с электронно-нейтринным полем из начального состояния с волновой функцией _i в конечное состояние _f

,

Функции _i = _Ni , _f = _Nf  _e  _{ ,} где в свою очередь _Ni и _Nf означают волновые функции нуклона соответственно в родительском и дочернем ядрах, а _e и _ - функции электрона и нейтрино. Волновые функции нейтрино и электрона (в пренебрежении кулоновским взаимодействием последнего, тем более допустимым, чем выше его кинетическая энергия T_e >200 кэВ) представим плоской волной, нормированной на единичный объём: ., где - импульс лептона (l = e, ) , а