Пособие по решению задач по теме Системы счисления. §1Системы счисления, запись чисел в позиционных системах счисления

Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т.д.).

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.).

Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления. Неудобства такой системы счисления очевидны: чем большее число надо записать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться — нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Поэтому позже эти значки стали объединять в группы по 3, 5 и 10 палочек Таким образом, возникали уже более удобные системы счисления. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, сами того не осознавая, малыши на пальцах показывают свой возраст, а счетные палочки использовали для обучения счету учеников 1 класса.

Системы счисления делятся на 2 большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления.

К непозиционным системам счисления относятся: римская система счисления, алфавитная система счисления и др.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа I 10, 100, 1000 и т.д. и записывались они при помощи специальных иероглифов

Тысячи сотни десятки единицы

Именно из комбинации таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялось не более девяти раз.

— Почему? (Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заменить одним числом, но на разряд старше. ) Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. Вначале писали число высшего порядка, а затем низшего.

Египтяне вычисляли 19^*31 так: они последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левой — соответствующую степень двойки.

Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19= 1+2+16), и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31+62+496 = 589).

Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3). Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка, специальные знаки были для 1/2 и для 2/3:

Римская система счисления.

АЛФАВИТ
I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Запомните:

Числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей», например:

Числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей», например:IX=10-9=1(I

Пример:MCMXCIV=1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994

Задание 1: переведите числа из римской системе счисления в десятичную:

LXXXVI

XLIX

CMXCIX

Задание2:запишите десятичные числа в римской системе

счисления:

464

390

2648

Задание 3:Подумайте, где в настоящее время используется римская система счисления. Запишите несколько примеров свою тетрадь
Алфавитная система счисления

В алфавитных системах счисления для записи чисел использовался буквенный алфавит.

В славянской системе над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – « титло». Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин греков, арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.
Задание4: Запишите в алфавитной системе счисления

365

413
Недостатки непозиционных систем счисления:

• 
  Для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры (буквы)
  
• 
  Трудно записывать большие числа
  
• 
  Нельзя записать дробные и отрицательные числа
  
• 
  Нет нуля
  
• 
  Очень сложно выполнять арифметические операции.
  

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.

В привычной для нас системе счисления для записи чисел используются десять цифр(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,). Поэтому её называют десятичной системой счисления.

В числе 555 первая цифра 5 стоит в позиции сотен, вторая цифра 5 – в позиции десятков, третья цифра 5 – в позиции единиц (555=50+50+5).
К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная и другие системы счисления.

Историческая справка.

Начало десятичной системе счисления было положено в Древнем Египте и Вавилоне, в основном её формирование было завершено индийскими математиками в 5-7 вв. н.э. Арабы первыми познакомились с этой нумерацией и по достоинству её оценили. В 12 веке арабская нумерация чисел распространилась по всей Европе.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

1). Ограниченное количество символов для записи чисел;

2). Простота выполнения арифметических операций.
Задание 5. Сколько и каких требуется цифр для записи любого числа в :

Пятеричной системе счисления;

В восьмеричной системе счисления;

Запишите цифры для каждой системы в тетрадь.

Задание 6. Укажите, какие числа записаны с ошибками. Ответ обоснуйте.

156₇ ; 3005,23₄; 185,794₈; 1102₂; 1345,52₆ ; 112, 011₃; 16, 545₅.

Основание системы счисления (базис) показывает , во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию.



Задание 7. Как изменится число 245₇, если справа к нему дописать ноль?
В любой системе счисления натуральные числа, меньше основания q, представляются с помощью одной цифры данной системы. Если число больше или равно q, то требуется две и более цифры.
Представление первых чисел в некоторых системах счисления.

Q=10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Q=2	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010
Q=3	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101
Q=4	0	1	2	3	10	11	`12	13	20	21	22
Q=5	0	1	2	3	4	10	11	12	13	14	20
Q=6

Задание 8.

1. 
   Заполните таблицу для q=6
   
2. 
   Какое число следует за числом 1117 в 8-ой системе счисления ?
   
3. 
   Какое число предшествует числу 108 в 9 – ой системе счисления ?
   

Представление чисел в позиционных системах счисления

Разряды 2 1 0–1–2

N₁₀= 3 4 8,1 2 =3*10²+4*10¹+8*10⁰+1*10^-1+2*10^-2

Свернутая развернутая форма

форма записи числа

записи числа
Любое действительное число можно записать в любой позиционной системе счисления в виде суммы положительных и отрицательных степеней числа q(основание системы).

Задание 9. Запишите в развернутой форме числа:

N₈=7764,1

N₅=2430,43

§2. Двоичная система счисления

Историческая справка

1703 г. – великий немецкий математик Лейбниц ввел в математику двоичную систему счисления.

1936-1938 гг. – американский инженер и математик Клод Шеннон предложил использовать двоичную систему счисления для конструирования электронных схем.

В двоичной системе счисления для записи числе используется всего две цифры : 0 и 1 , q=2
Перевод чисел из двоичной системе счисления в десятичную (N₂→N10)

(через развернутую форму записи числа)

Пример: 1011,01₂=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰+0*2^-1+ +1*2^-2 =8+2+1+1/4=11

Задание10. Переведите в десятичную систему счисления :

10110,011₂, 110101,1₂, 10101,101₂

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную (N₁₀→ N₂)
Таблица степеней числа 2

2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ 2⁵ 2⁶ 2⁷ 2⁸ 2⁹ 2¹⁰

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
1 способ ( метод «разности» )

13₁₀=N₂?

1. 
   Ищут по таблице степеней двойки самое большое число, меньшее 13. Это 8.
   
2. 
   13-8=5
   

3)Ищут по таблице самое большое число, меньшее 5. Это 4

4)5-4=1(это число есть в таблице).

13₁₀=8+4+1=1* 2³+1* 2²+ 0*2¹ + 1* 2⁰=1101₂

Обратите внимание: если целое двоичное число заканчивается на 0, то соответствующее ему десятичное число будет четным; если двоичное число заканчивается на 1, то десятичное будет нечетным.
Задание 11. Используя метод разностей, переведите десятичные числа в двоичную систему счисления:

39₁₀ 24₁₀ 57₁₀

2 способ (деление на основание системы счисления q=2)

Перевод целых чисел.( алгоритм)

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. 
   последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
   
3. 
   полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
   
4. 
   составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
   

13	2
12	6	2
1	6	3	2
	0	2	1
		1

Пример: 13₁₀=1101₂

Задание 12. Переведите десятичные числа 37; 55; 54; 66 в двоичную систему счисления.
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления (N_{10 →} N₂) (умножением на 2).

Перевод дробных чисел (алгоритм)

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3. 
   полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
   
4. 
   составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
   

Полученное при умножение в левом столбце число, переводим в двоичную систему счисления. Первое число откидываем. Например, в нашем примере, мы умножили 1,1250 на 2 и получили 2,2500.

Необходимо перевести 2 в двоичную систему счисления- это 10. Оставляем ноль, единицу откидываем.
Пример: 0,5625₁₀=N₂=0,1001₂

0,	5625 2
1	1250 2
0	2500 2
0	5000 2
1	0000

Задание 13. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления с точностью до 6 знаков после запятой:

0,7₁₀ 0,4622₁₀ 0,5198₁₀ 0,5803

Перевод смешанных чисел из десятичной системы в двоичную

Алгоритм перевода:

1. 
   перевести целую часть;
   
2. 
   перевести дробную часть;
   
3. 
   сложить полученные результаты.
   

Пример: перевести 17,25₁₀ в двоичную систему счисления.

Решение.

1. 
   17₁₀=10001₂
   
2. 
   0,25₁₀=0,01₂
   
3. 
   17,25₁₀=10001,01₂
   

Задание14. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:

31,75₁₀ 124,25₁₀

жүктеу/скачать 111.35 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: