30. Метод максимального правдоподобия

В статистике применяются три основных метода оценивания: • Метод наименьших квадратов. • (Обобщенный) метод моментов. • Метод максимального правдоподобия. Интересно сравнить ММП с двумя другими методами. Условия, при которых можно использовать ММП более ограничительны. Метод требует явного задания вида распределения. С другой стороны, ММП более универсален. Его можно использовать для любых моделей, задающих вид распределения наблюдаемых переменных. Два другие метода можно использовать лишь тогда, когда распределение переменных можно представить в определенном виде. Если есть гипотеза о точном виде распределения, то всегда понятно, как получать оценки параметров, распределений параметров и различных статистик, как проверять гипотезы, хотя сами расчеты могут быть сложными. Еще одно свойство — инвариантность по отношению к переобозначению параметров. Пусть ϕ(.): ρk →ρk однозначная обратимая функция. Можно подставить в функцию правдоподобия вместо θвеличину ϕ(τ), где τ — новый вектор параметров, τ ∈ ϕ–1 (θ). При этом, если τ" — оценка МП в новой задаче, то θ" — оценка МП в старой задаче. Из инвариантности следует, что оценка МП как правило не может быть несмещенной. Пусть, например, E(θ")=θ0, где θ0 — истинное значение параметра. Тогда оценка τ", полученная нелинейным преобразованием θ = ϕ(τ) будет смещенной: E(τ") ≠ τ0, где τ0 = E(ϕ–1 (θ")). Если правильно выбрать параметризацию, то распределение оценок в малых выборках может быть близко к асимптотическому, если неправильно, то асимптотическое распределение будет очень плохой аппроксимацией. ММП получил широкое распространение благодаря своим хорошим асимптотическим свойствам: • состоятельность, • асимптотическая нормальность, • асимптотическая эффективность. С точки зрения эффективности сильные предположения о виде распределения, которые приходится делать, применяя ММП, окупаются (в большей или меньшей степени). Поскольку мы делаем очень ограничительные предположения, то можем доказать более сильные утверждения.

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом моментов используют метод максимального (наибольшего) правдоподобия.

Суть метода: составить по специальной формуле функцию правдоподобия LL, и найти оценку параметра θθ из условия максимизации функции правдоподобия (ФП) на определенной выборке {xi}{xi}. Иногда ФП заменяют на логарифмическую функцию правдоподобия l=lnLl=ln⁡L (ЛФП), что облегчает расчеты (вычисление производных).

Оценки, полученные данным методом, будут состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными. Несмещенность оценок надо проверять (это метод не гарантирует).

Методы линеаризации

1. 
   Метод логарифмирования — применяется к степенным функциям;
   
2. 
   Метод обратного преобразования — для дробных функций;
   
3. 
   Комплексный метод — для дробных и степенных функций.
   

Истинный коэффициент детерминации модели зависимости случайной величины y от факторов x определяется следующим образом:

Где   {\displaystyle V(y|x)=\sigma ^{2}} — условная (по факторам x) дисперсия зависимой переменной (дисперсия случайной ошибки модели).

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для выявления и оценки тесноты связи между двумя рядами сопоставляемых количественных показателей. В том случае, если ранги показателей, упорядоченных по степени возрастания или убывания, в большинстве случаев совпадают (большему значению одного показателя соответствует большее значение другого показателя - например, при сопоставлении роста пациента и его массы тела), делается вывод о наличии прямойкорреляционной связи. Если ранги показателей имеют противоположную направленность (большему значению одного показателя соответствует меньшее значение другого - например, при сопоставлении возраста и частоты сердечных сокращений), то говорят об обратной связи между показателями.

1. 
   Коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до единицы, причем при rs=1 имеет место строго прямая связь, а при rs= -1 – строго обратная связь.
   
2. 
   Если коэффициент корреляции отрицательный, то имеет место обратная связь, если положительный, то – прямая связь.
   
3. 
   Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь между величинами практически отсутствует.
   
4. 
   Чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем более сильной является связь между измеряемыми величинами.
   

В связи с тем, что коэффициент является методом непараметрического анализа, проверка на нормальность распределения не требуется.

Сопоставляемые показатели могут быть измерены как в непрерывной шкале (например, число эритроцитов в 1 мкл крови), так и в порядковой (например, баллы экспертной оценки от 1 до 5).

Эффективность и качество оценки методом Спирмена снижается, если разница между различными значениями какой-либо из измеряемых величин достаточно велика. Не рекомендуется использовать коэффициент Спирмена, если имеет место неравномерное распределение значений измеряемой величины.

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

1. 
   Сопоставить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию или убыванию.
   
2. 
   Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений (d).
   
3. 
   Возвести в квадрат каждую разность и суммировать полученные результаты.
   
4. 
   Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:
   

5. 
   Определить статистическую значимость коэффициента при помощи t-критерия, рассчитанного по следующей формуле:
   

Понятие эластичности

Соотношения спроса и предложения в экономической теории отражается посредством многих факторов. С этим же связано и понятие эластичности. Эластичность бывает двух видов:

• 
  Спроса,
  
• 
  Предложения.
  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Эластичность представляет собой процентное соотношение изменения цены продукции (дохода) в соответствии со спросом (предложением).

Формула коэффициента эластичности чаще всего используется для контроля реакции покупателей на изменения цен на продукцию (снижение или рост).

Формула коэффициента эластичности спроса по цене

Степень чувствительности потребителя к изменению в цене можно измерять с помощью показателя эластичности спро­са по цене.

Коэффициент эластичности спроса по цене вычисляется отношением количества запрашиваемой продукции к изменению цен, вызвавшего данное изменение спроса (определяется в процентах).

Формула коэффициента эластичности спроса по цене представлена в следующем виде:

Е = ∆Q / ∆P (%)

Процентные изменения объемов предложения и спроса вычисляются при помощи соответствующих формул:

∆Q(%) = (Q2-Q1)/Q1

∆P(%) = (P2-P1)/P1

Здесь Q1 – начальный объем спроса,

Q2 — текущий спрос;

Р1 — начальная цена,

Р2 – настоящая цена.

При использовании данных вычислений коэффициента эластичности в общем примет следующий вид:

Е = (Q2-Q1)/Q1 (%) :(P2-P1)/P1 (%)

Или Е = (Q2-Q1)P1 / (P2-P1)Q1

Формула коэффициента эластичности предложения

Формула коэффициента эластичности предложения по цене рассчитывается по аналогии с формулой коэффициента эластичности спроса по цене. Отличие заключается в том, что вместо величины спроса берем величину предложения:

Es = (Q2-Q1)/(Q2 + Q1) ^ (P2-P1)/(P2+P1)

Из формулыможно сделать вывод, что абсолютно неэластичное предложение графически отражается вертикальной прямой графика предложения, а абсолютно эластичное предложение отражается горизонтальной линией.

На эластичность предложения могут оказывать влияние следующие факторы:

• 
  Издержки компании,
  
• 
  Степень загрузки производственных мощностей,
  
• 
  Наличие свободной рабочей силы,
  
• 
  Резервы производства и др.
  

Анализ эластичности

Выделяют три значения показателя эластичности:

• 
  Больше одного (Е^D_Р> 1), при этом спрос (предложение) можно определить как эластичный (чем больше показатель, тем спрос эластичнее).
  
• 
  Меньше единицы (Е^D_Р< 1), при этом спрос (предложение) считают неэластичным.
  
• 
  При равенстве эластичности единице можно говорить о единичной эластичности, то есть уменьшение цены на 1 % приводит к росту объема спроса тоже на 1 %.
  

Существуют также крайние случаи эластичности, среди которых выделим:

• 
  абсолютно эластичный спрос с одной существующей ценой, при этом коэффициентстремится к бесконечности, а изменения в цене ведут к полному отказу от приобретения товара (при росте цены) или к неограниченному увеличению спроса (при уменьшении цены);
  
• 
  абсолютно неэластичный спрос, при котором вне зависимости от изменений цены спрос на продукцию остается постоянным (одинаковым), при этом показатель эластичности по цене равен нулю.
  

35. Фиктивные переменные во множественной регрессии.

при построении уравнения множественной регрессии может оказаться необходимым включение в модель фактора, имеющего 2 и более качественного уровня. Например, это атрибутивные признаки - пол, профессия, образование, климатические условия и т.д. чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель им присваиваются цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразуются в количественные. Такого вида структурированные переменные называются фиктивные.

Пример, по группе Х м и ж пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены, у- потребление кофе, х - цена.

Y=a+bx; y1=a1+b1x+E1-Mужчины,

y2=a2+b2x+E2-женщины.

Из этих 2 уравнений нужно получить 1 уравнение.

Y=a1z1+a2z2+bx+E Z1= Z2=

В отдельном случае, может оказаться необходимость введения 2 и более фиктивных переменных, тогда модель представляет собой сумму

y=a1z1+a2z2+a2s3+a4s4+bx+E

Фиктивные переменные для оценки сезонных различий потреблений. Фиктивные переменные могут вводиться не только в линейные, но и не в линейные модели, но приводимые к линейным с помощью некоторых преобразований.

жүктеу/скачать 32.21 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: