Окружности I. Справочные материалы
жүктеу/скачать 416 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 1.
- Свойства хорд окружности
- II. Дополнительные материалы
- Пропорциональные линии в круге Теорема.
- III. Вводные задачи. Задача 1.
- IV. Дополнительные задачи
- V.Задачи для самостоятельного решения
| Часть 3. Окружности
I. Справочные материалы. I. Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы. Окружность и круг 1 а)длины отрезков от данной точки до точек касания равны; б)углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны. 2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть 3. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. 4. Длина окружности С=2πR; 5. Длина дуги L =πRn/180˚ 6. Площадь круга S=πR2 7. Площадь сектора Sc =πR2 n/360  
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами Теорема 2 (о касательной и секущей). Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью. Теорема 3. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, то есть если хорды АВ и СД пересекаются в точке М, то АВ • МВ = СМ • МД. Свойства хорд окружности: • Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей. • Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равного расстоянии от центра окружности находятся равные хорды. • Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами равны. окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются )касающимися Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, то они называются касающимися внутренне., а если по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне.
Свойства некоторых углов. Теорема. 1) Угол (АВС), вершина которого лежит внутри круга, является полусуммой двух дуг (АС И DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон. 2) угол (АВС), вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, является полуразностью двух дуг (АС и ED), заключенных между его сторонами Доказательство. Проведя хорду АD (на том и на другом чертеже), мы получим ∆АВD, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним, когда его вершина лежит внутри круга, и внутренним, когда его вершина лежит вне круга. Поэтому в первом случае: Но углы АDС и DAE, как вписанные, измеряются половинами дуг АС и DE; поэтому угол АВС измеряется: в первом случае суммой: ½ ﬞ AС+1/2 ﬞ DE, которая равна 1/2(ﮟ AC+ﮞ DE), а во втором случае разностью 1/2 ﬞ AС-1/2 ﬞ DE, которая равна 1/2( ﬞ AC- ﬞ DE).
Теперь возьмем общий случай, когда хорда СD не проходит через центр. Проведя тогда диаметр СЕ, мы будем иметь: У Доказательство. П АМ : МD=МС : МВ, откуда АМ • МВ=МD • МС. Проведем вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника МАС и МВС (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, потому что у них угол М общий и углы МСВ и САВ равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВС. Возьмем в ∆МАС стороны МА и МС; сходственными сторонами в ∆МВС будут МС и МВ; поэтому МА : МС=МС : МВ, откуда МА • МВ=МС2. В 1) Радиус окружности, описанной около трапеции, – одно и то же, что и радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции. Найдем радиус R окружности, описанной около треугольника ABD. В 4) S(∆ABD) = AD · BK; S(∆ABD) = · · 3 5) R = Ответ: 7.
В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок NM, Определите периметр трапеции AMNB, если длина отрезка MN равна 6. 1 3) ∆CMN ∾ ∆CAB, значит, ∆CMN – равносторонний CM = CN = MN = = 6; P. А так же 3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12. 4) P(AMNB) = AM + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.
Ответ: 48. Задача 3
Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции. Тогда AB = CD = FP = 5. ∆ABK – прямоугольный, BK = AB sin S(ABCD) = FP · BK = 5 · 4 = 20. №4
Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b+c)/2 Доказательство: пусть М и N –точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС. Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому СК+CN= a+b-c. Пусть Р и Q – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон АВ и ВС. Тогда АР=АВ+ВР=АВ+ВL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.
а) Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. О - центр вписанной окружности. ОВ–центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и OВ лежат на окружности с центром М. Д №1. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника Р 2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG 3) PABC=AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R
№2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром АВ. АС ∩ BD = Р, а AD ∩ BC = Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны Доказательство: A  D – диаметр => вписанный угол ADB=90 o (как опирающийся на диаметр)=> №3. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; М – точка диагонали AC, BDCM – вписанный четырехугольник.. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM П  усть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Тогда MO·OC=BO·ОD. Тогда как ОС=ОА и ВО=ВD, то МО·ОА=ВО2 и МО·ОА=DO2. Эти равенства означают, что ОВ касается описанной окружности треугольника ADM
№4. Н Согласно вводной задаче 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 и СN=(BC+CE-BE)/2. Учитывая, что АС=ВС, получаем МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 №5. Длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прогрессию, причем a 
Пусть М середина стороны АС, N- точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Тогда BN=р–b (вводная задача 4), поэтому BN=AM, т.к. p=3b/2 по условию. Кроме того, V.Задачи для самостоятельного решения №1. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD. Докажите, что AB+BC=AD+DC. №2. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что АС∙CB=Rr №3. В треугольнике АВC угол С прямой. Докажите, что r =(a+b-c)/2 и rc=(a+b+c)/2 №4. Две окружности пересекаются в точках А и В; MN – общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок MN пополам.
а) MA·MC/MB1=2r; b) MA1·MC1/MB=R №6. Угол, составленный двумя касательными, проведенными из одной точки окружности, равен 23о15`. Вычислить дуги, заключенные между точками касания №7. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7. VI. Контрольные задачи. Вариант 1. Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены три секущие: первая пересекает окружность в точках В и А (М-В-А), вторая – в точках D и C (М-D-C), а третья пересекает окружность в точках F и E (M-F-E) и проходит через центр окружности, АВ = 4, ВМ =5, FM = 3.
Вариант 2. АВ – диаметр окружности с центром О. Хорда ЕF пересекает диаметр в точке К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5.
Вариант 3. В прямоугольный треугольник АВС (<С = 90°, <А = 60°) вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках D, E и F. На дуге DF выбрана точка К и проведена касательная к окружности в этой точке. Касательная пересекает АВ в точке Р, а АС- в точке Т.
Вариант 4. АВ – диаметр окружности с центром О. Радиус этой окружности равен 4, О1 – середина ОА. С центром в точке О1 проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда СD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Е и F –точки пересечения СD с меньшей окружностью (С-Е-К-F-D), АК=3.
жүктеу/скачать 416 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
.Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то
Предположим сначала, что хорда СD проходит через центр О, Т.е. что хорда есть диаметр. Тогда угол АСD- прямой и, следовательно, равен 90°. Но и половина дуги СmD также равна 90°, так как целая дуга СmD, составляя полуокружность, содержит 180°. Значит теорема оправдывается в этом частном случае..
гол ACE, как составленный касательной и диаметром, измеряется, по доказанному, 
роведя две вспомогательные хорды АС и ВD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:
Доказательство.
равнобедренной трапеции с острым углом в 60° боковая сторона равна 
, а меньшее основание - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.
) ABCD – равнобедренная трапеция, 
∆ABK AK = AB cos 
A = 
.
.
AC, N 
) ∆ABC – равносторонний, точка O – точка пересечения медиан (биссектрис, высот), значит, CO : OD = 2 : 1.
Так как окружность вписана в четырехугольник, то BC + AD = AB + CD. Этот четырехугольник – равнобокая трапеция, значит BC + AD = 2AB.
A; BK = 5 · 0,8 = 4.
оказательство: Так как <АОМ=<ВАО+<АВО=(<А+<В)/2 и <ОАМ=<ОАC+<САМ=А/2+<СВМ=(А+В)/2, то МА=МО. Аналогично МС = МО. Так как треугольник ОАОВ прямоугольный и 
Доказательство: Пусть Р- центр описанной окружности треугольника АСО. Тогда 
ешение: HOGB- квадрат со стороной R
а основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, и в треугольники АСЕ и АВЕ вписаны окружности, касающиеся отрезка СЕ в точках М и N . Найдите длину отрезка MN, если известны длины АЕ и ВЕ.
.