Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Теорема Виета»

« Теорема Виета»

           Все этапы урока соответствуют структуре продуктивного мыслительного акта: постановка проблемы – поиск путей ее решения – формулировка вывода – проверка вывода.

           На этапе мотивации использован прием “погружение в проблему”, основанный на личностной реакции ребенка. 

Составил учитель математики

Елкина Елена Владимировна.

Тема: Теорема Виета

Цели урока:

• 
  обучающая: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.
  
• 
  развивающая: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;
  
• 
  воспитывающая: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.
  

Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме «Квадратные уравнения». Вы уже умеете решать квадратные уравнения различными способами. Почему тогда автор учебника предлагает изучить еще одну тему, связанную с решением квадратных уравнений?

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…

О квадратных уравнениях
№ п/п	Что я знаю	Что не знаю
1. 2. 3.	Решать по формуле полные квадратные уравнения Решать неполные квадратные уравнения Решать задачи с помощью квадратных уравнений	Новый способ решения квадратных уравнений

Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

II. Объяснение.
1 этап. Обзор. Мотивация.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое - что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a, b, c)

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

Дома вы решали квадратные уравнения и я надеюсь, что все вы правильно решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

(Или учитель предлагает учащимся решить уравнение х²–2087х+2086=0. Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу)

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

Задания для исследования каждой группе:

1 группа

1. 
   х² + 7х + 12 = 0
   
2. 
   х² - 10х + 21 = 0
   
3. 
   х² – 3х – 10 = 0
   
4. 
   х² +3х – 10 = 0
   
5. 
   х² + 2х – 35 = 0
   

1. 
   х² + 5х + 6 = 0
   
2. 
   х² - 9х + 20 = 0
   
3. 
   х² – 2х – 15 = 0
   
4. 
   х² + 2х – 15 = 0
   
5. 
   х² + х – 42= 0
   

1. 
   х² + 7х + 10 = 0
   
2. 
   х² - 8х + 15 = 0
   
3. 
   х² – х – 6 = 0
   
4. 
   х² + х – 6 = 0
   
5. 
   х² + 12х + 20 = 0
   

1. 
   х² + 8х + 15 = 0
   
2. 
   х² - 7х + 10 = 0
   
3. 
   х² – х – 12 = 0
   
4. 
   х² + х – 12 = 0
   
5. 
   х² + 7х – 18= 0
   

1. 
   х² + 10х + 21 = 0
   
2. 
   х² - 7х + 12 = 0
   
3. 
   х² – х – 30 = 0
   
4. 
   х² + х – 30 = 0
   
5. 
   х² + 13х + 30 = 0
   

1. 
   х² + 9х + 20 = 0
   
2. 
   х² - 11х + 30 = 0
   
3. 
   х² – 5х – 14 = 0
   
4. 
   х² + 5x – 14 = 0
   
5. 
   х² – 6х + 8 =0
   

1. 
   Заполните рабочий лист.
   
2. 
   Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
   
3. 
   Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
   
4. 
   Ответьте на вопрос урока.
   
5. 
   Подготовьте отчет.
   

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:

1	2	3	4	5	6
Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0	Второй коэффициент p	Свободный член q	Корни х1 и х2	Сумма корней х1 + х2	Произведение корней х1 · х2
х2 + 7х + 12 = 0	7	12	- 3 и - 4	- 7	12
х2 - 9х + 20 = 0	- 9	20	4 и 5	9	20
х2 – х - 6 = 0	- 1	- 6	- 2 и 3	1	- 6
х2 + х – 12 = 0	1	- 12	- 4 и 3	- 1	- 12
х2 +13х +30 = 0	13	30	-10 и -3	-13	30
х2 – 6х + 8 =0	-6	8	2 и 4	6	8

(проверяем заполнение учащимися таблицы)

квадратного уравнения и его коэффициентами?

(Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти равенства

справедливы.

Кста­ти, подобный случай описан в фантастическом рассказе А. Бестера "Пи-человек":

х² + х + 41 равно простому числу при х = 0, 1,2... Но уже при х = n получается составное

число. Рекомендую вам прочитать рассказ и узнать, чему равно n.

(Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.)

то x₁ + x₂ = -р, x₁· x₂ = q.

Для подтверждения данной гипотезы к отчету приглашается группа, получившая индивидуальное задание. Ребята на доске составляют схему данной теоремы и предлагают свое доказательство этой теоремы.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Один из возможных вариантов ответов:

“Условие”: х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ =q.

“Заключение”: х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

5 этап. Применение.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5 (х₁+ х₂=9=-р, р=9, х₁∙х₂=20=q, следовательно уравнение имеет вид х²+9х+20=0)

Задание №1 (работа в группах)

1. 
   Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.
   
2. 
   Обменяйтесь этими листами с соседними группами.
   
3. 
   По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.
   
4. 
   Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.
   

- Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют)?

- Верно, прямая теорема.

Задание №2 (работа в группах)

1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х² + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х² + 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х² – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х² – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х² + 45х – 364 = 0, х₁ = 7 – для пятой группы;

2) х² – 40х + 364 = 0, х₁ =14 – для шестой группы.

Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

- Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной).

Образец. Решить уравнение х² – х – 6 = 0.

Решение:

х₁ · х₂ = -6;

по теореме, обратной данной, х₁ = -2, х₂ = 3.

Ответ: -2; 3

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1. 
   х² + 7х + 10 = 0
   
2. 
   х² – х – 20 = 0
   
3. 
   х² + 6х – 7 = 0
   
4. 
   х² + 11х + 24 = 0
   
5. 
   х² + 17х + 70 = 0
   
6. 
   х² – 7х – 30 = 0
   
7. 
   х² + 10х – 11 = 0
   
8. 
   х² + х – 12 = 0
   
9. 
   х² + 11х + 28 = 0
   
10. 
    х² – 4х – 21 = 0
    
11. 
    х² + 4х + 3 = 0
    

12. 
    х² + 7х - 18 = 0
    
13. 
    х² + 6х + 5 = 0
    
14. 
    х² -9х +14 = 0
    
15. 
    х² + 13х + 42 = 0
    
16. 
    х² + 2х - 3 = 0
    
17. 
    х² – х – 12 = 0
    
18. 
    х² + 12х + 35 = 0
    
19. 
    х² -10х + 21 = 0
    
20. 
    х² -х - 30 = 0
    
21. 
    х² – 9х + 20 = 0
    
22. 
    х² -11х + 24 = 0
    

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).

1. 
   Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.
   
2. 
   Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 ( индивидуальное задание).
   
3. 
   Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание).
   

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

Приложения

Виет Франсуа
1540 год - 14 февраля 1603 год

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери. . Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Главный замысел ученого замечательно удался, началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...».

IV. Мог ли ученый оказаться вне событий, которыми жило общество того времени? Конечно, нет! Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. Будучи хорошим ученым, он давал уроки знатным вельможам, поэтому оказался приближенным к королевской власти. Его жизнь развивалась по двум направлениям. С одной стороны – он занимался научной деятельностью. Но занимался он не математикой, а астрономией. Зарождение научного мировоззрения, формирование нового взгляда на строение солнечной системы не могли не увлечь его как ученого. Для научного обоснования точки зрения ученых необходимо было сделать расчеты. Вот поэтому попутно с астрономией Виет углубился в математику. И достиг в этом больших успехов. Виет первым придумал буквенные обозначения для известных чисел, так называемых параметров. До него процесс решения квадратных уравнений излагался в словесной форме т. е. без записи формул. Правда, записи Виета были громоздкими, их позже облегчил также французский математик Рене Декарт. Но идея введения букв принадлежала Виету, именно поэтому его называют «отцом математики». Рассмотренная в начале урока теорема явно свидетельствует о преимуществе использования связи корней с их коэффициентами против решения уравнения по формулам. Это увидели для уравнений второй степени . Для приведенного уравнения третьей степени формулы еще более громоздкие (речь идет о так называемых формулах Кордано). Впоследствии мы познакомимся с этой теорией более подробно.

Это ли не честь ученому, что школьники всего мира знают его имя в связи с изучением данной теоремы. Лучшего памятника трудно придумать.

Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также участником исторических событий. Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они узнали о том, что их шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

Нам нужно еще понять, что двигало ученых в то непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти. Наверное, это, прежде всего пытливость человеческого ума. Знак «?», который является ключом к развитию науки, не давал покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Кто я? Человек. Разум …это мне надо. Понять себя, свою сущность. Свое место в мире, люди стремились во все времена.

Загляните в себя, может страдает ваша природная любознательность , потому что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Каков я для окружающих меня близких людей? Их мнение «конечно» не безразлично. Но самое главное «как я сам к себе отношусь? Достоин ли уважения?» подумайте об этом…

Стихотворение

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней минус р,

Произведение q.

Знакомство с приёмами устного решения квадратных уравнений.

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида ах² + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.  

Рассмотрим эти свойства:  

1)Если a + в +с = 0, то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Например: 5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/5.

 

2)Если а - в +с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = - с/а.

3)Если а _- в +с _{или а+в+с не равно} 0, то можно устно решить другое уравнение: х² + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Например:

а) 2х² – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х² – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10, и делим на 2. Тогда х₁ = 1/2 , х₂ = 5.

Ответ: 1/2 ; 5.

в) 6х² –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х² – 7х - 18 = 0. Его корни (-2) и 9, и делим на 6.

Тогда х₁ = -  , х₂ =  .

Ответ: -  ;  . 
Где использовать теорему Виета?

1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида :

2). Не решая уравнение , найти

Итак,

Покажем, что корни уравнения найдены правильно:

– 8 + 5 = – 3. – 8  5 = – 40.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения

б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):

Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе , в знаменателе

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе , в знаменателе

Итак,

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида и

Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.

Что вы заметили? (Один из корней равен 1).

Установите связь между и корнями. Если , тогда один из корней 1, а другой .

Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

Если в уравнении , то один из его корней

, а другой .

Если в уравнении , то один из его корней – 1, а другой

Теперь вернитесь к решению уравнений

Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.
Тест.

I вариант

1. Найдите сумму корней уравнения .
1) – 16; 2) 16; 3) 28; 4) 4.

2. Найдите произведение корней уравнения .

3. Найдите сумму корней уравнения .

3. Найдите произведение корней уравнения .

4. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .

5. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .

1. Найдите сумму корней уравнения .

2. Найдите произведение корней уравнения .

3. Найдите сумму корней уравнения .

3. Найдите произведение корней уравнения .

4. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .

5. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .

В. В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно".

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

• 
  найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его (устно № 451-1,2);
  
• 
  зная один из корней, найти другой (устно № 452);
  
• 
  определить знаки корней уравнения (устно № 454-1);
  
• 
  подобрать корни уравнения, не решая его (№ 456 -1,2).
  

и один из корней равен 1.