Математические модели, численные методы и комплекс проблемно-ориентированных программ анализа усилителей магнетронного типа цилиндрической конструкции
жүктеу/скачать 1.54 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
- СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
- ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
| На правах рукописи
ЗЯБЛОВ Антон Сергеевич МАТЕМАТИЧЕСКИЕ модели, численные методы и комплекс проблемно-ориентированных программ анализа усилителей магнетронного типа цилиндрической конструкции Специальности: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 05.27.02 – Вакуумная и плазменная электроника Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Саратов 2011 Работа выполнена в ГОУ ВПО
Научные руководители доктор физико-математических наук, профессор Байбурин Вил Бариевич доктор технических наук Ляшенко Александр Викторович Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор Сивяков Борис Константинович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Неганов Валерий Алексеевич
Защита диссертации состоится 25 мая 2011 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд. 319. С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».
Автореферат разослан « 14 » апреля 2011 г. Ученый секретарь
Математическое моделирование указанных систем связано с численным решением системы уравнений, включающей уравнения Лапласа, Пуассона, волновое уравнение, уравнения движения и возбуждения. Несмотря на обширную библиографию, включающую работы большого числа зарубежных и отечественных авторов (П.Л.Капица, Р.З.Сагдеев, Л.А.Арцимович, А.С. Рошаль, Г.Г. Моносов, С.И. Ширшин, В.Б. Байбурин и др.), научная и практическая значимость исследования процессов в скрещенных полях для таких областей как астрофизика, физика плазмы, электроника и др., приобретает все большую актуальность. В частности, это связано с практически важным классом систем со скрещенными полями, представленными усилителями магнетронного типа, нашедшими широкое применение в системах связи и радиолокации. Известные численные методы и построенные на их основе проблемно ориентированные программы не учитывают волны, отраженные от выхода усилителя и переотраженные от входа, а также возможность возникновения побочных колебаний, на частотах отличных от частоты основного усиливаемого сигнала. Указанные факторы определяют области ограничения режимов усилителей (область рабочих токов, устойчивость колебаний и т.д.). Изложенное определило следующую цель работы.
Для достижения цели работы были решены следующие задачи:
Методы исследования. Результаты диссертационной работы получены путем компьютерных исследований с помощью разработанной модели и натурных экспериментов. Численное решение основных уравнений модели проводилось с помощью метода «сеток», метода Хокни (при решении уравнения Пуассона), метода крупных частиц и метода однородного поля (при решении уравнений движения) и других методов. Достоверность. Достоверность полученных результатов основана на корректном применении методов численного моделирования и адекватности их натурным экспериментам. Научная и практическая значимость. Научная значимость заключается в том, что разработанные методы моделирования процесса возбуждения побочных видов колебаний и их конкуренции позволяют проводить качественный и количественный анализ физических процессов, ранее находившихся за пределами компьютерных исследований. Практическая значимость работы заключается в следующем. Разработанные на основе математической модели программы расчетов успешно внедрены в практику проектирования магнетронных усилителей – амплитронов (платинотронов в режиме усиления), усилителей прямой и обратной волны М-типа (о чем имеются 3 акта внедрения). Численные расчеты позволили сократить количество промежуточных экспериментальных макетов и стоимость разработки. Результаты работы использовались в учебном процессе в дисциплинах «Компьютерное моделирование», «Проблемно-ориентированное моделирование». Научная новизна работы.
– срыв колебаний на нижней границе усиления по анодному току в амплитроне вследствие конкуренции входного сигнала и низковольтного побочного автоколебания; – срыв колебаний на верхней границе усиления по анодному току в амплитроне вследствие нарушения условия синхронизма ВЧ волны с электронным потоком; – изменение частоты генерации стабилотрона: незначительное при больших значениях анодных токов и существенное при малых значениях анодных токов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2006), научно-технической конференции «Электронная и вакуумная техника. Приборы и устройства. Технология. Материалы» (Саратов, 2007), а также на научных семинарах кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета и научно-технических советах в ОАО «НИИ Тантал», ООО «ОКБ Приборостроения». Публикации. Материалы, отражающие основное содержание работы, опубликованы в 14 печатных работах (статьях, текстах докладов), в т.ч. 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Имеется свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫДиссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. В первой главе изложена содержательная и математическая постановка задачи. На рис.1 схематически представлены исследуемые системы в скрещенных полях.  
а б
в Рис. 1. Схемы платинотрона (а), магнетронного усилителя прямой волны (б) и стабилотрона (в). На схеме Ra – радиус анода, Rк – радиус катода, Vэл – направление движения электронного потока вокруг катода, Vф – фазовая скорость ВЧ волны, Vгр – групповая скорость ВЧ волны, магнитное поле направлено перпендикулярно рисунку, r, – цилиндрические координаты. Суть работы магнетронных усилителей заключается в том, что подаваемый на вход прибора ВЧ сигнал усиливается за счет взаимодействия электромагнитной волны с электронным потоком. В усилителях прямой волны (УПВМ, ультрон) фазовая скорость ВЧ волны и скорость электронного потока имеют одинаковое направление, в усилителях обратной волны (УОВМ, амплитрон) – противоположное. В амплитроне и ультроне между устройствами входа и выхода находится «холостая» ячейка (1 на рис. 1а), а в УПВМ и УОВМ – «пространство дрейфа» (2 на рис. 1б) с гладким участком анода. В амплитроне и ультроне электронная спица, сформированная ВЧ полями, практически не разрушается в холостой ячейке, в отличие от усилителей с дрейфом, где происходит «демодуляция» электронного потока, что снижает КПД прибора, но увеличивает частотную полосу усиления. Стабилотрон (рис 1в) включает платинотрон, который используется как усилительный элемент схемы с положительной обратной связью на частоте резонатора. Резонатор обеспечивает высокую стабильность частоты генерации, а рассогласователь обеспечивает заданный режим работы платинотрона (коэффициент усиления) и выходную мощность. На практике в усилителях со скрещенными полями всегда имеет место рассогласование выводов энергии, что создает условия для возникновения побочных (паразитных) автоколебаний, влияющих на работу усилителя. Задача заключается в том, чтобы построить математическую модель, позволяющую исследовать влияние различных факторов и, в первую очередь, побочных автоколебаний на характеристики указанных усилительных систем. Ниже применительно к схеме на рис. 1 изложены уравнения, лежащие в основе двумерной математической модели рассматриваемых систем. К ним относятся: уравнения движения, Лапласа, Пуассона, волновое уравнение, уравнение возбуждения, формулы расчета наведенных токов, постоянного анодного тока, выходной мощности, КПД и других характеристик. Уравнения движения частиц
где  ,  , – потенциал электрического поля; cBz – циклотронная частота, Bz – индукция магнитного поля, = e/m = 1,7588·1011 Кл/кг.
Потенциал электрического поля представляется в виде суперпозиции электростатического поля (ст), поля пространственного заряда (пз) и высокочастотного поля (вч), которые описываются соответственно уравнениями Лапласа (2), Пуассона (3) и волновым уравнением (4):
с граничными условиями: ст(ra,) = Ua, ст(rк,) = 0; ст(r,) = ст(r,+2), где Ua – анодное напряжение;
с граничными условиями: пз(ra,) = 0; пз(rк,) = 0; пз(r,) = пз(r,+2), где  – плотность пространственного заряда, Q – заряд в пространстве взаимодействия, 0 = 8,8541·10–12Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума, h – высота прибора;
с граничными условиями:  , вч(rk,) = 0; вч(r,) = вч(r,+2), где k = 2k – круговая частота ВЧ-волны с номером k, Uk – амплитуда ВЧ-волны на аноде; k – «горячая» постоянная распространения, с – скорость света, k=1…K, K – число рассматриваемых ВЧ-волн.
Уравнения возбуждения, описывающие изменение амплитуды (Uk) и постоянной распространения (k) от входа к выходу каждого сигнала
где Rk – сопротивление связи замедляющей системы, αk – коэффициент затухания, k0 – «холодная» постоянная распространения, jkаи jkr – активная и реактивная составляющие угловой плотности наведенного ВЧ тока,  – напряженность ВЧ поля сигнала с номером k,  – потенциал ВЧ волны,  – вектор скорости частиц,V– объем пространства взаимодействия.
Выражения, используемые для расчета выходной мощности (Pвых), анодного тока (Ia), коэффициента усиления (Кус), КПД (η0), электронного КПД (ηэл), контурного КПД (ηконт), мощностей бомбардировки анода (Ран), катода (Ркат) и потерь в замедляющей системе (Рпот), "горячего" фазового сдвига (Ψ):  ,  ,  , (7)
 ,  ,  (8)
 ,  (9)
 ,  (10)
где U и – амплитуда и постоянная распространения доминирующего вида (определяемого по результатам моделирования), Uвых – значение амплитуды на выходе прибора, Рвх – входная мощность, φзс – угловая длина замедляющей системы. Геометрические размеры прибора, «холодные» электродинамические характеристики замедляющей системы, эмиссионные свойства катода и параметры режима работы (Ua, Bz, Pвх) считаются известными. При построении математической модели использовались приближения и допущения, принятые в теории магнетронных приборов. К ним относятся двумерное приближение (процессы анализируются в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля), приближение «гладкого анода» (не учитываются «краевые эффекты», обусловленные разрезной структурой анода и элементами ввода-вывода энергии), квазистационарное приближение (фазовая скорость ВЧ волны много меньше скорости света) и другие. Электронное облако представляется набором «крупных частиц» имеющих такое же отношение заряда к массе, как у электрона. Для численного решения основных уравнений вводятся пространственная сетка размерностью NxM и временной шаг Δt. Решение основных уравнений проводится в нормализованных координатах x=φ, y=ln(r/rk), что значительно упрощает вид получаемых решений уравнений. В частности, пространство взаимодействия (с учетом приближения «гладкого» анода принимает вид 0 Таким образом, задача сводится к нахождению самосогласованного решения уравнений (1)-(5) и определению основных характеристик электронно-волнового взаимодействия (6)-(10). Во второй главе изложены методы и алгоритмы численного решения основных уравнений. В начальный момент (t=0) на катоде находится «затравочное» количество крупных частиц, рассматриваемые ВЧ волны с входными амплитудами (при моделировании автоколебаний – с «затравочными» амплитудами) занимают пространство от входа до выхода. Далее проводится пошаговое решение основных уравнений модели (1-5). При решении уравнений движения проводится расчет координат частиц. При попадании на анод вычисляется анодный ток, а сами частицы исключаются из рассмотрения. При попадании частиц на катод в зависимости от энергии удара и коэффициента вторичной эмиссии в анализ вводятся новые частицы. В модели также предусмотрена термоэмиссия. Уравнения Пуассона и возбуждения решаются на каждом шаге. В процессе взаимодействия ВЧ волн с электронным потоком один из видов колебаний начинает доминировать: его амплитуда на выходе увеличивается, а в электронном потоке формируются электронные спицы, синхронные с доминирующей волной. Амплитуды других видов колебаний уменьшаются. Таким образом, моделируется конкуренция разных видов колебаний. Моделирование продолжается до установления стационарного режима усиления или автоколебаний. При этом средние значения основных характеристик (выходная мощность, анодный ток, заряд в пространстве взаимодействия) остаются практически неизменными. Ниже излагаются методы численного решения основных уравнений. При решении уравнения движения предполагается, что за время t напряженности электрических полей остаются постоянными (приближение однородного поля). В момент времени t0 считаются известными нормализованные координаты Для решения системы уравнений движения (1) вводится комплексная переменная Ŵ = exp(y – jx), где y = y – y0, x = x – x0, что позволяет свести систему уравнений к одному уравнению и получить решение.
где  ,
 ,
 ,  ,  .
Уравнение Лапласа решается в приближении «гладкого» анода. Решение в нормализованных координатах имеет вид Уравнение Пуассона решается методом Хокни. Для этого уравнение (3) записывается в конечно-разностной форме в узлах пространственной сетки. Учитывая периодичность потенциала и правой части уравнения (3) по азимуту, находятся гармоники с помощью БПФ анализа. В результате получаем систему уравнений, связывающую гармоники, после решения которой с помощью БПФ синтеза определяем значения потенциала в узлах пространственной сетки
где n = 0…N, m = 0…M, j – номер гармоники. Гармоники (   ) находятся из решения системы из уравнений (13)
с учетом нулевых граничных условий (при m=0 и m=M) методом циклической редукции, где Qnm – заряд, распределенный по узлам пространственной сетки. Волновое уравнение (4) в нормализованных координатах решается в квазистационарном приближении: (фазовая скорость ВЧ волны много меньше скорости света)
где амплитуда Uk, частота k и начальный фазовый сдвиг φk вида колебания c номером k=1…K, K – число рассматриваемых волн. Знак ± зависит от направления («прямое», «обратное») распространения волны. Для решения уравнения возбуждения в каждой ячейке пространственной сетки Δx для каждой ВЧ волны вычисляется активная и реактивная составляющая наведенного ВЧ тока  , (15)
где  q0 - заряд крупной частицы, i=1..Nn, Nn - число «крупных» частиц в секторе с номером n,  и  – скорость частицы с номером i. Для упрощения записи индекс k (номер ВЧ волны) в формулах (15)-(17) опущен.
Уравнения возбуждения представляются в рекуррентной форме и решаются на каждом шаге по времени. Для усилителей прямой волны (в том числе ультронов)
Для усилителя обратной волны (в том числе амплитронов)  , (17)
где 
При решении уравнения возбуждения для отраженных от выхода ВЧ волн, в усилителях прямой волны используется формула (17), а в усилителях обратной волны формула (16). Таким образом, массивы Un, n описывают изменения амплитуды ВЧ-поля (Uj) и «горячей» постоянной распространения (j) вдоль всей замедляющей системы. Необходимо отметить, что отраженная волна, попадая на ВЧ вход прибора, переотражается и суммируется с основной волной. Поэтому ВЧ сигнал на входе представляется в виде суперпозиции входного сигнала и переотраженного. Таким образом, для учета процессов отражения в модели, необходимо амплитуду на входе пересчитывать на каждом шаге моделирования. Моделирование автоколебаний проводится в два этапа. На первом этапе задается затравочный входной сигнал (на частоте описываемых побочных колебаний), обеспечивающий выход на режим усиления. Далее сигнал на входе пересчитывается на каждом шаге моделирования с учетом отражения от входа и выхода. Вычисление выходных характеристик  , 
 ,  ,
энергии бомбардировки анода и катода  ,  ,
эффективный коэффициент вторичной эмиссии где, Nа, Nк, Nэ – число частиц, соответственно попавших на анод, катод и эмитированных с катода. С учетом вышеизложенного разработан пакет проблемно-ориентированных программ в среде Windows. Пакет программ включает управляющую программу, расчетные программы и программу детальной визуализации полученных результатов. Программы написаны на языке ФОРТРАН с использованием встроенных стандартных графических библиотек. Исходные модули пригодны для использования с любыми версиями компиляторов (в частности, фирмы Microsoft). Блок-схема комплекса программ представлена на рис. 2.
Рис. 2. Блок-схема программы расчетов В третьей главе приводятся результаты моделирования стабилотрона (амплитрона в режиме генерации). Для проверки адекватности модели расчетные результаты сравнивались с экспериментальными. На рис. 3 приведены расчетные и экспериментальные зависимости максимального анодного тока (тока срыва) автоколебаний, обусловленного рассогласованием выводов энергии амплитрона от качества их согласования (коэффициент отражения от входа Г1, от выхода Г2). Рис. 3. Расчетная (сплошная) и экспериментальная (пунктирная) зависимости тока срыва побочных автоколебаний в амплитроне от коэффициентов отражения выводов энергии на частоте возбуждения На рис. 4 приводятся результаты расчетов электрических характеристик стабилотрона, на основе амплитрона QK-434. При расчете предполагалось, что величина коэффициента отражения рассогласователя равна 0.6 (КСВН =  = 4).
 
а б
Рис. 4. Расчетная (сплошная) и экспериментальная (пунктирная) зависимости напряжения (а) и выходной мощности (б) стабилотрона QK434 при Bz=0.0925Тл и 0.1125Тл На рис. 5 приведено сравнение расчетных и экспериментальных зависимостей выходной мощности стабилотрона QK434 от фазы коэффициента отражения при его работе на нагрузку с КСВН, равным 1.5 и 2.5.  
а б
Рис. 5. Расчетные (сплошная) и экспериментальные (пунктирная) зависимости выходной мощности от фазы коэффициента отражения нагрузки при КСВН=1,5 (а) и КСВН=2,5 (б), Bz=0.1050 Тл, Ia=30 А, f=1300М Гц Одной из важнейших характеристик стабилотрона является его частотная стабильность, в частности, зависимость частоты генерации от рабочего тока (электронное смещение частоты). Расчетная зависимость изменения частоты от анодного тока приведена на рис. 6. 
f, МГц Ia, А Рис. 6. Расчетная зависимость электронного смещения (f) частоты стабилотрона QK434 от анодного тока Результаты расчета показывают, что величина реактивной компоненты мощности и соответственно горячий набег фазы гор уменьшаются с ростом анодного тока. При этом в области малых токов имеет место сильное изменение электрической длины и, следовательно, частоты генерируемых колебаний, а в области больших токов отличие от «холодных» значений минимально, что соответствует физическим представлениям о работе стабилотрона и известным экспериментальным данным. Как видно из приведенных результатов, численные расчеты согласуются с результатами эксперимента, что подтверждает возможность и перспективность использования предложенной математической модели для исследования и проектирования магнетронных приборов. Четвертая глава посвящена результатам моделирования магнетронных усилителей с учетом конкуренции автоколебаний и усиливаемого вида колебаний. Как известно из экспериментов, при рассогласованных выводах энергии в амплитроне могут возбуждаться автоколебания. С возбуждением автоколебаний связано ограничение снизу области рабочих токов основного сигнала. На рис. 7 приведены результаты моделирования амплитрона в различных режимах.
1 3 2 Ia, A 2 А B C D Рис. 7. Расчетная ВАХ амплитрона в режиме усиления без учета автоколебаний (1) и с учетом (2). Кривая (3) соответствует автоколебаниям в случае отсутствия рабочего сигнала на входе усилителя Как видно из рисунка, кривая 2 носит следующий характер: первый участок A-B соответствует возбуждению автоколебаний (что видно из сравнения с кривой 3) Участок B-C соответствует «перескоку» с побочного вида на рабочий, а участок C-D – область усиления рабочего сигнала. Таким образом, в результате учета возбуждения автоколебаний и их конкуренции с рабочим сигналом сужается рабочая область анодных токов, в которой происходит усиление сигнала (3А-10А Действительно, в амплитронах область усиления по анодному току никогда не начинается с нуля. В то время как существующие модели дают расчетную область токов от нуля до тока срыва рабочего сигнала (≈10А на рис. 7). Следовательно, для адекватного описания работы амплитрона требуется применение предложенной модели, учитывающей возбуждение побочных автоколебаний, обусловленных многократным отражением ВЧ волн от устройств ввода-вывода энергии. На рис. 8 показаны результаты моделирования УПВМ (усилителя прямой волны М-типа с пространством дрейфа) для случая одновременного усиления рабочего сигнала и возбуждения автоколебания. Частота автоколебаний была выбрана на 10 МГц меньше, чем рабочего сигнала, коэффициенты отражения от входа/выхода равными 0.5, коэффициент затухания при распространении отраженного сигнала от входа к выходу – 0.4дБ. 
1 2 2 1 1 2 
2 1 а б
Рис. 8. Зависимость выходной мощности (а) и КПД (б) от анодного напряжения в УПВМ: без учета возбуждения автоколебаний (1) и с учетом (2) Из графиков видно, что наличие побочных автоколебаний уменьшает выходную мощность и соответственно коэффициент усиления основного сигнала при фиксированном значении анодного напряжения; при этом увеличивается анодный ток. Особенно заметно влияние автоколебаний на КПД (так как часть мощности перераспределяется на автоколебания). Так, КПД падает с 60 до 30%. В отличие от амплитрона в УПВМ происходит не конкуренция видов колебаний, а их двухчастотное усиление. Эффект перераспределения мощности рабочего вида между самим сигналом и автоколебаниями приводит к тому, что усиление побочного сигнала частично происходит за счет рабочего. Это связано, по всей видимости, со следующими особенностями. Амплитрон – прибор с аномальной отрицательной дисперсией, и с изменением частоты резко меняется фазовая скорость ВЧ волны. Поэтому в зависимости от режима питания меняются условия синхронизма между электронным потоком и ВЧ волной, и конкуренция между рабочим и побочным видами приводит к подавлению либо рабочего вида, либо побочного. УПВМ – прибор с нормальной положительной дисперсией, и с изменением частоты фазовая скорость ВЧ волны меняется незначительно. Поэтому при фиксированном значении анодного напряжения условия синхронизма между электронным потоком и ВЧ волной могут быть благоприятны как усиления рабочего сигнала, так и возбуждения побочного автоколебания. Кроме того, частоты рабочего и побочного вида в УПВМ разнесены значительно меньше, чем в амплитроне. Таким образом, результаты моделирования показали, что для расчета характеристик магнетронных усилителей необходимо использовать математические модели, в которых учитывается не только основной рабочий сигнал, но и возбуждение побочных видов колебаний, обусловленное многократным отражением от устройств ввода и вывода энергии. В заключении изложены основные результаты работы. 1. Проведен анализ численных моделей магнетронных усилителей, сформулированы основные задачи дальнейшего совершенствования математического и программного обеспечения. 2. Получены математические соотношения для решения основных уравнений модели и алгоритм нахождения самосогласованного режима при одновременном учете как ВЧ волны, обусловленной входным сигналом, так и волн, возникших в результате отражений от устройств входа и выхода усилителя. 3. Развита математическая модель магнетронных усилителей на основе полученных математических соотношений, учитывающей отражения от устройств ввода и вывода энергии, наличие побочных видов колебаний, их конкуренцию с основным видом колебания, и их применение для исследования закономерностей в магнетронных усилителях разных типов. 4. На основе разработанной модели создано программное обеспечение. Проведен анализ сходимости и устойчивости модели, оценена адекватность модели на примере сравнения с экспериментальными данными, а также проведена апробация программы на примере расчетов магнетронных приборов амплитрона, стабилотрона и УПВМ. 5. Внедрение разработанной модели в практику разработки магнетронных усилителей показало, что с ее помощью оказывается возможным сократить число промежуточных и экспериментальных макетов, наметить пути улучшения выходных характеристик приборов и провести оптимизацию конкретного изделия на стадии его разработки. 6. Проведено исследование процессов в рабочих и граничных (срыв усиления) режимах в магнетронных усилителях и оценка влияния отраженных и переотраженных волн на процесс усиления основного сигнала. 7. Проведено исследование процесса возбуждения побочных видов колебаний, обусловленных многократным отражением от устройств ВЧ входа и ВЧ выхода энергии, и моделирование работы магнетронных усилителей в генераторном режиме. 8. Определено влияние конкуренции рабочего вида и побочных видов колебаний на границы усиления по анодному току и напряжению. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИВ изданиях, рекомендованных ВАК РФ
В других изданиях
Авторские свидетельства
Подписано в печать 11.04.11 Формат 6084 1/16 Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,16 (1,25) Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 53 Бесплатно Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Т жүктеу/скачать 1.54 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
,
,
,
,
, 
, 
, (6)
и скорости 
частиц. Задача сводится к определению новых координат и скоростей частиц в момент времени t0 + t: 
, 
. 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, j=0..N/2, 
, 
,
,
, α yx,
,
, (16)
, выходная мощность прибора Pвых=UL2/2R.
, 
на рис. 7). 
ел.: 24-95-70; 99-87-39, е-mail: izdat@sstu.ru