Катречко С. Л. О (концепте) числе(А): его онтологии и генезисеa в начале было Ничто. Ничто устало быть Ничем и решило стать Нечто. Нечто захотело познать Всё, поэтому Нечто разделилось на Части и Части, опасаясь забыть то, как они превратились в



бет1/3
Дата12.07.2016
өлшемі246 Kb.
  1   2   3
Катречко С.Л.

О (КОНЦЕПТЕ) ЧИСЛЕ(А): ЕГО ОНТОЛОГИИ И ГЕНЕЗИСЕa
В начале было Ничто.

Ничто устало быть Ничем

И решило стать Нечто.

Нечто захотело познать Всё,

поэтому Нечто разделилось на Части

и Части, опасаясь забыть то, как они

превратились в Нечто, разыскали Порядок.

Порядок дал Частям Числа, которые собрали


Части друг с другом в прекрасные Пропорции.

Далее, из Ниоткуда, тесно связанного с


Ничем, пришла Иррациональность.

Иррациональность прямо заявила о том,

что Части на самом деле были Ничто.

Просветившись, Части тихо вернулись обратно в Нечто,

которое, как теперь они узнали,

в действительности есть Ничто,

и предоставили поиск Всего Числам.

Сара Восс Миф о Числе
Философия как концептуальный анализ

В своей «Критике чистого разума» И. Кант определяет философию как «(дискурсивное) познание посредством понятий», а математику как «(интуитивное) познание посредством конструирования понятий». Подчеркивая принципиальное различие этих познавательных практик (как различие в методеb), Кант подчеркивает недопустимость взаимного перенесения их методов, говоря о том, что «геометр, пользуясь своим методом, может строить в философии лишь карточные домики, а философ со своим методом может породить в математике только болтовню». Определяя наше исследование как «трансцендентальную философию математики», мы должны учесть это предостережение Канта.

Что составляет предмет (трансцендентальной) философии математики? Согласно известному положению Аристотеля, никакая наука не исследует свои собственные основания (resp. «никакая наука не доказывает существование своего предмета»), а «первая философия» как раз и выступает как деятельность, направленная на выявление и исследование «первоначал», т.е. концептуальных оснований той или иной науки. Если же снова перейти на кантовский язык, то можно сказать, что предметом философии математики должно быть выявление трансцендентальных условий математической деятельности, т.е. тех предельных оснований, которые делают математику возможной. При этом мы как бы снижаем «масштаб» кантовского рассмотрения, подвергая философскому исследованию не математику в целом, а основные разделы математического знания. Другими словами, предметом философии выступает концептуальный анализ, или анализ концептовc. Соответственно, философия математики должна заняться в первую очередь анализом категориального базиса математики, в основании которого лежит концепт числа.

Один из центральных постулатов концептуального анализа состоит в том, что любой концепт имеет сложный смысловой характер и, поэтому, задача анализа заключается в том, чтобы выявить смысловые составляющие концепта и взаимосвязи между ними, т.е. эксплицировать его смысловую структуру. Как говорили в свое время схоласты: «Хорошо учит тот, кто хорошо различает». Соответственно, наша задача в данном исследовании заключается в том, чтобы проанализировать (сложную) структуру концепта числа.

Что собой представляет концептуальный анализ? Поясним это на примере рассуждения Кузанского о совпадении абсолютного максимума и минимума:

«Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше, он не может быть и меньше: ведь он есть все то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего, есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом

Уже из этого фрагмента следует тезис о тождестве максимума и минимума, т.к. максимум как абсолют не может быть не только увеличен (по определению), но и уменьшен: при его уменьшении он просто перестанет быть абсолютным максимумом. Но ниже Кузанец дает более развернутый вариант аргументации путем проведения концептуального анализа. При этом он выделяет в составе абсолютов две взаимосвязанные, но различные идеи: максимальность и количественность, — и показывает, что при исключении нерелевантной в общем случае для абсолюта идеи количественности, абсолютный максимум и минимум в смысловом отношении, по идее максимальности, совпадают:

Все это для тебя прояснится, если представишь максимум и минимум в количественном определении. Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум и минимум от количества, вынеся мысленно за скобки «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума: максимум превосходит все и минимум тоже превосходит все; абсолютное количество не более максимально, чем минимально, потому что максимум его есть через совпадение вместе и минимум» [2, 54].

Несмотря на кажущуюся парадоксальность, рассуждение Кузанского является не только логически (философски) строгим, но и имеет наглядную математическую модель: например, максимум совпадает с минимумом при замыкании бесконечной прямой (где максимум соответствует максимально правой, а минимум — максимально левой точке) в окружность. Теперь перейдем к основной теме нашего исследования, к теме числа.


В качестве более содержательного примера обратимся к концептуальному анализу основополагающего для современной математики понятия «множества». Начнем с того, что выявим смысловые составляющие этого концепта. Формульно множество задается как «х Х», что означает, что концепт «множество» зависит от понимания «элемента множества» (х–малое) и «отношения принадлежности» (). Согласно Кантору, который, как он сам пишет, опирается на понимание целого у Платона, множество — это «многое, мыслимое как целое». Здесь множество мыслится не как простой набор или совокупность (объединение) предметов, а как некоторое целое, состоящее из частей. То есть теоретико-множественный подход Кантора — это экспликация одного из возможных пониманий отношения «часть — целое». Какие еще варианты осмысления отношения «часть – целое» были предложены в истории человеческой мысли? Во-первых, это номиналистическая трактовка целого, восходящая к построениям Ст. Лесьневского. В своем понятии «класса» как целого Ст. Лесьневский (см. его мереологию) концептуально отождествляет множество с «кучей», где (1) предметы сохраняют свою самостоятельность, (2) выполняется условие, что целое равно (любой) сумме своих частей (например, шар равен и сумме своих половинок, и сумме своих четвертей… причем все эти «суммы» равны друг другу)), а все части — однотипны (в канторовской теории множеств части могут быть разнотипны); (3) части и целое имеют один и тот же онтологический статус: целое существует в том же смысле (на том же онтологическом уровне иерархии), что и части. Вторая известная экспликация отношения «часть – целое», которая была реализована исторически первой (в аристотелевской силлогистике) — родо-видовые отношения. Здесь явно целое больше своих частей и имеет другой онтологический статус: целое — это род, состоящий из своих (логических) частей — видов. Третий возможный аналог — системный подход, где целое мыслится как система частей («целое, мыслимое как многое»), т.е. учитывается не только «материальный состав» целого, но и взаимосвязи между ними. Хотя для системного подхода более важным является скорее «обратное направление взгляда»: не от частей к целому, а от целого к частям, т.е. не синтез (нового) целого, а анализ (уже существующего, увиденного) целого (подробнее об этом см. статью Ю.А. Шрейдера ??). Теоретико-множественный же подход Кантора — это четвертая возможность реализации отношения «часть — целое». Множество мыслится здесь как «синтез» нового целого из частей, и поэтому онтологических статус множества отличается от онтологического статуса элемента (если даже «материальный состав» тождественен: х (например, 1)  {х} ({1})). Тем самым, множество, в отличие от «кучи» Лесневского, — это метауровневая сущность, которая что-то делает со своими элементами, а не оставляет их неизменными и «равнодушными» друг к другу. В рамках такого концептуального понимания множества большинство теоретико–множественных парадоксов (в частности, парадокс Рассела и парадокс Бурали–Форти) к канторовскому «множеству» неприменимы. Дело заключается в том, что в начале XX в. произошло существенное переосмысление канторовской — платоновской — исходной интуиции концепта множества в номиналистическом ключе, осуществленное, прежде всего, Расселом, на что не обращается должного внимания (несколько подробнее об этом см. в мою лекцию «Теоретико-множественная парадигма математики и ее возможные альтернативы»: http://www.philosophy.ru/library/ksl/mathlek1.html). Если говорить несколько огрубленно, то вместо канторовского понятия множества (или ряда понятий «множества», с учетом неоднозначности и флуктуации данного понятия у самого Кантора о чем свидетельствуют его работы) в современных формализмах математики используется именно расселовское понятие класса (хотя реальная ситуация выглядит не так однозначно с учетом различных аксиоматизаций теорий множеств, среди которых аксиоматика Цермело-Френкеля, видимо, максимально близко в концептуальном плане соответствует канторовской интуиции множества).

Остановимся на различении «множество vs. класс» подробнее. Развитая математическая практика должна уметь работать с разными — по степени общности-абстрактности — типами объектов. В традиционной логике эту функцию осуществляла идущая от Платона и Аристотеля родо-видовая иерархия [см. упомянутую выше работу В. Бочарова о силлогистике ??]. Современная математика, начиная с Г. Кантора, отказавшись от традиционной концептуальной схемы «вид — род», предложила альтернативный подход экспликации отношения «часть – целое». Прежде всего, на роль такого альтернативного аналога предлагается отношение «элемент – множество», отношение принадлежности (), однако, как показал Г. Фреге [см., например, его статью «Логика в математике»], вместе с этим в теории множеств с необходимостью вводится и другой — более прямой «наследник» отношения «вид—род» — аналог отношения «часть—целое», а именно отношение включения (), причем эти два, в общем-то разных, отношения, не различаются и трактуются как единое — в концептуальном плане — отношение (например, предложения «Сократ есть человек» (отношение принадлежности) и «Человек есть животное» (отношение включения) могут анализироваться сходным образом). Анализ Фреге (на примере работ Шредера, где Фреге обнаружил аналог парадокса Рассела) показал, что именно это неразличение и является одним из источников парадоксальности теоретико-множественной концепцииd. Дальнейшее осмысление этой «несогласованности» канторовской интуиции породило ряд альтернативных линий развития теоретико-множественной установки. Во-первых, это по своему последовательное решение Цермело—Френкеля, которые в рамках своей аксиоматики теории множеств, фактически, отказались от оперирования понятием «элемент», заменив его на понятие «подмножество» (заметим, что это установка концептуально (само)противоречит аксиоме выбора, которая задает процедуру «выбора» элемента). Во-вторых, это являющийся развитием различения Фреге подход Ст. Лесьневского, который четко различил выделенные Фреге отношения и развел их по разным структурным уровням математической теории: отношение принадлежности фигурирует у него в онтологии (первый уровень теории), а отношение включения — в его мереологии (второй уровень теории, где собственно и формализуется отношение «часть – целое»). Своеобразное — третье — решение указанной проблемы было предложено Расселом, которое, как я уже говорил выше, является неявным базисом современной математики. В концептуальном отношении оно заключалось в замене канторовского понятия «множества» на расселовское понятие «класса». Вот как Рассел вводит понятие «класса»: «В настоящей главе [гл. «Классы»] мы будем обсуждать слово the во множественном числе: обитатели Лондона, сыновья богатых людей и т.п. Другими словами мы будем иметь дело с классами [выделено мной. — К.С.]» (Рассел «Введение в математическую философию», с. 165). Заметим, что это принципиально отличается от канторовской интуиции «множество», которое (при всех флуктуациях его позиции) мыслится как нечто «целое» (ср. с платоновским «эйдосом»), т.е. как самостоятельная сущность следующего онтологического уровня, в то время как расселовский класс мыслится как «множественное the». Согласно терминологии Лесьневского, расселовский класс является распределенной множественностью, в которой каждый из исходных элементов не теряют своей индивидуальности. Т.е. это не новое онтологическое образование, не новое целое, а как бы временное (гносеологическое) объединение определенных — «хорошо различимых» (Кантор) — индивидуумов (в английском языке этому соответствует грамматические конструкции с определенным артиклем the), с каждым из которых как таковым мы можем работать и дальше. Понятно, что таким образом Рассел достигает определенной «гомогенности» математического универсума и введение онтологической родо-видовой «неоднородности» излишне. Правда здесь остается одна (методологическая) «опасность», а именно возможное неразличение собирательного (класс как целое) и распределенного (класс как множественность) толкования классов, что и приводит (по мнению Лесьневского к появлению парадоксов расселовского типа).

Оригинальное канторовское понимание «множества» (если мы правильно проинтерпретировали его взгляды) задает принципиально другое — «слоистое» — строение математического универсума, что является альтернативой традиционной родо-видовой иерархии, т.к. «множества» выступают как сущности следующего (мета)уровня, причем они являются полноценными (цельными) «объектами», с которыми можно работать (хотя и по особым правилам) наравне с индивидуальными объектами. Анализ работ Кантора показывает (см. работы С.Н. Бычкова), что его мысль бьется над экспликацией введенной им исходной интуиции: в частности, позже он выделяет «неконсистентные множественности», которые собственно множествами, т.е. чем-то «целым», из-за своей неконсистентности не являются (в этой связи заметим, что понятие расселовского класса — в отличие от канторовского «множества» — является «всеядным»: в расселовские классы мы можем объединять все, что угодно, сущности любого рода).



Судя по всему, полноценная экспликация канторовской интуиции множества, определенный шаг в направлении к которой мы здесь делаем, — дело будущего. Здесь же рискну предложить одну метафору, проясняющую исходную канторовскую интуицию. На мой взгляд, канторовское множество можно рассматривать как «слиток» (например, как слиток золота), составленный из элементов (золотых монет; замечу, что не обязательно из однородных элементов — например, из золотых и фальшивых (серебряных) монет). При этом исходные составляющие элементы, из которых образован этот слиток, «исчезли» (например, из ста золотых монет сплавили 100 гр. золота, исходные монеты исчезли и превратились в «цельный» золотой слиток). В этом смысле образование множеств — необратимая операция, т.к. исходные элементы исчезли, «растворились», в составе образованной целостности. Тем самым множество — это и есть «слитое» единое целое многое. Конечно, мы можем снова получить из слитка какое-то количество («вторичных») частей-элементов, но это не будет тождественно исходным — «первичным» — элементам. И единственно возможная операция с этим слитком — «работа» с подмножествами, т.е. новыми частями целого. Причем, в общем случае они не совпадают с исходными частями и/или с другим разбиением целого на части. В момент слияния (в слиток) все исходные элементы исчезли, а последующие разбиения на подмножества — это создание новых частей. Исходные элементы множества (золотые монеты) можно пересчитать. Но когда образуется слиток, то прежние числа (пересчет) к нему не применимe. Соответственно, канторовская «мощность» множества может быть соотнесена с «объемом» полученного слитка, а операция взятия подмножества — с последующим разделением слитка на «вторичные» элементы — подмножества. Т.е. мощность — это возможность сохранения объема: например, мы можем уполовинить количество исходных элементов (золотых монет), но если у нас остается возможность создать такой же по объему слиток, то «объемные» характеристики строительных элементов равны. Я думаю, что другие «разрежения» исходных элементов будут равнообъемны (точнее, все функциональные разрежения! — ведь (обычные типа сложения умножения, степени) функции — это способы разрежения или уплотнения объема, но не его увеличения. Увеличить объем можно, видимо, лишь одним способом: взять исходный «слиток» (resp. исходное целое), разбить его на (новые) элементы (подмножества) и уже из них!! образовать новое целое – слиток: например, из слитка создать ажурную конструкцию большего объема. В этой аналогии становится также понятна не-счетность множества, т.к. слиток, в отличие от дискретных элементов — нечто цельное, или континуальное, что означает возможность его разбиения бесконечным числом способов (в то время как образован он одним — счетным — из способов). Вводимая же Кантором знаменитая диагональная процедура — попытка демонстрации того, что из слитка можно получить гораздо большее количество «вторичных» элементов (например, 101-ый «элемент»; закавыченность здесь указывает на «вторичный» характер этого элемента).
Часть 1. Онтология числа

1. Отвечая на вопрос: «что такое математика?», в первом приближении скажем, что математика есть наука о числе. Но этот тезис требует некоторого уточнения.

Во-первых, в более точном смысле наукой о числе как таковом (в узком значении) занимается не вся математика, а ее часть — арифметика, или алгебра; другая же ее часть — геометрия занимается не числовыми, а пространственными объектамиf. Т.е. математика занимается и числом, и точкой, а приведенный тезис несколько суживает предмет математики. Однако концептуальная и «генетическая» близость числа и точки (как это будет показано ниже), а также выработанные в самой математике процедуры редукции геометрических объектов к числовым: аналитическая геометрия Декарта, гильбертовская формализация геометрии, теоретико-множественная семантика — выступают достаточным аргументом в пользу числовой природы математического знания. Для предотвращения нежелательной ассоциации числа с узким классом арифметических чисел можно заменить в формулировке тезиса термин «число» на «числоподобный объект»g: математика изучает системы числоподобных объектов (далее, учитывая это замечание, мы вместо термина числоподобный объект будем употреблять термин число).

Во-вторых, тесная увязка математики с числом может существенно ограничить сферу математики, т.к. число в концептуальном плане является разновидностью более широкой категории количества. Это указывает на необходимость прояснения соотношения концептов числа, количества, величиныh. Родовым же по отношению к понятию числа выступает концепт математической (количественной) формыi. С учетом этого, математика является не содержательной, а формальной наукой о математических формах (структурах по Бурбаки, [4]), а ее разные разделы связаны с изучением различных математических форм, как-то геометрическая форма, арифметическая форма etc.

Данная нами характеристика математики указывает на существенную специфику ее предмета: математика изучает числовые, или количественные, формы. Использование при этом категории количества подчеркивает специфику математического знания: математика работает не с качественными абстракциями, составляющими предмет большинства других (содержательных) наук, а с количественными абстракциями второго порядка. Эта специфика математики на грамматическом уровне выражается в отличении прилагательных как качественных предикатов и числительных как количественных форм (метапредикатов). Фреге подчеркивает, что числовые предикаты сходны с предикатом бытия, который также имеет не-содержательный (формальный) характер [6, 80].

Указание на формальный характер математики сближает ее с логикой, которую, в свою очередь, можно определить как науку о логических формах (в силу этой близости дальнейшие рассуждения вплоть до п. 6 применимы и к логике)j. С другой стороны, ранее мы противопоставили математику другим — содержательным — наукам. Поясним это чуть подробнее. Рассмотрим следующий ряд: история — психология (социология) — биология — химия — физика — математика — логика (грамматика), в котором науки расположены в соответствии с «силой» запретов, накладываемых ими на универсум. Первая из перечисленных наук, история изучает уникальные (исторически неповторимые) события, поэтому она накладывает максимальное число запретов на универсум, что исключает какую-либо вариабельность исторических событий, т.е. приводит к максимальному сужению изучаемого исторического универсума до одной-единственной — фактической — исторической линии. Последующие науки ряда накладывают меньшее число ограничений и, вследствие этого, 1. изучают более широкие фрагменты универсума и 2. допускают большую вариабельность. Биологическая теория, например, в числе своих законов не учитывает запретов, связанных с социальной организацией человека. Зато и веер возможных сценариев биологического развития (например, жизни на Земле) по сравнению с историей намного богаче, а сфера применимости биологии гораздо шире, поскольку ее законы справедливы не только для Земли последних нескольких тысяч лет. Сфера применимости химических законов еще шире, а законы физики применимы ко всей Вселенной. Принципиальная граница проходит между последней содержательной наукой физикой и математикой (логикой). Если все остальные науки, несмотря на их различие по степени общности (сфере применимости), занимаются изучением только одного — нашего действительного — мира, то математика и логика изучают закономерности, присущие (под)множеству возможных миров (в идеале — любому возможному миру). И хотя число запретов этих наук минимально (например, логика, по сути, запрещает только противоречивость универсума рассуждений), однако «сила» законов (запретов) этих наук имеет уже абсолютный и всеобщий характерk. Именно это и придает математическому знанию аподиктический характер: истины математики являются истинами разума Лейбница, справедливыми для любого возможного мира, в том числе и для нашего мира.

2. Что означает формальный характер числовых предикатов? Если прилагательные служат для выражения качественно-содержательных свойств самой вещи, то формальные количественно-числовые предикаты выражают признаки не вещи, а «объемные» — экстенсиональные — признаки некоторого общего понятия, под которое подводится эта вещь (resp. интенсиональные свойства понятий изучает логика понятий). Здесь мы солидарны с концепцией числа Фреге, суть которой он выражает с помощью пассажа Спинозы: «…ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род (выделено нами. — К.С.). Так, например, человек, держащий в руке сестерцию и империал, не подумает о числе «два», если он не имеет возможности назвать их одним и тем же именем, а именно: «монетами», или «деньгами», ибо в этом случае он может утверждать, что имеет две монеты, так как этим именем он обозначает как сестерцию, так и империал» [6, 77]l.

Указание на экстенсиональный характер числовых предикатов позволяет привлечь к нашему анализу числа кантовское различение интенсивных и экстенсивных величин [10, 136 – 141] и определить математику как преимущественное исследование экстенсивных величин. «Экстенсивной я называю всякую величину, в которой представление о целом делается возможным благодаря представлению о частях (которое поэтому необходимо предшествует представлению о целом). Я могу представить линию, как бы мала она не была, только проводя ее мысленно, т.е. производя последовательно все [ее] части, начиная с определенной точки…» [10, 137]. Специфика математического определяется Кантом как синтез однородного [10, 136; гл. «Аксиомы созерцания»]m. Т.е. математика исследует не вещь саму по себе, а ее пространственно-временное представление. Это как бы внешний взгляд на вещь и фиксация не ее собственных свойств, а занимаемого ею пространственно-временного места (набора мест): например, вместо анализа реального движения, математика исследует характеристики числового аналога движения — неподвижной траектории. Т.е. математика не должна претендовать на познание внутренней самости вещи (например, сути движения), зато схваченное с этой внешней точки зрения место вещи предстает как экстенсивная величина и поддается измерению.

Выше мы определили числовые предикаты как абстракции второго уровня, подчеркивая их формальный (не-содержательный) характер. Это не совсем точно, т.к. сфера математического содержит количественные абстракции и более высоких типов. Конечно, все они являются формальными по отношению к качественно-содержательным предикатам, но внутри себя образуют своеобразную гилеоморфную иерархию. Подробнее мы будем говорить об этом ниже, при обсуждении вопроса о слоистом строении числовой сферы.

3. Формальный характер математического знания указывает на то, что любое ЧИСЛО — идеально. Этим мы отнюдь не приписываем математическим объектам реального существования в каком-нибудь платоновском мире идей или в третьем мире Поппера. Наша трактовка идеального связана с концепцией возможных миров, а под идеальным мы понимаем любое превосхождение реального. В частности, идеальным является, отличный от действительного возможный мир и тем более множество всех возможных миров. Математическое представляет собой количественный срез ядра этого множества, общего для всех возможных миров. Такое расширение сферы идеального (по сравнению с реальным) ведет к снижению его онтологического статуса: идеальное имеет не действительный, а возможный характер своего существования, идеальный мир является всего лишь возможным миром. Тем самым числа как таковые ненаходимы в реальном мире (ср. с известным выражением «ЧИСЛА на дороге не валяются»), что не исключает их проявленности в нашем мире, т.е. нахождения в нем символьных аналогов чисел, и «непостижимую эффективность» математического в мире (парафраз Ю. Вигнера).

Соотнесение числа с идеальным, делает необходимым задачу прояснения концепта идеального. Поскольку здесь эта задача имеет вспомогательный характер, то ограничимся указанием на два главных смысловых момента этого концепта.

Во-первых, первоначальный смысл идеального задается платоно-аристотелевским различением двух «миров»: «мир вещей vs. мир идей» (Платон), или «материя vs. форма» (Аристотель). Т.е. идеальное может быть отождествлено с формальным и поэтому математика является анализом формально-количественных аспектов существующего.

Во-вторых, число есть не столько результат абстрагирования от материального (что постулируется натуралистической трактовкой числа), сколько идеализированная сущность. Т.е. число есть результат идеализации, или гуссерлевской идеации (второй смысловой момент концепта идеальное). Для прояснения различения абстрагирования от идеализации обратимся в кантовскому различения аналитического и синтетического, которое вместе с тем является и ключом к решению проблемы «эффективности» математики в мире физических объектов. Абстрактное всегда вторично, или аналитично: оно выводимо из конкретно-первичного основания абстрагирования. Поэтому, если математические сущности абстрактны, то неясно как они могут быть эвристичны. Идеальное же — синтетично, содержит новые смыслы, которые при переносе на действительный мир дают нечто новое. Поэтому математика и открывает новое в мире вещей, является «непостижимо эффективным» инструментом выявления новых аспектов, связей и соотношений. Может быть, одним из самых впечатляющих примеров привнесения нового может служить идея симметрии (ср. с кантовской рефлективной способностью суждения, которая привносит эстетические идеи (красоты) в физический мир).

4. Идеальность математического ставит барьер на пути приписывания генезису числа эмпирический характер: сначала, мол, люди работали с телесными получислами типа пифагорейских камешков, а потом, в результате абстрагирования, возникли абстрактные числа, т.е. числа как таковые (см. [12]). Во-первых, любая натурализация чисел не может объяснить их аподиктически-синтетический характер, т.е. почему математическое знание имеет значимость для всех возможных миров. Во-вторых, эмпиризм является методологически несостоятельным, поскольку неявно предполагает, для перехода к абстрактным числам, изначальную данность идеи числа, т.е. содержит логический круг.

Одним из принципиальных вопросов, на который должна ответить концепция (генезиса) числа, является вопрос о генезисе идеи числа: почему пифагорейцы опознали в своих камешках именно числа, а не что-то еще (например, строительный материал)? Другим — является вопрос о генезисе не только первых (натуральных) чисел, но и других, более сложных, числоподобных объектов. Отвечают ли на эти вопросы натуралистические концепции числа? На первый — вовсе нет, на второй — лишь отчастиn.

5. Основной проблемой философии математики является проблема соотношения возможных формально-идеальных чисел и реально существующих содержательно-материальных вещей, или проблема эффективности математики. Наш подход к решению этой проблемы таков. С учетом аподиктичности и идеального характера математического знания статус числа можно определить как возможностно-необходимый. Его возможностный характер связан с тем, что в нашем мире числовые закономерности имеют необходимый, но недостаточный характер. Числовые закономерности универсальны и предопределяют общую формальную структуру существующего, но не определяют всех его материально-содержательных моментов. А это значит, что реализация частных идеально-числовых закономерностей в нашем мире связана с выполнением тех или иных (ограничивающих) условий. Главное из них заключается в том, что математика не учитывает качественной специфики предметов своей работы, а работает с их гомогенными аналогами. Поскольку же реальный физический мир не однороден, то (частные) математические законы выполняются в нем с той или иной степенью точности, т.е. имеют вероятностный характер. В предельных случаях, т.е. когда качественные различия между сущностями слишком велики, то математическое знание оказывается заведомо ложным (ср. с принципом фальсификации К. Поппера): например, равенство «2 + 2 = 4», справедливое для целого класса возможных миров неприменимо к совокупности («сумме») двух кошек и двух мышей, посаженных в одну клетку.



6. Уточняя принципиальный для нас тезис п. 3, сформулируем центральный тезис этой части нашего исследования: ЧИСЛО имеет символически-идеальный характер бытийствования (термин существования мы резервируем для реального — «физического» — существования). В чем заключается символический способ бытийствования чисел? Для прояснения этого воспользуемся концепцией третьих вещейo, зачатки которой можно найти уже в аристотелевском различении фюзиса (φύσις) и технэ (τεχνη)p. Суть концепции в том, что помимо обычных — физических, природных — вещей и феноменов сознания есть еще и третьи вещи, имеющие сверхприродный, т.е. смешанный природно-культурный (физически-сознательный) статус. Третьей вещью является любой артефакт и, даже, любая природная вещь, функционирующая в культуре, поскольку она в этом своем качестве имеет еще и особое культурное — символическоеq — значение, которое как бы просвечивает сквозь природный материал. Понятно, что культурная составляющая является вторичной надстройкой над первичной — природной — составляющей; а для понимания этого символического значения требуются должный уровень развития сознания человека и причастность человека к соответствующему коду дешифровки символов [17]. В качестве примера третьих вещей рассмотрим деньги. Если мы будем трактовать деньги натуралистически, т.е. трактовать их как физические (металлические) предметы, остается непонятным, что делает их собственно деньгами. А суть здесь состоит в том, что через физическую — материальную составляющую — в деньгах символически просвечивает их не-материальная — формально-идеальная — сущность, о которой мы, современные люди, уже знаем, а, например, туземец — нет. Дополнительной сложностью здесь выступает то, что денежная составляющая является уже скорее третичной культурной надстройкой, поскольку надстраивается не только над их природной основой, но и над их первичным культурным значением, каковым является, например, использование металлических кругляков в качестве украшения. Аналогичным образом обстоит дело и с пифагорейскими камешками — числами: существенным является не их телесность, а то, что они функционируют в своем символическом качестве числа. И решающий шаг был сделан именно пифагорейцами, а последующий генезис числа не привнес сюда ничего нового, кроме укрепления понимания того, что сущность чисел заключена в просвечиваемой сквозь материальный носитель их идеально–символической природе. Поэтому в дальнейшем камешки могли и превратились в современные цифры, где материальная составляющая чисел сокращена до минимума. При этом возможно, что сами пифагорейцы еще не вполне ясно понимали всю глубину своего открытия и первоначально числа фигурировали в виде превращенной формы, когда на первый план выходит менее существенный для их функционирования материальный фактор; и/или что так, посредством акцентирования внимания на материальном носителе, первоначально непонятную идею числа можно было сделать доступной для остальных современников.

Приведенная аналогия проясняет суть символической природы числа, но не совсем точна. Числовой символизм имеет более фундаментальный характер, чем культурный символизм технэ. Вернемся к нашему примеру с монетой. Допустим, что мы не опознаем ее как денежный знак и даже не опознаем ее в качестве некоего культурного феномена, т.е. считаем ее чем-то природным. Но и тогда мы можем сказать, что она одна (+ зафиксировать при этом другие ее количественные характеристики: вес, размер…), т.е. выявить ее числовую форму. Соответственно, при опознании в монете вторичных культурных составляющий числовые формыr начинают очисливать каждую из них, расширяя набор количественных характеристик: теперь, например, исчисляется не только (природный) вес и размеры вещи, но и величина ее денежной составляющей — номинал. Тем самым число является универсальным символом, просвечивающим сквозь любой — природный и культурный — материал вещи. Здесь мы солидарны с тезисом Хайдеггера о непосредственно-априорном характере математического: «”τά μαθήματα” означает… то, что при рассмотрении сущего и обращении с вещами человек знает заранее (подчеркнуто мной. — К.С.): в телах — их телесность, в растениях — растительность... К этому уже известному, т.е. математическому, относятся, наряду с вышеназванным, и числа. Обнаружив на столе три яблока, мы [непосредственно] узнаем, что их там три» [18, 43].

Универсальность числового символизма указывает на его взаимосвязь не столько со спецификой какой-либо (например, греческой) культуры, а с глубинными механизмами человеческого сознания. Тем самым мы предполагаем трактовку человека как символического животного (Э. Кассирер), ибо в противном случае непонятно, как происходит восприятие числовых форм-символов. Базисом же этой концепции служит аристотелевское учение о душе как форме форм, т.е. как таком органе познания, который способен к восприятию форм (символов) вообще и числовых форм в частности.

Превращенный характер пифагорейских чисел предопределяет развитие математического от абстрактного к конкретному. В ходе продумывания первоначального концепта числа последующая мысль развивалась двояко. С одной стороны, происходило углубление в осознании идеальной природы числа и очищение области числового от материально-содержательных моментов; с другой стороны, сфера числового расширялась за счет открытия новых типов числоподобных объектов (ср. с развитием математики от простейших натуральных к комплексным числам). Основными этапами конкретизации первоначального концепта числа можно считать выделенные Бурбаки математические структуры: алгебраические, порядковые и топологические. В топологических структурах элементы максимально безличны (точки неотличимы одна от другой); в структурах порядка элементы уже упорядочены с помощью отношения «больше-меньше»; в алгебраических структурах каждый элемент имеет свое уникальное (порядковое) имя — число, т.е. здесь числовое получает свое максимально конкретное выражение.

Промежуточный итог (пп. 1 — 6): математика как наука о мыслимом работает с символически-идеальной количественной формой — ЧИСЛОМ.

Далее наш анализ разделяется на две относительно независимые (параллельные) части, порядок следования которых не столь существенен. Первая — связана с развитием тезиса о слоистом характере области числового (пп. 2 и 6). Вторая — посвящена выявлению механизмов сознания, лежащих в основании генезиса числовых форм.






Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3




©dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет