"Обратные тригонометрические функции"

1. Обратные тригонометрические функции

2000

Содержание

(1) если sinx = a , то x = (-1)^k arcsin a + π k;

(2) если cosx = a , то x = ±arccos a + 2π k;

(3) если tgx = a , то x = arctg a + π k;

(4) если ctgx = a , то x = arcctg a + π k, k ? Z.

Формулы (3) и (4) особых трудностей при использовании не вызывают, так как тригонометрические функции y=tgx и y=ctgx в своих областях определений монотонны (то есть имеют один характер изменения функции: тангенс возрастает, а котангенс убывает). По этой причине в пределах своего наименьшего периода, равного π (для тангенса и для котангенса ), эти функции принимают все свои значения по одному разу.

Формулы (1) и (2) представляют собой объединения двух решений: для четного и нечетного k в формуле (1) и для разных знаков плюс и минус в формуле (2). Объединения двух решений сделаны для удобства при получении сразу всех решений; однако, при этом надо иметь ввиду, что в пределах наименьшего периода для функций y=sinx и y=cosx, равного 2π, есть частные значения функций, равные ±1, которым соответствуют по одному значению аргумента. Так, например, если sinx=1, то x=π/2 + 2πn, n ? Z; если sinx=-1, то x=3π/2 + 2πp, p ? Z; если cosx=1, то x=2πm, m ? Z; если cosx=-1, то x=π + 2π k, k ? Z.

В дополнение к формулам (1)?(4) удобно использовать еще одну обобщенную формулу для любых тригонометрических функций, если они встречаются в простейших тригонометрических уравнениях во второй степени. Пусть f ² (x)=а, где f(x) – любая тригонометрическая функция; тогда:

Например, пусть tg ²x=3, тогда

Справедливость формулы (5) можно подтвердить для каждой тригонометрической функции непосредственно, учитывая, что

О наличии формулы (5) можно догадаться и из общих соображений: во-первых, наименьший период для четных функций |sinx|, |cosx|, |tgx| и |ctgx| равен ? (аргумент меняется от -?/2 до ?/2); во-вторых, раскрытие модуля в соотношении (6) предполагает два решения с разными знаками.

При использовании формулы (5) надо, конечно, иметь ввиду, что из соотношения f²(x)=0 следует f(x)=0 и далее используются формулы (1)?(4). Например, пусть ctg²x=0, тогда ctgx=0 и x=π/2+πk, k?Z, а не x=?π/2+πk (если использовать механически формулу (5)). В последнем выражении одни и те же углы по сути перечисляются дважды. Если ?²(x)=1, где ?(x) – синус или косинус, то ?(x)=?1 и надо учитывать, что частные значения, равные ?1, для синуса и косинуса встречаются в пределах наименьшего периода этих функций, равного 2?, по одному разу. Например, пусть sin²x=1, тогда sinx=?1 и имеем два решения: x₁=π/2+2πm, m?Z; и x₂=3π/2+2πp, p?Z. Эти решения можно объединить, что дает x=π/2+πn, n?Z, а не x=?π/2+πn, что опять-таки перечисляет каждый угол дважды. В случае, если cos²x=1, то cosx=?1, что дает два решения: x₁=2πk, k?Z; и x₂=π+2πp, p?Z; которые можно объединить: x=πm, m?Z. Использование формулы (5) дает совпадающий результат, но это возникает по той причине, что слагаемое ?arccos1 равно нулю и в ответе, естественно, опускается.

§2. Определение обратных тригонометрических функций
Вспомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, рассматривая их как функции, называемые обратными тригонометрическими. Итак, арксинусом числа а называется такое число b из отрезка [-?/2; ?/2], синус которого равен а, то есть:

7. 
   arcsin a=b,
   
8. 
   где b ? [-?/2; ?/2],
   
9. 
   причем sin b=a,
   
10. 
    и a ? [-1; 1].
    

7. 
   y=arcsinx,
   
8. 
   где D(f): x ? [-1; 1],
   
9. 
   а E(f): y ? [-?/2; ?/2].
   

7. 
   x=siny.
   

Рис. 1

Если рассматривать функцию y=sinx во всей ее области определения, то обратная ей функция в силу периодичности прямой функции будет многозначна и обозначается в этом случае как ; . Но поскольку мы ограничиваемся изучением однозначных функций, то рассматриваем функцию y=arcsinx как главное значение функции y=Arcsinx (при этом в вышеприведенном соотношении n=0) и считаем, что ее множество значений ограничено промежутком [-?/2; ?/2], который мы получаем, рассматривая прямую функцию y=sinx на участке, где она монотонна. Из определения обратной тригонометрической функции y=arcsinx следует, что:

(15) sin (arcsinx) = x, |x| ? 1;

(16) arcsin (sinx) = x, |x| ? ?/2;

(17) arcsin (cosx) = ?/2-x, 0 ? x ? ?.

Из рис. 1 видно, что функция y=arcsinx является нечетной. Это обстоятельство можно доказать и аналитически, исходя из определения нечетной функции (f(-x) = -f(x)). Итак, докажем, что:

(18) arcsin (-x) = -arcsinx, |x| ? 1.

Рассмотрим синусы обеих частей равенства (18): sin (arcsin (-x)) = sin (-arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arcsin(-x))=E(-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|?1. Учитывая соотношение (15) и то обстоятельство, что синус является функцией нечетной, имеем: -x = -sin (arcsinx), -x = -x, что и доказывает справедливость соотношения (18).

Исходя из определений арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, можно рассмотреть обратные тригонометрические функции y=arccosx, y=arctgx и y=arcctgx. Кстати, они еще носят название аркфункций или обратных круговых. При этом вводятся в рассмотрение главные значения обратных тригонометрических функций, которыми и пользуются повсеместно, так как ограничиваются изучением однозначных функций. Мы будем при определении обратных тригонометрических функций исходить из свойств хорошо известных прямых тригонометрических функций, используя при этом симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (прямая у=х), а также свойство сохранения характера монотонности прямой функции и ей обратной.

Рассмотрим обратную тригонометрическую функцию y=arccosx. Для этого из области определения прямой функции y=cosx выбираем участок монотонности, равный промежутку [0; ?]. Здесь прямая функция убывает; стало быть, и обратная ей функция y=arccosx также будет убывающей, имея множество значений, равное промежутку [0; ?], численно совпадающее с участком монотонности прямой функции, то есть E(arccosx): y?[0; ?]. Множество значений прямой функции, равное промежутку [-1; 1], переходит в область определения обратной тригонометрической функции y=arccosx, то есть D(arccosx): x?[-1; 1]. На рис. 2 график прямой функции y=cosx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arccosx – сплошной линией.

Симметричность прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается следующим образом: а) обе функции пересекаются в точке, лежащей на прямой у=х; б) верхняя часть обратной функции (выше точки пересечения с прямой у=х) симметрична нижней части графика прямой функции (ниже точки пересечения с прямой у=х); в) нижняя часть графика обратной функции симметрична верхней части графика прямой функции.

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

19. 
    y=arccosx,
    
20. 
    где D(f): x ? [-1; 1],
    
21. 
    а E(f): y ? [0; ?].
    

22. 
    cos (arccosx) = x, |x| ? 1;
    
23. 
    arccos (cosx) = x, 0 ? x ? ?;
    
24. 
    arccos (sinx) = ?/2-x, |x| ? ?/2.
    

(25) arccos (-x)=?-arccosx, |x| ? 1.

Доказательство: рассмотрим косинусы обеих частей равенства (25): cos(arccos (-x))=cos(?-arccosx). Эта операция будет однозначной, так как функции, стоящие в обеих частях исходного соотношения, монотонны при |x|?1, а их множества значений совпадают, то есть E(arccos(-x))=E(?-arccosx). Учитывая соотношение (22), имеем: -x=-cos(arccosx), -x=-x, что и доказывает справедливость формулы (25).

Рассмотренные обратные тригонометрические функции y=arcsinx и y=arccosx связаны между собой соотношением:

Доказательство: перепишем соотношение (26) в виде: arccosx = ?/2–arcsinx. Рассмотрим косинусы обеих частей этого равенства: cos(arccosx)=cos(?/2 – arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arccosx)=E(?/2-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|?1. С учетом соотношений (22) и (15) имеем: x = sin (arcsinx), x=x, что и доказывает справедливость соотношения (26).

Рис. 3

(27) arctg (-x) = -arctgx, x ? R,

что нетрудно также доказать и аналитически, как это было сделано при обосновании формулы (18).

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

(28) y=arctgx,

(29) где D(f): x ? R,

30. 
    а E(f): y ? (-?/2; z/2).
    

30. 
    tg (arctgx) = x, x ? R;
    
31. 
    arctg (tgx) = x, |x| < ?/2;
    

Рис. 4

(34) arcctg (-x)=?-arcctgx, x?R,

которое доказывается аналогично тому, как это было сделано для функции

y=arccosx (формула (25)).

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

(35) y=arcctgx,

(36) где D(f): x?R,

(37) а E(f): y ? (0; ?).

Из определения обратной тригонометрической функции y=arcctgx следует, что:

38. 
    ctg (arcctgx) = x, x ? R;
    
39. 
    arcctg (ctgx) = x, 0 < x < ?;
    
40. 
    arcctg (tgx) = ?/2-x, |x| < ?/2.
    

38. 
    arctgx+arcctgx=?/2,
    

Функции, обратно пропорциональные синусу и косинусу, носят соответственно названия косеканса и секанса (то есть: 1/(sinx)=cosecx и 1/(cosx)=secx). Обратные тригонометрические функции y=arccosecx и y=arcsecx употребляются крайне редко и поэтому рассматриваться не будут.

Теперь рассмотрим некоторые соотношения между разными обратными тригонометрическими функциями. Прежде всего, докажем, что:

При доказательстве формулы (43) надо учитывать, что по определению арксинуса а потому левая часть соотношения (43), равная cos(arcsinx), положительна и представляется как что с учетом формулы (15) дает то есть то, что и требовалось доказать. Еще проще устанавливаются закономерности (44) и (45). Например, если в формуле (44): tg (arcctgx)=1/x, то левую часть можно представить как что с учетом соотношения (38) дает 1/x, то есть то, что и доказывает справедливость формулы (44).

Если соотношения (42)?(45) рассматривать с точки зрения определения обратных тригонометрических функций, то получим соответственно формулы, связывающие сходные обратные тригонометрические функции:

В представленных соотношениях области определений заужены по следующим причинам: в формуле (46) функция арккосинус не является нечетной в отличие от функции арксинус, а потому равенство возможно только при ; в формуле (47) множество значений арккосинуса неотрицательно, а поэтому равенство возможно только при ; в формулах (48) и (49) множество значений функции арккотангенс положительно и требует того же от множества значений функции арктангенс, что реализуется при x>0.

Кстати, ограничения x ? 0 в формулах (48) и (49), а также в соотношениях (44) и (45), можно снять, если учесть, что функции y=arctgx и y=arcctgx при x ? ? ? ограничены соответственно величинами -?/2 и ?/2 для арктангенса, а также величинами 0 и ? для арккотангенса.

Теперь представим формулы, которые фиксируют связи между разными обратными тригонометрическими функциями. Итак, имеем:

Покажем справедливость некоторых формул. Рассмотрим соотношение (50): при |x|<1. Возьмем тангенсы от обеих частей доказуемого соотношения:, (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в интервале совпадают). Пусть arcsinx=?, тогда sin ?=x. Итак, имеем Так как то Если 0 < x < 1, то и Если -1 < x < 0, то с учетом нечетности функций y=arcsinx и y=arctgx имеем: что и требовалось доказать.

Рассмотрим формулу (51):

Возьмем котангенсы от обеих частей доказываемого соотношения: (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в полуинтервале совпадают); пусть arcsinx=?, тогда sin ?=x. Итак, имеем: Так как то При положительном x имеем: и что и требовалось доказать. Если x отрицательный, то, учитывая соотношения (18) и (34), имеем: что отличается от формулы (51) при положительном x. Учитывая доказательства формул (50) и (51), нетрудно доказать справедливость соотношений (52) ? (57).

Если стоит обратная задача: установить связь между какими-либо обратными тригонометрическими функциями, то ее всегда можно решить, получив одну из приведенных выше формул. Так, например, получим связь между функциями арккосинус и арктангенс. Итак, пусть arccosx=arctg?, где ? подлежит определению. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: tg(arccosx) = =tg(arctg?)=? (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арктангенс монотонны, а множества их значений совпадают в полуинтервале ). Пусть arccosx=?, тогда cos?=x и надо определить tg?; так как то и (знак плюс берем перед корнем по той причине, что arccosx ? 0 и tg(arccosx)=tg? ? 0). tg?=? и имеем окончательно: при 0 что отличается от формулы (52).

Получим еще связь между функциями арккосинуса и арккотангенса. Итак, пусть arccosx=arcctg?, где ? подлежит определению. Возьмем котангенсы от обеих частей равенства: ctg(arccosx)=ctg(arcctg?)=? (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арккотангенс монотонны, а множества их значений в интервале (0; ?) совпадают). Пусть arccosx=?, тогда cos?=x и надо определить ctg?. Так как то при 0, а потому имеем: то есть При отрицательном x с учетом формул (25) и (34) имеем: то есть полученное соотношение при -1

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями необходимо учитывать при интегрировании с помощью тригонометрических подстановок. Например, найти интеграл с помощью подстановки x=sint. Имеем: t=arcsinx и dx=cost dt, а интеграл при подстановке преобразуется к виду: Используя формулу понижения порядка имеем: (с учетом соотношения (43)).

§4. Производные обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций можно определить, используя правило взятия производной от обратной функции . Например, получим производную от функции y=arcsinx: так как x=siny (из определения функции арксинус), то , где знак перед корнем обусловлен тем, что , а косинус в этом промежутке неотрицательный; далее , то есть:

Второй способ определения производных от обратных тригонометрических функций использует соотношение, вытекающее из определений этих функций, и правило взятия производной от сложной функции (если , а , то есть , то ).

В качестве примера возьмем производную от функции : так как при , то , ,, где знак перед корнем обусловлен тем, что , а синус в это промежутке неотрицательный. Итак, имеем:

Получим производные от функций y=tgx и y=ctgx вторым и первым способом соответственно. Так как tg(arctgx)=x, то , , ; используя известное соотношение , получим: , то есть имеем окончательно:

Если y=arcctgx, то x=ctgy и ; так как , то получаем: ; далее, , то есть имеем:

Рассмотрим несколько типичных задач, в которых используются производные от обратных тригонометрических функций.

Задача 1. Построить график функции

Решение: ОДЗ: решим два неравенства:

итак, ОДЗ: x ? R. Так как по определению арксинуса множеством его значений является промежуток, равный [-?/2;?/2], то график исходной функции будет лежать в этой горизонтальной полосе. Находим производную от исходной функции:

Рис. 5.

Решение: ОДЗ: x ? R; y'>0 при x<-1 и x>1, y'<0 при –1, а в точке x = 1 имеем минимум, равный .

Решение: ОДЗ: -1 ? 3x ? 1, -1/3 ? x ? 1/3; уравнение касательной запишем в виде: где точка касания имеет координаты (x_o; y_o); в нашем случае: тогда имеем: или

метрических функций?

гонометрических функций?

ми функциями одного и того же аргумента?

arcctg(-x) =-arcctg x,

Найдем производные от некоторых сложных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.

Решение:

Решение:

Решение:

Решим некоторые уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Решение: согласно соотношению (26) Обозначим arcsinx=z₁, a arccosx=z₂; тогда будем иметь симметричную (относительно переменных z₁ и z₂) систему:

Используя теорему Виета, получим квадратное уравнение:

Итак, окончательно имеем ответ:

Решение: согласно соотношению (54): тогда имеем: далее, при откуда следует, что при тогда Итак, имеем окончательно ответ:

Пример 6. Решить уравнение:

Решение: согласно соотношению (51) при Тогда имеем: (так как в формуле (51) x неотрицательный, то соответственно и arcsinx будет тоже неотрицательный). Стало быть, что и является окончательным ответом.

Решение: пусть тогда согласно формуле (42): тогда получаем:

Решение: а) ОДЗ: далее имеем:

б) ОДЗ: так как то данное уравнение решения не имеет (х=?).

Упражнение 9. Найти х из уравнений:



Упражнение 10. Что больше х или у, если:





Упражнение 11. Определить х из выражений:



Пример 9. Решить уравнение:

ОДЗ:

Стало быть, ОДЗ состоит из одной точки х=0. Проверим это значение переменной в исходном уравнении: arcsin 1=arccos 1, ?/2=0, что неверно; значит, x=?.

Решение: ОДЗ:

Пусть arcsin2x=?, тогда sin?=2x; если arccos7x=?, то cos?=7x; с учетом введенных обозначений имеем: 2?=?; далее, cos2?=cos? (операция взятия косинуса будет однозначной в промежутке, равном [0; ?] (пересечение множеств значений функций 2arcsin2x и arccosx)). 1-2sin²?=7x, 1-2*4x²=7x, 8x²+7x-1=0, второй корень не входит в ОДЗ; стало быть, x=1/8, что и является окончательным ответом.

Рассмотрим неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.

Решение: Так как при то имеем: . Так как то можно записать: откуда, учитывая, что арксинус есть функция возрастающая, имеем: С учетом D(arcsinx) имеем окончательно:

Для некоторых значений аргумента численные значения обратных тригонометрических функций известны (например, и т.п.). В других случаях ответы записываются в виде arccos1/8, arcctg5 и т.п. Более сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями подлежат упрощению.

Решение: Пусть arctg1/2=?, тогда tg?=1/2. С учетом введенного обозначения ? надо вычислить sin2?. Поскольку то имеем: что и является окончательным ответом.

Решение: Пусть arcsin3/5=?, тогда sin?=3/5;так как E(арксинус)=[-?/2; ?/2], то ? принадлежит первой четверти; более того, (*) ?/6

Результат говорит о том, что искомый угол ?+? лежит во второй четверти, и для его определения надо использовать такую обратную тригонометрическую функцию, которая имеет множество значений, охватывающее вторую четверть. Используем арккосинус: ?+?=arccos(cos(?+?)). Найдем ; так как и ? и ? принадлежат первой четверти, то имеем: тогда а

Решение: Пусть arctg2/3=?, тогда tg?=2/3 и ?/6

Решение: пусть тогда имеем:

Решение: с учетом соотношения (34) будем иметь: вычислим: то есть: arctg3=? и tg?=3, причем ?/3 далее имеем окончательно:

Решение: а) с учетом формул (47), (50) и (51) имеем:

б) с учетом формул (46), (52) и (53), а также соотношения (25) имеем:



Упражнение 20: Выразить данное числовое выражение через значения каждой из трёх других обратных тригонометрических функций:

Упражнение 21: Имеют ли смысл данные выражения:



Пример 17. Чему равен arcsin(sin10) ?

Решение: так как то ибо и можно использовать соотношение (16): arcsin(sinx)=x.

Решение: arccos(cos5)=arccos(cos(2?-(2?-5)))=arccos(cos(2?-5))=2?-5, что удовлетворяет E(арккосинус)=[0;?].

Решение: Функция определена на всей числовой оси, то есть x ? R, имеет период, равный 2?. Поэтому достаточно построить график на промежутке, равном [-?/2;3?/2]. На отрезке [-?/2;?/2] по определению арксинуса имеем arcsin(sinx)=x, а потому графиком данной функции здесь будет служить прямая y=x. Если же x?[?/2;3?/2], то x-??[-?/2;?/2], и из равенства sin(?-x)=sinx следует, что arcsin(sinx)=arcsin(sin(?-x))=?-x, то есть здесь графиком данной функции служит прямая y=-x+?. График функции y=arcsin(sinx) изображён на рис. 6.

Рис. 6.

Представим еще пример использования обратной тригонометрической функции при решении тригонометрического уравнения с параметром.

Решение: используем прием введения вспомогательного угла:

пусть , а , тогда получаем: Исходя из определения арккосинуса, имеем: откуда что и является окончательным ответом.

Ответы и указания
Упр. 1. Доказательство всех представленных соотношений аналогично тому, как это было сделано при выводе формул: а) (18), б) (25), в) (26), г) (44), д) (50), е) (51).

Упр. 2:



Упр. 3:

решение: ОДЗ:

так как то имеем: обозначим tgx=t, тогда так как то пусть тогда и далее: второй корень (отрицательный) не подходит, а потому стало быть, и

в) x=?k, k ? Z.

Рис. 7

Рис. 8

1. 
   Панчишкин А.А. ,Шавгулидзе Е.Т., Тригонометрические функции в задачах. – М.: Наука, 1986г.
   
2. 
   Кулагин Е.Д. и др. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999г.
   
3. 
   Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – Под редакцией
   

4. 
   Черкасов О.Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф,1997г.
   
5. 
   Соболев С.К. Пособие по математике для поступающих в ВУЗ. Часть . – М.: МГТУ, 1996г.