Общие принципы O(N)-алгоритмов: принцип «близорукости»
жүктеу/скачать 183 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.4.3.1. Различные базисы, используемые в O(N)-алгоритмах
1.4.3. Общие принципы O(N)-алгоритмов: принцип «близорукости»Примером широко используемого в современной квантовой химии принципа «близорукости» может служить локальная плотность электронных состояний, распределение заряда, локальный магнитный момент и пр. Другим примером может служить возможность определения свойств объемных материалов без учета поверхностных эффектов[9]. Этот принцип «близорукости»     «nearsightedness» был введен Коном [119] для описания многочастичных систем с внешним потенциалом Veff(r), находящихся в равновесии. Согласно ему, если F статические свойства, зависящие от координат в объеме с линейным размером , то при постоянном химическом потенциале F не будет зависеть от произвольно больших изменений потенциала  , если эти изменения происходят в точке  (рис. 1-19) , где длина волны де Бройля, которая определяет степень локальности в системе. Подчеркнем, что внешний потенциал должен оставаться постоянным в области  и изменяться только на расстоянии, много большем чем (  ).
Рис. 1-19. Принцип «близорукости» Кона. Статические свойства около    не зависят от V(r’) в удаленной области пространства [120].
Принцип «близорукости» прямо предполагает существование метода O(N) для этого достаточно разделить весь рассматриваемый объем на части с размерами порядка  . Для каждой такой подсистемы можно выделить буферный объем  , окружающий  (рис. 1-20). Расчет в каждом объеме происходит раздельно. При этом буферный объем должен быть достаточно велик (  ) для удовлетворения принципа «близорукости». Таким образом, расчет каждого объема  не зависит от размера системы. А, поскольку число i линейно зависит от , время полного расчета будет линейно пропорционально количеству атомов в системе [120].
Рис. 1-20. Обоснования O(N)-алгоритма. Весь исследуемый объем делится на части с объемами , последующий расчет которых (вместе с некоторым буферным объемом ) происходит раздельно.
Принцип «близорукости» Кона является обобщением принципа «разделяй и властвуй», который имеет сходное определение, но может быть применен для неметаллических систем [116].
1.4.3.1. Различные базисы, используемые в O(N)-алгоритмахНа сегодняшний момент наиболее широко используются базисы на основе локализованных атомных орбиталей (ЛКАО). Следует отметить работы Скуцерии, где в качестве базиса были использованы гауссовы орбитали [121, 122]. При любом базисе разложение волновой функции i записывается в базисе  в следующем виде:
где  , ={Ilmn},  .
Все эти базисные функции в общем случае стараются выбрать так, чтобы они проявляли свойства функций Ванье [123], т. е. они должны походить на локализованные орбитали, центрированные на разных атомах, которые ортогональны друг другу:  , и которые максимально быстро затухают по мере удаления от ядра. При этом их сумма дает истинную волновую функцию кристалла (кластера). Такая локализованность функций Ванье позволяет ограничиваться их взаимодействием с ближайшим окружением, что является очень важным для скорости работы любого O(N)-алгоритма. Из-за сложности достижения ортогональности функций Ванье друг другу на разных узлах это требование обычно опускается:  , хотя часто такие локализованные базисные функции по-прежнему называются функциями Ванье при небольших отклонениях от этого условия.
При этом для достижения максимальной локализованности экспоненциальная часть этих функций Ванье обрезается на определенном расстоянии, зависящем от атомного состава исследуемой системы. Если состояния ограничиваются сферой радиуса обрезания rC, центрированной на  , где I номер атома, то относительная ошибка расчета в случае диэлектриков и полупроводников резко уменьшается с увеличением rC. В качестве примера на рис. 1-21 показана подобная зависимость для кристалла кремния.
Рис. 1-21. Зависимость относительной ошибки расчета параметров решетки, объемных модулей, энергий связи суперячейки (512 атомов) кристалла кремния от радиуса обрезания rC состояний, основанных на функциях Ванье [108]. жүктеу/скачать 183 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
