Кривой класса Ск
жүктеу/скачать 75.58 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение.
| Дифференциальная геометрия.
§ 1. Гладкие кривые в Е3. Натуральный параметр. Касательная. Пусть в Е3 фиксирована прямоугольная декартова система координат.
Условие Гладкая кривая может быть задана системой уравнений Пусть
Решение. 1) Заметим, что линия задана как пересечение двух поверхностей  и  , где  ,  .
2) Функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка на всем  :  ,  ,  ;  ,  ,  . Кроме того,  для  . Но   все множество  является гладкой кривой.
3) Запишем параметрическое представление . Выразим  и  как функции х:  . Обозначим х как параметр  (причем из первого уравнения системы следует, что  , то есть  ) и получим, что задается как объединение двух кривых  и  . Это параметрическое представление неудобно.
4) Запишем другое параметрическое представление . Так как из первого уравнения, задающего множество (пункт 1)) следует, что  ,  и  , можно обозначить  ,  . Тогда  . Или в векторном виде  .
5) Убедимся, что - гладкая кривая, используя ее параметрическое представление. Очевидно, что вектор-функция  имеет непрерывные производные любого порядка и  для  .
Р
ешение. 1) Пусть - угол наклона лестницы к оси  ,  .
2) Фиксируем момент времени 3) Итак, траектория монтера задается параметрическими уравнениями: 3. Найти линию, по которой касательные к кривой Решение. 1) Фиксируем 3) Все множество касательных образует семейство прямых 4) Уравнение плоскости  . Тогда уравнения искомой кривой    .
Решение. 1) Запишем уравнение касательной в точке со значением  :
а) б) Тогда касательная  определяется точкой  и направляющим вектором  , то есть   .
2) Вычислим 5. [A] № . Доказать, что гладкая кривая  лежит на сферической поверхности с центром в точке  . Определите радиус сферической поверхности.
Решение.
1) Заметим, что в данной задаче общий способ очень трудоемок и будем решать по-другому. 2). Зафиксируем произвольную точку Вычислим выражение  =  . Итак, любая точка  лежит на сфере  радиуса  .
Формула для длины дуги кривой  :  .
Решение. 1) Найдем точку пересечения  :    и соответствующее ей значение параметра  .
2) Вычислим  .
3) Мы получили, что длина дуги и произвольный параметр связаны формулой  . Откуда выразим  . Подставим в уравнения винтовой линии. - натуральная параметризация винтовой линии.
Определение. Пусть даны линия и точка С. Обозначим через  ортогональную проекцию точки С на касательную МТ к линии в точке  . Фигура  называется подэрой линии относительно точки С.
Решение. 1) Запишем уравнение касательной  к параболе  в точке  :  . Мы можем вспомнить это уравнение из курса аналитической геометрии или можем вывести как в задаче 3.
2) Запишем уравнение прямой 3) Точка
Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке  этой линии.
Решение. 1) Так как система уравнений задает гладкую линию, то в некоторой окрестности точки 2) Продифференцируем систему (*) по х: 3) Направляющий вектор касательной к 4) Докажем, что вектор  . Вычислим  . Аналогично доказывается, что  . Тогда уравнение нормальной плоскости:  (все производные вычислены в точке  .
Задачи к зачету и проверочным работам (семинар 1).
жүктеу/скачать 75.58 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
). Кривая 
, если функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные до порядка 
включительно и 
для 
(или равносильно 
).
называется условием регулярности. Если 
, то называется гладкой кривой. 
(*)
- множество точек, задаваемое системой (*) и 
. Если 1) существует окрестность 
: 
, то существует окрестность 
: 
- гладкая кривая класса Ск, 
.
. Написать параметрическое представление и доказать, что это гладкая кривая.
скользит своими концами по осям прямоугольной декартовой системы координат, которую студенты заботливо натерли мылом. Прямые АС и ВС , параллельные координатным осям, пересекаются в точке С, из которой проведен перпендикуляр СМ к лестнице АВ. Точка М обозначена этой буквой не случайно, поскольку перепуганный монтер, почуяв скольжение лестницы, сползает по ней вниз так, что сливается с точкой М в одно перепуганное целое. Найдите параметрическое задание траектории монтера (Астроида).
. В этот момент времени 
, 
. Из подобия треугольников ВМС и ВСА получим 
. Откуда 
, 
.
. Уравнения всей астроиды 
.
называется регулярной, если 
.
.
перпендикулярно касательной к кривой 
, 
, пересекают плоскость 
.
. Тогда точка 
.
.
. Тогда 
.
, то есть ее канонические уравнения 
.
.
.
. Эта функция достигает максимума при 
. Запишем 
. Остальные касательные вычисляются аналогично. 
.
от точки пересечения с плоскостью 
, где 
. Тогда 
. 
. Выражая 
и 
из первых двух уравнений и подставляя в третье, получим уравнения подэры 
.
(*)
, то есть существуют гладкие функции 
такие, что 
, 
, причем 
в точке 
. Это система линейных 
и 
, вычисленных в точке 
, эта система имеет единственное решение: 
, 
.
, то есть направляющий вектор касательной 
или коллинеарный ему вектор 
. Тогда уравнение касательной в точке 
.
гладкая и лежит на сфере с центром в начале координат радиусом 2 и на цилиндрической поверхности 
.
лежит на гиперболическом параболоиде и пересекает прямолинейные образующие одного из семейств под прямым углом.
. Записать ее уравнения в натуральной параметризации.
.
, 
проходят через одну точку.
в точке 
.
относительно точки 
, где 
- константа.
- пересечение цилиндрических поверхностей 
и 
. Написать параметрическое представление множества 
.
линии 
.
.
, проходящих через точку 
является гладкой линией. Найти длину одной арки циклоиды.
гладкая и лежит на конической поверхности. Определить угол 
между этой кривой и 
.
лежит на сфере . Найти уравнение касательной к этой линии в точке с 
.
. Записать ее уравнения в натуральной параметризации.
есть ветвь гиперболы.
в любой ее точке, заключенный между осями координат, равна 
и прямого кругового цилиндра диаметра 
образуют постоянный угол 
. Определить