Николай иванович лобачевский

Создание первой неевклидовой геометрии Лобачевским оказало самое существенное воздействие на развитие математики, на переход ее на новые современные основы. Лобачевского сравнивают и с Колумбом, открывателем новых земель, и с Коперником, преобразовавшим взгляды современников на строение Вселенной, лишившим землю ее центрального неподвижного положения. По существу новая геометрия произвела коренной переворот в установившихся на протяжении тысячелетий взглядах на пространство: она отняла у евклидовой геометрии ее привилегированное положение единственной геометрической системы, открыла путь теориям кривых пространств. Существование различных геометрических систем поставило проблему теоретического обоснования математики. С другой стороны, потребовались экспериментальные исследования глубоких свойств реального физического пространства. Сам Лобачевский проверял применимость своей геометрии к физическому пространству, опираясь на известные в его время данные точнейших астрономических наблюдений, а также ее действенность в других разделах математики. Он высказал замечательные мысли, что геометрические свойства должны находиться в зависимости от движения материи и действующих сил. Эти предвидения получили впоследствии обоснование в общей теории относительности Эйнштейна.

Гениальный ученый был в то же время выдающимся деятелем высшего образования и просвещения. Он вел обширную преподавательскую и организаторскую деятельность на протяжении более сорока лет. Громадный труд он вложил в развитие и строительство Казанского университета, в улучшение университетского образования, в постановку и совершенствование преподавания в гимназиях, училищах и начальных школах. Во всестороннем развитии науки и культуры он видел свой главный долг, долг ученого перед народом. Несмотря на множество различных дел и обязанностей, основной линией его жизни была неутомимая борьба за научную истину, за новые геометрические идеи, оставшиеся непризнанными при его жизни, но принесшие ему посмертно великую славу и вместе с тем великую славу русской науке.

Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря" н. с.) 1792 г. в Нижнем Новгороде в семье губернского регистратора межевой конторы Ивана Максимовича Лобачевского. У Н.И. Лобачевского было два брата: старший Александр и младший Алексей. Мать – Прасковья Александровна в 1802 году привезла своих сыновей в Казань и устроила их учиться в гимназии на казенный счет (тогда это была единственная гимназия в громадном учебном округе). В старших классах его учителями были Н.М. Ибрагимов и Г.И. Корташевский. Лобачевского считали одним из лучших учеников и в 1806 г. после окончания учебного года он был награжден похвальным листом и намечен к переводу в студенты университета. Однако отобранных учеников оставили в гимназии до декабря 1806 г. для усовершенствования в языках и только после экзамена их перевели в студенты. С января 1807 г. четырнадцатилетний Лобачевский значится казенным студентом Казанского университета, начавшего третий год своего существования (указ об открытии – 5(17) ноября 1804 г., начало занятий – февраль 1805 г.). Здесь Лобачевский проявил особую склонность к физико-математическим наукам и, по отзывам М.Ф. Бартельса, И.А. Литтрова, Ф.К. Броннера и других профессоров, обнаружил выдающиеся способности. Но его живой характер и независимое поведение не раз вызывали раздражение администрации, он получал выговоры, бывал заключен в карцер, его имя вносилось на черную доску провинившихся. В итоге, после окончания университета в 1811 году, он не оказался в числе лучших студентов, проводимых в магистры. Только совместное заступничество его учителей изменило положение.

В качестве магистра он изучает под руководством М.Ф. Бартельса классические работы Гаусса по теории чисел и Лапласа – по небесной механике. Представив в 1814 г. два научных исследования, он становится адъюнкт-профессором, что эквивалентно современному доценту, и начинает вести самостоятельно преподавание, а в 1816 г. он получает звание экстраординарного профессора, и расширяет круг своего преподавания.

Однако вскоре в университете создалась очень тяжелая для работы обстановка. В целях борьбы с революционными настроениями и свободомыслием, развивавшимися в те годы в среде интеллигенции, правительство Александра I все больше опирается на религию, на мистико-христианские учения и с этих позиций религиозности и верноподданичества подвергает проверке деятельность университетов. В 1819 г. обследование Казанского университета проводил М.Л. Магницкий, в прошлом сторонник прогрессивных реформ, а в эти годы уже реакционер и карьерист, который нашел, что университет "причиняет общественный вред полуученостью образуемых им воспитанников..., особенно же противном религии их духом деизма". В своем заключении он рекомендовал университет закрыть, однако вместо этого Александр I назначил М.Л. Магницкого попечителем Казанского учебного округа и поручил ему "обновление университета". Семь лет длилось в университете действие созданной им церковно-полицейской системы. Многие профессора были уволены, ряд книг изъят из библиотеки для сожжения, введено преподавание "богопознания и христианского учения", в аудиториях были вывешены религиозные тексты. Были присланы инструкции для преподавания всех наук в религиозном духе.

Но эта удручающая обстановка не сломила молодого профессора. Он занимается и педагогической, и административной, и научной деятельностью. В связи с отъездом М.Ф. Бартельса и Ф.К. Броннера он ведет и математические курсы, и физику, и механику. Когда астроном И.М. Симонов отправляется с экспедицией Беллинсгаузена в Антарктику, Лобачевскому приходится заведовать обсерваторией и читать астрономические курсы. Его избирают деканом факультета, ему поручают упорядочение библиотеки и он отправляется в Петербург для отбора и закупки новейших книг для библиотеки и научной аппаратуры для физического кабинета. Он активный член, а затем и председатель строительного комитета (в эти годы строился главный корпус университета). Его ценят как разностороннего деятельного эрудированного ученого. Однако поскольку Лобачевский стоял на строго научных позициях, не желая подчиняться проникнутым религиозным духом указаниям, а также присоединяться к всеобщим восхвалениям попечителя, у него в этот период учащаются столкновения с Магницким. Лобачевского обвиняют в своеволии, в неподчинении инструкциям.

Несмотря на обилие дел и обязанностей, на необходимость подготовки к новым лекционным курсам и создавшуюся сложную обстановку, Лобачевский продолжал неустанно работать над строгим построением начал геометрии. Первые следы этих исследований видны в студенческих записях лекций Лобачевского по геометрии за 1817год. В 1823 г. он составил учебник "Геометрия", где отказался от попыток доказательства постулата параллельности Евклида, и "Обозрение преподавания чистой математики" на 1822-1823 и на 1824-1825 гг., где он писал, что "параллелизм линий представляет трудность до сих пор непобедимую", однако в обозрении 1824-1825 гг. он обошел этот вопрос молчанием. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, Лобачевский приходит к созданию новой геометрии, более общей, чем евклидова. Он представил рукопись своего сочинения для публикации на французском языке и сделал о нем доклад. Сочинение называлось "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теории о параллельных". Опубликовано оно было позднее в "Казанском вестнике" в 1829 и 1830 гг. в дополненном виде под названием "О началах геометрии". Это был первый в мировой литературе труд по неевклидовой геометрии.

Обычная геометрия, которую преподают в школах, как известно, называется евклидовой по имени древнегреческого математика Евклида, составившего стройное, логически связное изложение основных математических знаний своего времени под названием "Начала" (3 век до н. э.). Более двух тысяч лет "Начала" Евклида служили образцом дедуктивного изложения. Дав определение основных понятий и сформулировав аксиомы и постулаты (в них выражены основные свойства геометрических элементов и величин), он выводит путем логических рассуждений-доказательств разнообразные соотношения и теоремы, характеризующие свойства геометрических фигур. Геометры с давних времен высоко ценили труд Евклида и старались внести в него лишь некоторые улучшения. Но одна из аксиом – аксиома (или постулат) параллельности привлекала особое внимание. Легко показать, что на плоскости существуют непересекающиеся прямые. Например, два перпендикуляра к одной прямой. Такие прямые Евклид назвал параллельными. На плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (например, опустить из этой точки перпендикуляр на данную прямую, а затем в этой точке восстановить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру). Однако предположение, что параллель к данной прямой через данную точку проходит только одна, принято у Евклида за аксиому. Это так называемый пятый постулат, который формулирует требование, чтобы на плоскости две прямые, пересеченные третьей, пересекались друг с другом, если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, т. е. меньше 180°. Многие ученые предполагали, что это можно доказать, исходя из остальных аксиом, а Евклид только не сумел это сделать. Так возникла проблема параллельных. Попытки найти такое доказательство делались начиная с древности сотни раз, но впоследствии всегда обнаруживались ошибки: явно или скрытно использовалась какая-нибудь дополнительная аксиома, равносильная аксиоме параллельности, либо не все возможные случаи подвергались изучению, либо автор совершал грубую логическую ошибку. Лобачевский получил гениальное решение проблемы, создав новую геометрию, в которой нет этой аксиомы. Он доказал, что в основу теории параллелей можно положить более общую аксиому, согласно которой на плоскости имеется бесконечное множество прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую.

Эти прямые заполняют часть пучка прямых с общим центром (которая может быть очень мала по угловым размерам). Крайние из этих прямых и называются параллелями в точке прямой соответственно в двух ее направлениях. Угол (наклон параллели к перпендикуляру) называется углом параллельности; он одинаков для обеих параллелей. Если параллели и сливаются (предельный случай – прямой угол), получаем геометрию Евклида. Если же параллели различны, то получаем геометрию Лобачевского, в которой непересекающихся прямых бесконечное множество (остальные непересекающиеся называются расходящимися). Эта геометрия богаче по содержанию и сложнее евклидовой.

Лобачевский детально разработал свою геометрию, нашел тригонометрические соотношения между сторонами и углами треугольника, изучил простейшие кривые – аналоги окружностей – предельную линию (окружность бесконечно большого радиуса) и эквидистанту (образована точками, удаленными от прямой на постоянное расстояние), ввел различные системы координат, нашел формулы для вычисления площадей и объемов.

В соответствии со своим материалистическим подходом к изучению природы он сделал вывод, что только научный опыт может выявить, какая из логически возможных геометрий действует в физическом пространстве. Появление новой геометрии опровергло идеалистическую философскую трактовку Кантом пространства как формы нашего восприятия. Согласно Канту человек постигает свойства пространства единственно по законам евклидовой геометрии. Подтвердилось положение материалистической философии – пространство является объективной формой существования материи и требуется изучать, какая геометрия эти свойства правильно описывает.

Лобачевский использовал новейшие данные астрономических наблюдений годичных параллаксов звезд (впервые измеренных в эти годы), позволяющие определять расстояния от Земли до звезд. Но даже в треугольниках космических размеров отклонения от геометрии Евклида не проявились, или точнее, если они и существуют, то лежат в пределах ошибок измерений. Поэтому для практических целей вполне пригодна более простая геометрия Евклида.

Но вместе с тем Лобачевский показал, как его геометрия может применяться в математическом анализе при вычислении определенных интегралов, которые нужны и в механике, и в физике, и в технике, обеспечив этим ее право на существование, поскольку она приносит уже пользу в математике.

Новая геометрия была создана на основе глубокого анализа самых начальных положений науки, на основе разработки общей теории параллельных прямых, когда ограничение Евклида – пятый постулат – отброшено.

Лобачевский не только в геометрии, но и в других областях математики получил важные новые результаты: он четко разграничил непрерывность и дифференцируемость функции, рассмотрел понятие функции во всей его общности, провел тонкие исследования по сходимости рядов и по тригонометрическим рядам; им получены также ценные результаты в области алгебры (в частности, новый способ вычисления корней уравнений) и теории вероятностей.

Доклад о новой геометрии совпал по времени с падением Магницкого: он был смещен и выслан после ревизии, выявившей ряд злоупотреблений. Новый попечитель учебного округа М.Н. Мусин-Пушкин оценил деятельность и энергию Лобачевского, и в 1827 г. его избрали ректором университета. В этой должности он последовательно переизбирался на протяжении 19 лет, отдавая университету все свои силы и знания.

Лобачевский стремился провести в жизнь передовую программу университетского образования; Представление о его педагогических установках, о его философских и общественных взглядах и о целях воспитания и высшего образования дает его замечательная речь "О важнейших предметах воспитания", произнесенная им через год после вступления на пост ректора. В ней высказаны в яркой впечатляющей форме глубокие мысли об общественном значении воспитания и образования, обрисована картина гармонического и всестороннего развития человеческой личности. Лобачевский резко осуждает нередко встречающееся невежество крепостнического дворянства и бюрократического чиновничества. Для невежд "мертва природа, ...чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков". И Лобачевский говорит: "Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если, к несчастью, уже родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства". Он отмечает особые "блистательные" успехи наук физических и математических, достигнутые в последнее время, называя их "славой нынешних веков, торжеством ума человеческого". Лобачевский объясняет эти успехи применением теоретико-экспериментального метода, изложенного им от лица Ф. Бэкона следующим образом: "Оставьте, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно". В заключение Лобачевский высказывает мысли о долге ученого перед своей страной и народом, о великом и счастливом будущем своего отечества.

За годы своего ректорства ученый добился подлинного расцвета Казанского университета. Он прекрасно понимал, что одного учебного корпуса без оборудованных учебно-вспомогательных заведений недостаточно для развития науки и для подготовки знающих специалистов. Поэтому он начал строительство астрономической и магнитной обсерватории, анатомического театра, клиники, здания физического кабинета и химической лаборатории, библиотеки (уже будучи ректором он продолжал в течение 8 лет сам руководить библиотекой).

На университетском участке возник один из самых гармоничных и красивых архитектурных ансамблей в стиле русского классицизма (архитектор М.П. Коринфский). Уровень научной и учебной работы был существенно поднят. Организовывались научные экспедиции, постоянное внимание уделялось подготовке молодых ученых – способных выпускников посылали в важнейшие научно-учебные заведения России и за границу. Лобачевский понимал всю важность развивающихся связей России с государствами Востока и поэтому принимал непосредственное участие в расширении "Восточного разряда". Ряд воспитанников был отправлен в длительные путешествия по Монголии, Китаю, Тибету, Персии, Турции и Египту. Ранее имелась только арабо-персидская кафедра. Постепенно были открыты кафедры турецко-татарского, монгольского, китайского, армянского языков и санскрита. Создалось богатейшее собрание книг и рукописей, привезенных из экспедиций. К середине XIX века в Казани сложился один из важнейших центров востоковедения, но за год до смерти Лобачевского "Восточный разряд" по распоряжению правительства был присоединен к Петербургскому университету.

Журнал смешанного содержания "Казанский вестник" был Лобачевским преобразован в строго научные "Ученые записки Казанского университета", причем он сам в предисловии к первой книге записок (1834 г.) рассказал о целях этого издания.

Его забота об университете особенно ярко проявлялась в моменты стихийных бедствий. В 1830 году началась страшная эпидемия холеры. Однако Лобачевский изолировал территорию университета, проводил дезинфекцию, принял лечебные меры и в итоге сумел уберечь почти всех сотрудников и студентов. В 1842 году в Казани разбушевался огромный пожар и, когда огонь стал приближаться к университету, Лобачевский организовал спасение астрономических инструментов и книг, причем ему удалось отстоять совместно со студентами от огня почти все университетские здания, кроме обсерватории и своей ректорской квартиры.

Как ректор Лобачевский немало сил и внимания уделял руководству гимназиями, училищами и школами учебного округа. Нередко он сам проводил обследования, давал советы, посылал инструкции. Он стремился нести знания и культуру в возможно более широкие слои населения вопреки правительственным установкам, требовавшим сословных ограничений. Своими указаниями он стремился вовлечь учителей в совершенствование преподавания, в наставлениях рекомендовал учитывать возрастные особенности детей, в математике начинать с наглядно-осязательного подхода, стремиться постепенно развивать способность суждения, связывать свои уроки с вопросами жизненной практики. Он написал два учебника для гимназий: "Геометрия" (1823) и "Алгебра" (1825), но оба при его жизни не были изданы.

Несмотря на большую занятость административной работой, он продолжал преподавание в университете, читая курсы механики, гидростатики и гидравлики, математического анализа, дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, вариационного исчисления, теории вероятностей. В 1838-1840 гг. Лобачевский читал научно-популярные лекции для населения. Он открыл свободный доступ в библиотеку и в музеи университета.

По воспоминаниям его ученика профессора А.Ф. Попова, "в аудитории профессор Лобачевский умел быть глубокомысленным или увлекательным, смотря по предмету изложения. Вообще разговорный слог его не походил на письменный. Между тем как в сочинениях своих он отличался слогом сжатым и не всегда ясным, в аудитории он заботился об изложении со всею ясностью, решая сначала частные задачи по способу синтетическому, а потом доказывая общие предложения по способу аналитическому; он мало заботился о механизме счета, но всего более о точности понятия. Он чертил на доске не скоро, старательно, формулы писал красиво, дабы воображение слушателей воспроизводило с удовольствием предметы преподавания; любил более сам учить, нежели излагать по авторам, предоставляя слушателям самим познакомиться с подробностями учебной литературы". Под его суровой внешностью скрывались доброта, отзывчивость, внимательное отношение к учащейся молодежи. Он нередко лично помогал бедным юношам, стремящимся поступить в университет.

Несмотря на обширные ректорские и профессорские обязанности, Лобачевский всегда находил время для глубоких научных исследований, для работ, развивающих его геометрические идеи или другие области математики. Он настолько обогнал свою эпоху, его научные результаты были так новы и непривычны, что современники за редчайшими исключениями не смогли понять его и правильно оценить. Его работа "О началах геометрии" (1829-1830 гг.) была представлена в 1832 г. в Академию наук. Но даже выдающийся математик академик М. В. Остроградский написал о ней отрицательный отзыв, а в 1834 г. в реакционном журнале Ф. Булгарина "Сын Отечества" появилась издевательская анонимная статейка, в которой неизвестный рецензент писал, что книга Лобачевского "...не много бы принесла чести и последнему приходскому учителю. Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего". Лобачевский послал в редакцию журнала свои объяснения и возражения, но они не были опубликованы.

Встретив непонимание и даже издевательства, ученый не прекратил своих исследований. В 1835 г. в "Ученых записках" появляется "Воображаемая геометрия" (так он назвал свою геометрию), а в 1836 г. – "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам". С 1835 по 1838 г. печатается его самая большая работа "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". В 1837 г. в немецком журнале Крелле он публикует несколько отличный от оригинала французский перевод "Воображаемой геометрии", а в 1840 г. на немецком языке выходят в Германии его "Геометрические исследования по теории параллельных линий", содержащие краткое и ясное изложение основных положений новой геометрии. Эта открытая и стойкая борьба за свои идеи, за научную истину резко отличает Лобачевского от двух его современников, тоже пришедших к идеям неевклидовой геометрии. Один из них – замечательный венгерский математик Янош Бойаи независимо от Лобачевского оригинальным путем пришел к новому учению о пространстве, получив те же основные начальные результаты. Свою работу он опубликовал на латинском языке в виде прибавления ("Appendix") к первому тому книги своего отца Фаркаша Бойаи, являющейся обширным курсом математики для юношества (в двух томах). Первый том вышел из печати в 1832 г., то есть на 2 года позднее, чем исследование Лобачевского. Не встретив одобрения и поддержки, Я. Бойаи прекратил дальнейшую разработку этих вопросов.

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777- 1855 гг.), как выяснилось из опубликованных посмертно его записей и переписки, много раньше получил ряд соотношений неевклидовой геометрии, но запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания о его взглядах. Он высоко оценил в своих письмах друзьям геометрические работы Лобачевского, который, по его предложению, был избран в 1842 г. в Геттингенское общество наук иностранным членом-корреспондентом, но ни одним словом в печати Гаусс не высказался о его работах.

Почему Гаусс не опубликовал своих исследований по новой геометрии? Возможно, что еще не был уверен в отсутствии противоречий в неевклидовой геометрии или же, судя по его письмам, не хотел рисковать своим покоем.

Весьма вероятным представляется объяснение, данное А.П. Норденом: Гаусс придерживался кантианских идеалистических взглядов и евклидову геометрию считал формой нашего восприятия пространства. Поэтому, даже получив ряд теорем новой геометрии, он не мог долго с ней примириться, так как возникал вопрос о проверке опытом, то есть об объективном характере пространственных свойств, а это, по мнению Гаусса, снижало геометрию, переводило ее из области чистой математики в ранг экспериментальных наук, подобных механике.

Только два положительных отзыва современников получило открытие Лобачевского. В мае 1842 года в своей актовой речи профессор Казанского университета П. И. Котельников выразил уверенность, что этот изумительный труд рано или поздно найдет своих ценителей (и действительно, в ноябре того же года Лобачевский по рекомендации Гаусса был избран в Геттингенское общество наук). Второй отзыв не дошел до Лобачевского. Фаркаш Бойаи опубликовал в 1851 году на немецком языке небольшую книгу, в которой сравнивал результаты Лобачевского с работой своего сына, удивляясь появлению столь необычных идей в разных странах у двух ученых, не знавших друг друга.

Плодотворная деятельность великого геометра в Казанском университете, длившаяся более 35 лет, не нашла заслуженной оценки у правительства Николая I. Вскоре после перевода Мусина-Пушкина в Петербург Лобачевский был фактически в 1846 году отставлен от работы в университете. Внешне он получил повышение – его назначили помощником нового попечителя округа, но он лишился ректорства, а на кафедру математики он еще до этого рекомендовал своего ученика, талантливого учителя гимназии, защитившего докторскую диссертацию, А.Ф. Попова. Таким образом, он почти потерял возможность действенно участвовать в жизни университета, вести работу, которой посвятил свою жизнь.

Но ни эти печальные обстоятельства, ни продолжавшееся непонимание его идей современниками, ни материальные невзгоды (он женился в 1832 году и семейство его разрасталось) и семейное несчастье (умер в 1852 году его любимый сын-студент), ни даже развивающаяся слепота не сломили его мужественного духа. Свой последний труд, посвященный 50-летию родного ему университета, он создал за год до смерти, причем вынужден был его диктовать.

Своей геометрии он дал новое имя – "Пангеометрия", "потому что это название означает геометрию в обширном виде, где обыкновенная геометрия будет частный случай". Лобачевский скончался 12 (24) февраля 1856 года так и не признанным современниками. Лишь в последующие десятилетия его идеи получили поддержку и развитие, и его имя утвердилось в науке как имя первого создателя неевклидовой геометрии.

Потребовалось несколько десятилетий дальнейшего развития математических наук для правильной оценки идей Лобачевского, чтобы на основе связи между различными разделами математики стала ясной непротиворечивость новой геометрии.

Первые признаки интереса к работам Лобачевского появляются через 10-12 лет после его смерти. Издаются переводы и изложения отдельных его работ во Франции, Италии и Германии, а в России публикуется перевод на русский язык его "Геометрических исследований". Но важное значение его идей для дальнейшего развития математики выявилось лишь к концу XIX века, основную роль в доказательстве непротиворечивости неевклидовой геометрии сыграли работы математиков: Е. Бельтрами (1868), опиравшегося на труды Ф. Миндинга (1840), А. Кэли (1859), Ф. Клейна (1871) и А. Пуанкаре (1882). Так, в частности, Бельтрами показал, что в евклидовом пространстве на кривых поверхностях определенного типа (поверхности постоянной отрицательной кривизны) геометрия фигур, образованных геодезическими (то есть кратчайшими линиями), является геометрией Лобачевского. Поэтому любое противоречие в этой геометрии повлекло бы за собой и противоречие в евклидовой геометрии. Другого рода модель (или, как говорят, интерпретацию) для новой геометрии построил Ф. Клейн. Он опирался на проективные свойства фигур, причем прямые изображались хордами, лежащими внутри заданного конического сечения, а расстояния и углы выражались в так называемой проективной метрике Кэли через ангармонические отношения четверок точек или прямых. А. Пуанкаре нашел в 1882 году конформную интерпретацию геометрии Лобачевского. Прямые в ней изображаются дугами окружностей, пересекающими ортогонально данную окружность – абсолют и лежащими внутри нее. Расстояния выражаются через ангармонические отношения, а углы реализуются в натуральную величину. Эту модель он применил к разработке теории важного класса функций комплексного переменного, называемого автоморфными функциями, имеющего приложения в механике и физике.

Торжественно отметил Казанский университет 100-летний юбилей великого ученого. И университет, и Казанское физико-математическое общество под председательством А.В. Васильева провели большую работу по выявлению значения открытия Лобачевского и распространению его идей. Были изданы его геометрические труды (1883, 1886 гг.), учреждена международная премия его имени, а в 1896 году ему был воздвигнут памятник работы скульптора Марии Диллон. Лауреатами премии имени Лобачевского стали в последующие годы крупнейшие геометры мира С. Ли, В. Киллинг, Д. Гильберт, Г. Вейль и Э. Картан. Специальная премия для советских ученых была присуждена В.В. Вагнеру (Саратов). После войны АН СССР учредила новую премию имени Лобачевского и ею были награждены А.Д. Александров, Н.В. Ефимов, А.В. Погорелов, Л.С. Понтрягин, X. Хопф и П.С. Александров.

Полное собрание научных работ Н.И. Лобачевского удалось издать лишь после Великой Октябрьской социалистической революции. Оно вышло в пяти томах, с 1946 по 1951 г., под редакцией В.Ф. Кагана, причем в составлении комментариев приняла участие большая группа ученых из Москвы и Казани. Дополнительный том "Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма" был издан в 1976 году.

Появление неевклидовой геометрии и создание ряда ее интерпретаций, благодаря которым вопрос о ее непротиворечивости был сведен к проблеме непротиворечивости другой более разработанной теории (евклидовой геометрии), оказало громадное влияние на выработку современного аксиоматического метода, необходимого для строгого обоснования и систематического развития того или иного раздела математики. Следует отметить, что в работах Г. Гельмгольца и С. Ли выделение неевклидовых пространств Лобачевского (или гиперболического) и Римана (или эллиптического), а также евклидова из более общих кривых римановых пространств основывалось на требованиях групповой природы движений и свободной подвижности.

Последующие работы М. Паша, Д. Пеано, Д. Веронезе и других как бы завершились "Основаниями геометрии" Д. Гильберта (1899), где была дана хорошо придуманная полная аксиоматика евклидовой геометрии, одна из наиболее употребительных в настоящее время, в которой вопрос о непротиворечивости геометрии сведен к непротиворечивости арифметики.

Важное новое направление развития учения о кривых пространствах было создано Бернгардом Риманом (1854 г., опубликовано в 1868 г.), который, опираясь на идеи Гаусса о внутренней геометрии поверхности, дал им дальнейшее развитие в случае пространства n измерений. Свойства этих римановых пространств выводятся из заданной квадратической формы, выражающей квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками. Пространство Лобачевского (гиперболическое), Евклида и эллиптическое (Римана) являются важными, но частными случаями римановых пространств, когда кривизна последних постоянна. В разработке геометрии римановых пространств с конца 1860-х годов приняли участие ряд выдающихся геометров.

Одним из первых был казанский математик Ф.М. Суворов, изучивший в своей магистерской диссертации инварианты трехмерных римановых пространств (1871 г.). В области собственно геометрии Лобачевского следует также указать на работы казанских геометров А.П. Котельникова, заложившего основы механики неевклидовых пространств, и П.А. Широкова, разрешившего ряд проблем геометрии и механики этих пространств. Вопросы геометрии в целом, касающиеся свойств выпуклых поверхностей в пространстве Лобачевского, а также свойства поверхностей отрицательной кривизны были исследованы в ряде работ советских геометров А.Д. Александрова, А.В. Погорелова, Н.В. Ефимова, Э.Г. Позняка и др.

Особенный интерес геометрия римановых пространств стала вызывать, когда она была принята А. Эйнштейном как математическая основа общей теории относительности (1915 г.) и, таким образом, выявилось ее крайне важное значение для механики и физики. Геометрия этих и других обобщенных пространств стала успешно развиваться во многих научных центрах Западной Европы, США и СССР. В частности, в Казани тоже сложилась современная научная геометрическая школа, начало которой положено в первые послереволюционные годы работами П.А. Широкова, а затем и его учеников: И.П. Егорова, А.3. Петрова (лауреат Ленинской премии 1972 г.), П.И. Петрова и др. С 1945 года кафедру геометрии возглавлял воспитанник МГУ А.П. Норден, причем исследования, проводившиеся им и его учениками А.П. Широковым, В.И. Шуликовским, В.И. Ведерниковым, В.В. Вишневским и другими, относились к тому же научному направлению. С 1980 г. кафедрой заведует А.П. Широков.

Остановимся в заключение на некоторых применениях, которые находит геометрия Лобачевского. Ранее уже было упомянуто, что Лобачевский использовал свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы координат к другой в своем пространстве, он вычислил таким образом значения более 200 различных интегралов, важных для физики, механики, техники. Другое важное приложение в анализе эта геометрия находит в теории автоморфных функций, которая развивается и в настоящее время, следуя методу, указанному А. Пуанкаре.

Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено русским физиком А.А. Фридманом (1898-1925), нашедшим в 1922 г. решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная как материальная система расширяется. Это неожиданное заключение впоследствии, в 1929 году, было подтверждено наблюдениями астронома Хаббла, обнаружившего разбегание туманностей. Метрика, найденная Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Может быть, наиболее важное приложение геометрии Лобачевского связано с рассмотрением в теории относительности пространства относительных скоростей. Оказалось, что это пространство является пространством Лобачевского (Ф. Клейн, А. Зоммерфельд, А.П. Котельников). Эту связь стали успешно использовать физики-теоретики из Института ядерных исследований в Дубне – Н.А. Черников, Я.И. Смородинский и другие – при разработке вопросов физики элементарных частиц и ядерных реакций. Таким образом, "воображаемая" геометрия оказалась весьма действенным инструментом в развитии проблем ядерной физики.

И если научные идеи великого ученого не были поняты современниками, подвергались даже насмешкам, несмотря на его упорные попытки разъяснить и доказать их истинность, то впоследствии они утвердили его имя как борца и революционера в науке, смелые идеи которого разрушили казавшиеся незыблемыми тысячелетние устои геометрии и во многом определили дальнейшее развитие физико-математических наук.