Метод экспресс-анализа электротехнологических показателей и выбор параметров установок электрофизического воздействия на объекты сельскохозяйственного производства

Как математические объекты – солитоны это точные аналитические решения нелинейных уравнений математической физики как функциональные зависимости u_t , u_x, u_xxx, включая уравнения синус – Гордон и Кортевега-де Фриза (КдФ):

Уравнение Кортевега-де Фриза описывает любую слабо нелинейную и слабо диспергирующую систему плоских волн. Для уединенной волны нелинейность uu_х точно уравновешивает дисперсию u_ххх. В теории гравитационных волн на мелкой воде это уравнение естественно возникает в виде:

Независимая переменная x - это х - V_st, а скорость звука (линеаризованная скорость) есть ; здесь h - глубина в отсутствии возмущения, g - поверхностное натяжение воды, r - ее плотность; решение типа уединенной волны всюду положительно при g / (rqh²) > 1/3 и всюду отрицательно при g / (rqh²) < 1/3. При g / (rqh²) » 1/3 для предотвращения несостоятельности теории необходимо учитывать производную более высокого порядка u_xxx.

Более точная модель волн на воде, снимающая это ограничение, дается уравнением Буссинеска:

, (8)

а это уравнение допускает решения типа уединенной волны вида:

и может совершать движения в положительном или отрицательном направлении оси х. Уравнение Буссинеска превращается в уравнение Кортевега-де Фриза с одним направлением распространения заменой при x = х – Vt, t = et и отбрасыванием членов порядка O(e²). В результате математических преобразований конечным решением этого уравнения в виде функции одной переменной u = u(q) получено выражение для одиночного солитона:

С математической точки зрения здесь получено сведение цепочки с квадратичной нелинейностью к нелинейному уравнению с частными производными, которое описывает нелинейные волны малой амплитуды на больших пространственных отрезках. С их помощью описывается одномерная нелинейная решетка, а машинное моделирование доказывает, что уравнение (8) обладает солитонными решениями.

Солитоны уравнения Буссинеска (8) объясняют эффект локализации Фурье-мод в нелинейной цепочке задачи Ферми-Паста-Улама. Волны, описываемые уравнением (10), будучи бесконечно гладкими и не изменяющими своей формы при любых t , могут быть разложены в ряд Фурье, в котором коэффициенты экспоненциально быстро убывают. Такими же свойствами обладают коэффициенты Фурье для кинетической энергии [Q_n (t)]² единичной частицы, что подтверждается экспериментальными данными, полученными при исследовании воздействия электромагнитных полей различного происхождения на биологические системы. Это будет необходимо учитывать при проектировании прибора цифровой оценки электромагнитного влияния на объекты животного и растительного происхождения.

Исследование устройства гладкого нервного волокна (рис.1) и процесса распространения нервного импульса (рис.2) позволяет понять главные его особенности, которые необходимо учитывать при оценке электромагнитного воздействия на биосистемы.

Рисунок 1 – Структура миелинированного нервного волокна

Рисунок 2 – Идеализированная модель нервного волокна

Изменение биопотенциала действия приводит к возникновению разности потенциалов, а, следовательно, к возникновению тока в аксоплазме, что в свою очередь создает электромагнитное поле объекта. Электромагнитное поле в диэлектриках приводит к поворотам дипольных молекул, т.е. к поляризации, происходящей с частотой определяемой частотой самого поля. На приведение в движение электронов, ионов и дипольных молекул поле затрачивает энергию, и в зависимости от того, какой механизм взаимодействия поля с веществом имеет место, принято говорить об энергетических потерях проводимости или о диэлектрических энергетических потерях электромагнитного поля.

Поскольку задача о распространении потенциала действия в аксоне похожа на задачу о пороговом распространении, то можно принять, что скорость распространения импульса будет пропорциональна корню квадратному из диаметра аксона, или корню четвертой степени из площади поперечного сечения. У гигантских аксонов головоногих диаметр может достигать 0,5мм, а скорость импульса – около 20 м/с. Чтобы удвоить скорость распространения импульса, диаметр аксона должен быть увеличен в 4 раза. Но так как соотношение g/с² обратно пропорционально активной площади, то большая скорость может быть получена при заданном диаметре просто уменьшением активной площади. Именно такое уменьшение активной поверхности наблюдается в моторных нервных клетках позвоночных животных. Почти весь аксон покрыт изолирующим слоем миелина, а открытыми остаются лишь активные узлы (или перехваты Ранвье), что и показано на рисунках 1 и 2. Скорости импульсов порядка 20м/с достигаются теперь уже при гораздо меньших диаметрах волокон (~15мкм), а это приводит к тому, что для моторных нервных волокон становится выгодным быть пучком аксонов. Это увеличивает надежность и емкость переносимой информации. Такие миелинированные нервные аксоны можно проанализировать с помощью уравнений для стационарного распространения в линиях с сосредоточенными параметрами. Но надо подчеркнуть, что независимо от сечения любое волокно может передать лишь один бит информации.

Среди поисков различных подходов к решению некоторых биологических проблем на молекулярном уровне привлекает внимание возможность применения метода теории твердого тела, основанного на представлении об элементарных возбуждениях выделенных коллективных степеней свободы. Чаще всего делаются попытки использовать метод теории твердого тела при выяснении высокой эффективности переноса энергии и электронов вдоль больших белковых молекул, обладающих квазипериодической структурой. Пока еще не существует фундаментальной связи между динамическим описанием нервной мембраны и основами биохимии, поэтому необходимы специальные знания физики твердого тела, которые применимы для метрологической оценки результатов электромагнитного воздействия. Изучение нервного волокна потребовало решения задач импульсного взаимодействия и их свойств, порогового эффекта, электромагнитного рассмотрения неоднородных волокон и других проблемных задач их диссипативного поведения.

С учетом нелинейного характера природы электромагнитных полей различного происхождения, оценка уровня электромагнитного воздействия и соответственно система диагностики должны работать в следующих режимах:

а) первичная обработка сигналов;

б) анализ функциональной зависимости электромагнитных полей;

в) интерпретация с учетом различных приближений на структуре аддитивной схемы;

г) анализ точности результатов;

д) задающие управляющие параметры;

е) обработка полученных данных и численные оценки.

Электромагнитное поле на нервных волокнах формируется по аналогии с электрическими проводами и кабелями преимущественно носителями передаваемой электромагнитной энергии, когда между проводником (аксоплазмой) и волокном (миелином) имеется заполненная среда с различной диэлектрической проницаемостью и удельной электропроводностью (рис. 3).

В нервах животных аксон представляет собой однородный цилиндр, покрытый мембраной, которая определяет активный характер аксона. По электрическим свойствам аксон напоминает кабель с проводящей сердцевиной (аксоплазма) и изолирующей оболочкой (миелин). Проводящая (внутренняя) часть волокна содержит ионы и является хорошим проводником тока. Расчеты показывают, что в волокне диаметром 1 мкм, содержащем аксоплазму с удельным сопротивлением 100 Ом/см, сопротивление на единицу длины будет равно 10¹⁰ Ом/см. Мембрана аксонов покрыта миелином – веществом, содержащим много холестерина и мало белка. Удельное сопротивление миелина значительно выше удельного сопротивления других органелл клетки ~ 10⁷ Ом∙см. В связи с большим сопротивлением миелиновой оболочки по поверхности аксона токи протекать не могут, и затухание сигнала резко уменьшается. Мембрана нервного аксона очень тонка (50-100 Å) и в состоянии покоя поддерживает остаточный потенциал в 60-90 мВ.

Согласно классическому уравнению электромагнитного поля, его решение является достаточно простым для линейных и изотропных сред. Электрические и магнитные свойства среды (в нашем случае клетки) описываются с помощью трех величин: относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью μ и удельной электропроводностью ү. В случае применения его для биологических объектов, создающих собственное поле, необходимы ряд допущений. Так, μ = Const и ε = Const, а биопотенциалы нейрона с собственной электропроводностью создают собственные поля и реагируют на внешнее воздействие в виде каждого из слоев плоской, поляризованной, монохроматической волны, которая падает на поверхность нейрона и подчиняется условиям:

(11)

где .

1 – аксоплазма; 2 – миелин; 3 – соединительная ткань; 4 – нейрон

Рисунок 3 – Эквивалентное изображение модели нейрона
Учитывая, что имеет место осевая симметрия векторов поля, т.е. то при этом имеется следующая система трех уравнений в системе прямоугольных координат:

(13)

Применяя подстановку и произведя соответствующие преобразования с учетом, что поле зависит только от одной переменной r, т.е., подставляя новую комплексную переменную, можно получить два типа уравнений Бесселя для и

для Е_mz

.

Тогда общее решение уравнения можно представить в виде

В рассматриваемом практическом приложении это значит, что при контроле значений амплитуд гармонических составляющих спектра смена знака амплитуды выражает изменение фазы, что используется как информационный признак при распознавании, например, внешних характеристик поля.

Используя метод определения характеристик электромагнитного поля снаружи цилиндрического волокна, имеющего проницаемость и охватывающего проводники для векторного магнитного потенциала тока i:

(17)

Векторный потенциал двух проводников будет иметь только составляющую A_z , направленную перпендикулярно плоскости:

Применяя так называемые круговые гармоники, получим выражение для векторного потенциала в третьей наружной области (рис. 2):

Поле снаружи нейрона определяется на основании, выраженного в цилиндрических координатах:

Для формализации схемы диагностики необходимо разделить каналы считывания информации с целью исключения наложения признаков двух различных сигналов с обязательным учетом наличия переходного сопротивления. Глубина проникновения электромагнитного поля на частоте 1000Гц, типичной для потенциалов действия должна быть соизмерима с размером потенциала действия проводящей среды, так как только в таком случае можно рассматривать возможность создания собственных электромагнитных полей организмом с оценкой его физических параметров. При соблюдении этих условий можно реально оценить полученные сигналы, формирующие пространственную структуру электромагнитных полей, независимо от их происхождения.

Для более полного понимания механизмов влияния электромагнитных полей различного происхождения и последующей выработки экологически обоснованных нормативов, необходимо наряду с интенсивностью, временем воздействия необходимо включить и дополнительные параметры – частоту следования импульсов, их длительность, форму и другие показатели, характеризующие результаты исследования биологических систем. Геометрия решения этой задачи показана на рисунке 4. Цилиндрическая мембрана отделяет внутреннюю область с проводимостью ₁ и диэлектрической постоянной ₁ от внешней области с проводимостью ₂ и диэлектрической постоянной ₂ мембраны. Такой подход дает очень хорошее приближение для потенциалов, которые меняются достаточно медленно, как показано на рис. 4 (б).

Рисунок 4 – Геометрия идеального нервного волокна (а), компоненты электрического поля вблизи мембраны (б)

где i = 1 внутри мембраны и i = 2 во внешней области. Эти уравнения полностью нелинейные. Нелинейность проявляется на мембранной поверхности, где плотность тока J₁₂ представляет собой нелинейную функцию от напряжения на мембране. Для волокна бесконечной длины обе области как внутри, так и снаружи мембраны инвариантны по отношению к переносу вдоль оси х, вращениями по углу  и сдвигам по времени t. Представим угол  - компоненту вектора магнитной интенсивности в виде:

Аналогичные формулы записаны для Е_r и Е_х где индексы 1,2 добавляются соответственно для полей внутри и снаружи мембраны. Тогда уравнения Максвелла преобразуются к следующему виду:

внутри мембраны (24)

снаружи мембраны (25)

где для внутренней стороны мембраны и для наружной стороны мембраны.

Необходимо отметить, что уравнения (24) и (25) были получены без привлечения нелинейности. В то же время, соответствующие величины для частоты  и , определяющие потенциал действия, пока остаются полностью неопределенными. Для вывода нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных воспользуемся формулами (24) и (25), которые связывают полный продольный ток i (x, t), текущий внутри мембраны, с напряжением на мембране  (x, t), не зависящих от угловой переменной , как показано на рисунке 4,а. Чтобы получить эти уравнения, содержащие производную  по х, воспользуемся рисунком 4,б, где указаны выбранные направления х - компоненты электрического поля внутри мембраны. В этих обозначениях сумма напряжений вдоль пути ABCD в каждый момент записывается в виде:

 (x + dx) + [E₁ (a, x, t)]_x dx – x + [E₂ (a, x, t)]_x dx = 0, (26)

следовательно,

. (27)

Уравнение (27) служит основанием для вывода искомых уравнений в частных производных. Оно может быть связано с продольным током i(x,t) следующим образом. Сначала рассмотрим Фурье-разложение для (Е₁)_х в виде:

Учитывая: Е_1х (а) = z₁I; E_2x (a) = z₂I, (29)

где z₁ и z₂ – соответствующие реактивные сопротивления. Полагая, что Н_  0 при r  , получено:

, (30)

(31)

В результате математических преобразований выражение (27) приобретает вид:

где I (, ) – пространственно-временная Фурье-компонента i(x, t).

Частота  в типичных потенциалах действия имеет порядок 10³ с^-1 , а проводимость  как внутри, так и снаружи волокна приблизительно та же, что и в морской воде (4 См/м). Поэтому с высокой точностью можно считать, что (действительная константа) как внутри, так и снаружи волокна. Радиальный параметр k определяется формулой:

k² = 4i/² + ², (33)

где - глубина проникновения электромагнитного поля на частоте  в проводящую среду. Для σ 4 См/м,   10³ с^-1 и ₀ = 4 10^-7 Гн/м имеем   20м, что много больше пространственного размера типичного потенциала действия. Поэтому с достаточным приближением можно принять k  .

Пространственный размер типичного потенциала действия - того же порядка или даже много больше радиуса волокна а (рис. 4). Поэтому при описании функций Бесселя можно воспользоваться приближением малого аргумента и r₁ (сопротивление волокна для продольного внутреннего тока) в виде:

r₁ = 1/a²_1. (34)

Отношение внешнего продольного полного сопротивления к внутреннему, согласно уравнений (30, 31), равно: