Лабораторная работа № Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой

Лабораторная работа №
Принятие решений в условиях неопределенности.

Игры с природой

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игрок1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально.

Матрица игры с природой А = ||а_ij||, где а_ij – выигрыш (потеря) игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i=1, …, m; j=1,…,n).

Мажорирование стратегий в игре с природой име­ет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех g=1,…, n a_kj  a_lj, k, l = 1,…,m, то k-ю стратегию принимающего решения иг­рока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычеркивать из матри­цы игры (исключать из рассмотрения) недопустимо, поскольку при­рода не стремится к выигрышу в игре с человеком, для нее нет це­ленаправленно выигрышных или проигрышных стратегий, она дей­ствует неосознанно.

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет m возможных стратегий: А1,А2, … , Аm, а у природы имеется n возможных состояний (стратегий): П1, П2, ..., Пn, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей (потерь) игрока 1:


Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей (потерь), а в виде так называемой матрицы рисков R = ||r_ij||_m,n. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоя­нии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей (потерь) А.

Риск - это разность между результатом, ко­торый игрок мог бы получить, если бы он знал действительное состоянием среды и результатом, который игрок получит при j-ой стратегии.

Зная состояние природы (стратегию) Пj, игрок выбирает ту стра­тегию, при которой его выигрыш максимальный или потеря минимальна, т.е.

r_ij = _j-a_ij, где _j = max a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij - выигрыш

r_ij = a_ij - _j, где _j = min a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij – потери (затраты)

Неопределенность, связанную с полным отсутствием информа­ции о вероятностях состояний среды (природы), называют «безна­дежной».

В таких случаях для определения наилучших решений исполь­зуются следующие критерии: Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Критерий Вальда. С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет выигрыш лица, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = max min a_ij, 1 i m, 1 j n – максиминный критерий.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет потери лица, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = min max a_ij, 1 i m, 1 j n – минимаксный критерий.

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучшей. Это перестраховочная по­зиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай.

S = min max r_ij 1 i m, 1 j n.

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым сред­ним результатом, характеризующим состояние между крайним пес­симизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятность (1-р) и в самом выгодном состоянии с вероятностью р, где р – коэффициент пессимизма.

Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением:

H_A = max  p max a_ij + (1-p) min a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij – выигрыш

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij – потери (затраты)

При p = 0 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда. При p = 1 приходим к решающему правилу вида max max a_ij, к так называемой стратегии «здорового оптимизма», критерий максимакса.

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оп­тимизма Гурвица имеет вид:

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij , 1 i m, 1 j n.

При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков (min r_ij); при р = 1 – по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

Значение р от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р = 0,5 представляет наиболее разумный вариант.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуются к ис­пользованию несколько стратегий, выбор между ними может де­латься по дополнительному критерию. Здесь нет стандартного подхода. Выбор может зависеть от склонности к риску игрока1.

Контрольный пример

Транспортное предприятие должно определить уровень своих производственных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но прогнозируется, что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей представлены в табл.4.1.

Таблица 4.1

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия	Варианты спроса на транспортные услуги
	1	2	3	4
1	6	12	20	24
2	9	7	9	28
3	23	18	15	19
4	27	24	21	15

Необходимо выбрать оптимальную стратегию. Использовать: критерий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица.

Решение

Имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: П1, П2, П3, П4. Известны так же четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия: А1, А2, А3, А4. Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре П_i и А_i заданы следующей матрицей:

Построим матрицу рисков. В данном примере a_ij представляет затраты т.е. потери значит для построения матрицы рисков используется принцип r_ij = a_ij - _j, где _j = min a_ij.

Для П1: _j = 6

Для П2: _j = 7

Для П3: _j = 9

Для П4: _j = 15

Матрица рисков имеет следующий вид:



Критерий Вальда

Так как в данном примере a_ij представляет затраты т.е. потери, то применятся минимаксный критерий.

Для А1: max a_ij = 24

Для А2: max a_ij = 28

Для А3: max a_ij = 23

Для А4: max a_ij = 27

W = min max a_ij = 23  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием Вальда будет третья стратегия (А3).

Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Для А1: max r_ij = 11

Для А2: max r_ij = 13

Для А3: max r_ij = 17

Для А4: max r_ij = 21
S = min max r_ij = 11  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Сэвиджа будет первая стратегия (А1).

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Положим значение коэффициента пессимизма р = 0,5.

Так как в данном примере a_ij представляет затраты (потери), то применятся критерий:

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij 

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij

Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1

• 
  по критерию Вальда – выбор стратегии А3;
  
• 
  по критерию Сэвиджа – выбор стратегии А1;
  
• 
  по критерию
  
• 
  Гурвица – выбор стратегии А1.
  

Индивидуальное задание

Решите задачу, согласно вашему индивидуальному варианту.

Вариант 1

Найти наилучшие стратегии по критериям: Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,2), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой (элементы матрицы - выигрыши):

Вариант 2

Дана матрица игры с природой в условиях полной неопределенности (элементы матрицы - выигрыши):

Требуется: проанализировать оптимальные стратегии игрока, используя критерии пессимизма-оптимизма Гурвица применительно к платежной матрице А и матрице рисков R при коэффициенте пессимизма р = 0; 0,5; 1. При этом выделить критерии максимакса, Вальда и Сэвиджа.

Вариант 3

Дана следующая матрица выигрышей:

Определите оптимальную стратегию используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,4).

Вариант 4

Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения: 150, 200, 350. Производственные затраты Сi для I станка задаются следующей формулой:

Ci = Pi + ci*Q

Данные Pi и ci приведены в табл4.2.

Таблица 4.2

Показатели	Модель станка
	1	2	3	4	5
Pi	30	80	50	160	100
ci	14	6	10	5	4

Решите задачу для каждого из следующих критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица (критерий пессимизма равен 0,6). Полученные решения сравните.

Вариант 5

При выборе стратегии Aj по каждому возможному состоянию природы Si соответствует один результат Vij. Элементы Vij являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Стратегии	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
A1	2	6	5	8
A2	3	9	1	4
A3	5	1	6	2

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма равном 0,5).

Вариант 6

Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля Rj. Определена экономическая эффективность Vji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков Si рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Проекты	Состояние природы
	S1	S2	S3
R1	20	25	15
R2	25	24	10
R3	15	28	12
R4	9	30	20

Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,1. Сравнить решения и сделать выводы.

Вариант 7

Определите тип электростанции, которую необходимо построить для удовлетворения энергетических потребностей комплекса крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры:

R1 – сооружается гидростанция;

R2 – сооружается теплостанция;

R3 – сооружается атомная станция.

Экономическая эффективность сооружения электростанции зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы Si.

Результаты расчета экономической эффективности приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Тип станции	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4	S5
R1	40	70	30	25	45
R2	60	50	45	20	30
R3	50	30	40	35	60

Вариант 8

Фирма рассматривает вопрос о строительстве станции технического обслуживания (СТО) автомобилей. Составлена смета расходов на строительство станции с различным количеством обслуживаемых автомобилей, а также рассчитан ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения прогнозируемого спроса на предлагаемые услуги СТО (прогнозируемое количество обслуженных автомобилей в действительности). В зависимости от принятого решения – проектного количества обслуживаемых автомобилей в сутки (проект СТО) Rj и величины прогнозируемого спроса на услуги СТО – построена в табл. 4.6 ежегодных финансовых результатов (доход д.е.):

Таблица 4.6

Проекты СТО	Прогнозируемая величина удовлетворяемости спроса
	0	10	20	30	40	50
20	-120	60	240	250	250	250
30	-160	15	190	380	390	390
40	-210	-30	150	330	500	500
50	-270	-80	100	280	470	680

Определите наилучший проект СТО с использованием критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,5.

Вариант 9

Магазин может завести один из трех типов товара Аi; их реализация и прибыль магазина зависит от типа товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния Вi (табл. 4.7). Гарантированная прибыль представлена в матрице прибыли:

Таблица 4.7

Тип товара	Спрос
	В1	В2	В3
А1	20	15	10
А2	16	12	14
А3	13	18	15

Определить какой товар закупать магазину.

Вариант 10

Дана следующая матрица выигрышей:


Определите оптимальную стратегию используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,6).

Вариант 11

Администрации театра нужно решить, сколько заказать программок для представлений. Стоимость заказа 200 ф. ст. плюс 30 пенсов за штуку. Программки продаются по 60 пенсов за штуку, и к тому же доход от рекламы составит дополнительные 300 ф. ст. Из прошлого опыта известна посещаемость театра (табл.4.8).

Таблица 4.8

Посещаемость	4000	4500	5000	5500	6000
Ее вероятность	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

Ожидается, что 40% зрителей купят программки.

1. Используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица, определите, сколько программок должна заказать администрация театра.

2. Допустим, что рекламодатели увеличат сумму с 300 до 400 ф. ст. число посетителей будет больше 5250, к тому же спрос на программки будет полностью удовлетворен. Как это повлияет на рекомендации в п.1?

Вариант 12

При выборе стратегии Aj по каждому возможному состоянию природы Si соответствует один результат Vij. Элементы Vij являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в таблице:

Таблица 4.9

Стратегии	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
A1	20	12	15	15
A2	14	23	12	26
A3	25	21	24	30

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма равном 0,6).

Вариант 13

Пекарня печет хлеб на продажу магазинам. Себестоимость одной булки составляет 30 пенсов, ее продают за 40 пенсов. В табл. 4.10 приведены данные о спросе за последние 50 дней:

Таблица 4.10

Спрос в день, тыс. шт.	10	12	14	16	18
Число дней	5	10	15	15	5

Если булка испечена, но не продана, то убытки составят 20 пенсов за штуку. Используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициентах: 0,4- вероятность максимальной покупки, 0,6 – вероятность минимальной покупки), определите, сколько булок нужно выпекать в день.

Вариант 14

Компания выбирает, какой вид продукции целесообразно производить. Имеются четыре вида продукции Аj. Определена прибыль от производства каждого вида продукции в зависимости от состояний экономической среды Вi. Значения прибыли для различных видов продукции и состояний природы приведены в табл. 4.11.

Таблица 4.11

Вид продукции	Состояние экономической среды
	В1	В2	В3
А1	40	52	45
А2	58	45	89
А3	45	36	65
А4	36	89	45

Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,4. Сравнить решения и сделать выводы.

Вариант 15

Компания "Kilroy" выпускает очень специфичный безалкогольный напиток, который упаковывается в 40-пинтовые бочки. Напиток готовится в течение недели, и каждый понедельник очередная партия готова к употреблению. Однако в одно из воскресений всю готовую к продаже партию пришлось выбросить. Секретный компонент, используемый для приготовления напитка, покупается в небольшой лаборатории, которая может производить каждую неделю в течение полугода (так налажено производство) только определенное количество этого компонента. Причем он должен быть использован в кратчайший срок.

Переменные затраты на производство одной пинты напитка составляют 70 пенсов, продается она за 1,50 ф. ст. Однако компания предвидит, что срыв поставок приведет к потере части покупателей в долгосрочной перспективе, а следовательно, придется снизить цену на 30 пенсов. За последние 50 недель каких-либо явных тенденций в спросе выявлено не было (табл. 4.12).

Таблица 4.12

Спрос на бочки в неделю	3	4	5	6	7
Число недель	5	10	15	10	10

Определите, что нужно предпринять, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,5. Сравнить решения и сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. 
   В чем состоит отличительная особенность принятия решения в игре с «природой»?
   
2. 
   Специфика мажорирования стратегий в игре с природой?
   
3. 
   Опишите два способа задания матрицы игры с природой.
   
4. 
   Что такое величина риска в игре с природой?
   
5. 
   Опишите критерий Вальда.
   
6. 
   Опишите критерий Сэвиджа?
   
7. 
   Опишите критерий Гурвица.
   
8. 
   Что такое коэффициент пессимизма в критерии Гурвица?
   
9. 
   В каких критериях используется матрица выигрышей?
   
10. 
    В каких критериях используется матрица рисков?
    

жүктеу/скачать 151 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: