Моделирование и оптимизация химико-технологических процессов

Введение

На тепловых электрических станциях воду широко используют в качестве теплоносителя, рабочего тела.

Вода естественных водоёмов редко отвечает требованиям для прямого применения из-за содержания в ней различных примесей, которые удаляют перед ее использованием.

Комплекс технологических процессов удаления примесей для приведения качества воды в соответствие с необходимыми требованиями, называется водоподготовкой.

Технологии получения чистой воды включают ряд сложных физико-химических процессов, состоящих из этапов удаления грубодисперсных примесей, коллоидных веществ, ионов и газов. Предложено множество способов водоподготовки для очистки.

Каждый из способов имеет свои преимущества и недостатки. Однако, отдавая предпочтение какому-либо варианту, всегда приходится жертвовать положительными эффектами других. Поэтому при выборе технологической схемы водоподготовки специалисты обязаны провести в идентичных условиях сравнительный анализ альтернативных вариантов на основе строгого количественного и качественного анализа технико-экономических показателей.

Актуальным становится современный подход к реализации расчетов и математических моделей водоподготовки с использованием компьютерной техники на базе мощных математических пакетов, таких как Mathcad, Excel и т.д.

В настоящем курсе показан возможный подход к решению различных задач в области проектирования и эксплуатации оборудования водоподготовки с применением современных программных продуктов.

1. Оптимизация размеров цилиндрического бака с применением различных критериев оптимизации

Нашей целью будет оптимизация соотношения размеров цилиндрического бака, предназначенного для хранения определенного объема воды. Бак представляет собой правильный цилиндр с нижней и верхней крышками. Исходные данные показаны на рис. 1.1, на котором представлен документ физико-математического пакета Mathcad.

Под размерами бака понимается соотношение между диаметром основания d и высотой h. При заданном объеме бака при различных критериях оптимизации это соотношение будет различным.

Для определенности примем требуемый объем бака равным 100 м³.

1.1. Оптимизация по принципу минимума суммарной поверхности бака

На рис. 1.2 показан пример решения задачи оптимизации самым простым способом – графическим, т.е. с помощью построения графика целевой функции и определением оптимума по графику с использованием таких инструментов Mathcad как трассировка и масштабирование. В качестве целевой функции используется зависимость суммарной площади бака от диаметра основания при заданном объеме.

Точка оптимума соответствует минимуму целевой функции и определение значений параметров в данной точке и является основной задачей оптимизационного процесса.

Полученное соотношение диаметра и высоты в точке оптимума составляет 0,999525. Это значение, в пределах точности определения диаметра основания бака, не зависит от принятого объема бака, в чем легко можно убедиться, решив данную задачу для другой величины объема, например 300 м³ (см. рис. 1.3)¹.



Рис. 1.3. Решение задачи оптимизации графическим способом для бака объемом 300 м³

Полученное соотношение диаметра к высоте в точке оптимума составило 1,001794. Это значение очень близко к полученному ранее (см. рис. 1.2).

Графический способ решения задачи оптимизации обладает одним несомненным преимуществом – он очень нагляден. Однако у него есть и несколько недостатков, основные из которых это:

• 
  необходимость построения графика функции, что может занимать достаточно долгое время;
  
• 
  необходимость ручного определения (человеком) точки оптимума по графику;
  
• 
  низкая скорость определения точки оптимума по сравнению с автоматизированными расчетами на компьютере;
  
• 
  низкая точность полученного результата, т.к. для повышения точности временные затраты многократно возрастают.
  

Рассмотрим второй – численный – способ определения точки оптимума с помощью встроенных функций пакета Mathcad. Документ с расчетом показан на рис. 1.4.

Задача оптимизации решается путем обращения к встроенной функции пакета Mathcad с именем Minimize, которая определяет значение аргумента заданной функции, при котором эта функция принимает минимальное значение. Аргументы функции Minimize – это имя минимизируемой функции и начальное значение аргумента минимизируемой функции. От выбора начального значения может зависеть ответ или, даже, возможность определения точки минимума. На рис. 1.5 показано решение рассматриваемой задачи при различных начальных приближениях.

При начальном приближении d=1 м ответ получился точно таким же, как и на рис. 1.4 (начальное приближение d=0 м). Однако при 10 м ответ несколько отличается, что связано с особенностями работы функции Minimize в пакете Mathcad. А при отрицательном начальном приближении (-1 м) ответ получается не имеющий смысла.

Еще один из способов численного решения задачи оптимизации в пакете Mathcad – это использование блока Given…MinErr. В этом случае внутри данного блока записывается условие, что функция равна заведомо меньшему значению, чем она может быть в рассматриваемом диапазоне решений. В данном случае, таким значением может выступать 0 м². После этого вызывается функция MinErr, которая определяет значение аргумента, при котором невязка левой и правой части условия минимальна, т.е. когда целевая функция принимает минимальные значения. Пример использования данного блока с различными начальными приближениями показан на рис. 1.6. В случае начального приближения равном 0 м произошла ошибка, связанная с делением на ноль. Эта ошибка не возникала при использовании функции Minimize, что связано с различными алгоритмами работы функций Minimize и MinErr.



Рис. 1.6. Решение задачи оптимизации с помощью блока Given…MinErr при различных начальных приближениях

В пакете Mathcad есть возможность выполнения аналитических расчетов, в том числе и оптимизационных, с использованием символьной математики. На рис. 1.7 показан вывод формулы для зависимости суммарной площади поверхности бака от диаметра. Аналогичные расчеты были сделаны ранее вручную (см. рис. 1.2).

На рис. 1.8 показан алгоритм решения задачи оптимизации аналитическим способом. Он заключается в следующем:

• 
  с помощью команд символьной математики пакета Mathcad производится дифференцирование выражения для суммарной площади поверхности бака по диаметру бака;
  
• 
  полученное выражение решается относительно диаметра бака (в точке минимума, как точке экстремума, производная функции равна нулю);
  
• 
  из трех вариантов выбирается подходящий по физическому смыслу задачи (диаметр бака не может быть комплексным числом).
  

В результате получено, что оптимальное соотношение диаметра основания бака к его высоте равно единице и это соотношение не зависит от объема бака.

Недостатком аналитического способа следует назвать необходимость ручного копирования математических выражений из одной формулы в другую. На рис. 1.9 показана попытка преодоления этого недостатка путем записи в одну формулу. Однако при этом возникают две проблемы: первая – полученные выражения очень громоздки, а вторая – наличие ошибки в символьных преобразованиях в пакете Mathcad, которая приводит к отрицательным значениям. Эта ошибка может быть решена в будущих версиях пакета Mathcad.



Рис. 1.9. Автоматизация решения задачи оптимизации аналитическим способом

Подведем итоги сравнения различных способов решения задачи оптимизации в пакете Mathcad. Графический способ наиболее наглядный, наименее точный, требует построения графика целевой функции и не может быть автоматизирован, т.е. необходимы действия вручную по определению точки оптимума.

Аналитический способ наиболее точный, не требует начального приближения, однако он самый громоздкий и требует тщательной проверки ответа, т.к. в реализации символьной математики в Mathcad есть ошибки. Стоит отметить, что в более сложных задачах символьные преобразования не всегда выполнимы, что ограничивает область применения аналитического способа. Также данный способ нельзя использовать, когда, например, целевая функция задана таблично.

Численный способ решения задачи оптимизации по точности занимает положение между графическим и аналитическим. Однако его главное преимущество в том, что при правильно подобранных начальных приближениях, он легко «автоматизируется» и может применяться для решения широкого круга задач, в том числе, когда сложно построить график функции или невозможны символьные преобразования.

Использование одновременно нескольких различных способов решения задачи оптимизации в пакете Mathcad может быть рекомендовано для проверки, т.к. при этом возрастает степень уверенности в правильности решения.

1.2. Оптимизация по принципу минимума тепловых потерь

Тепловой поток пропорционален площади поверхности бака. То есть можно сделать вывод, что оптимальное значение соотношения диаметра бака и его высоты будет таким же, как и в предыдущем случае. Однако тепловой поток может быть разным через отдельные поверхности бака – через боковые стенки и крышку он может быть сильнее, чем через дно бака. Это может быть, например, объяснено наличием ветра около боковых стенок бака, что приводит к увеличению коэффициента теплоотдачи от стенок бака к воздуху. Попробуем учесть данные различия путем введения интегрального коэффициента неравномерности a, значение которого зададим в качестве примера равным 0,5. Этот коэффициент будет учитывать разность усредненных тепловых потоков через различные поверхности бака.

На рис. 1.10 показано решение данной задачи численным и аналитическим способами. Оптимальное соотношение размеров бака в данном варианте отличается от предыдущего: при таком критерии оптимизации выгоднее строить бак более приземистый, т.е. чтобы диаметр был больше, чем высота.



Рис. 1.10. Решение задачи о минимизации тепловых потерь

1.3. Оптимизация по принципу минимума затрат на сооружение и эксплуатацию бака

• 
  стоимость землеотвода;
  
• 
  земельный налог;
  
• 
  стоимость металла;
  
• 
  стоимость изоляции;
  
• 
  тепловые потери;
  
• 
  стоимость сооружения бака.
  

Остальные факторы, влияющие на полную стоимость владения баком, такие как амортизационные отчисления, текущий и капитальный ремонт и т.д. учитываться не будут. Оценка их влияния оставляется для самостоятельной проработки студентами.

На рис. 1.11-1.14 показаны исходные зависимости для учета различных составляющих затрат на сооружение и эксплуатацию бака. Значения, характеризующие отдельные затраты приняты только в качестве примера для более наглядного разбора задачи и могут не отражать реальную ситуацию.



Рис. 1.11. Затраты на землеотвод и земельный налог



Рис. 1.12. Затраты на стоимость металла



Рис. 1.13. Затраты на изоляцию и тепловые потери



Рис. 1.14. Затраты на сооружение и суммарные затраты

На рис. 1.15 показана графическая зависимость как отдельных видов затрат, так и суммарных. Ступенчатый вид некоторых зависимостей связан с изменением толщины стенок бака, которая кратна 1 мм. На рис. 1.15 также показано численное решение задачи оптимизации, из которого следует, что для данной задачи при таких исходных данных следует использовать бак с высотой практически в 5 раз больше, чем диаметр основания.

На рис. 1.16 показан вариант решения данной задачи при отсутствии затрат на землеотвод и земельный налог. В этом случае вывод об оптимальном соотношении размеров бака совсем другой и следует сооружать бак с диаметром на 11,5% большим, чем высота.

Стоит отметить, что в этом варианте оптимизационной задачи применение аналитического способа невозможно. Этому препятствует использование функции Ceil пакета Mathcad, которая делает толщину стенки бака кратной 1 мм, что, в свою очередь, приводит к ступенчатости графической зависимости суммарных затрат от диаметра бака.

1.4. Выводы

В данной главе был рассмотрен пример решения оптимизационной задачи по выбору соотношения размеров бака. Были рассмотрены различные способы проведения оптимизационных расчетов в пакете Mathcad, описаны их достоинства и недостатки.

На основе рассмотрения различных вариантов критериев оптимизации было показано, что решение оптимизационной задачи зависит от выбора целевой функции. При различных критериях оптимизации решения задачи оптимизации могут значительно отличаться.

1 Независимость оптимального соотношения диаметра и высоты бака будет выведена более строго далее.

жүктеу/скачать 101.25 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: