Представлен метод формирования эффективных в вычислительном плане уравнений динамики манипуляционных роботов

В первой части дается обзор методов описания кинема­тики и динамики роботов. Представленные алгоритмы формирования уравнений динамики сравниваются по таким критериям, как возможность решать прямую и обратную задачи динамики, эффективность программирования, применимость к алгоритму символьных преобразо­ваний, замкнутость уравнений. Особое внимание уделяется анализу вычислительной эффективности рассматриваемых алгоритмов и их способности решать необходимую при моделировании манипуляторов прямую задачу динамики (определение движения манипулятора по действующим на него внешним моментам и силам).

В разделе 2 приводится формализация метода последовательного формирования систем координат звеньев манипулятора для описания его кинематики. Для расчета кинематических и динамических величин используются матрицы преобразования координат размера 3х3 и век­тора относительных перемещений. Показано применение метода для бортового манипулятора космического корабля “Буран” и промышленного робота-манипулятора РМ-01. В разделах 3 – 5, представлен метод формирования уравнений динамики манипуляторов в форме уравнений Лагранжа II рода. Метод применим для манипуляторов с вращательными и поступательными шарнирами, соседние оси которых перпендикулярны или параллельны. Приведена оценка вычислительных затрат, необходимых для расчета кинематики и динамики манипуляторов данного типа.

В разделе 6 представлено использование языка символьных вычислений REDUCE для сим­вольного вывода уравнений динамики манипуляторов. Приводится анализ вычислительной эффективности уравнений в символьном виде для манипуляторов с 2 и 3 степенями свободы.

Для замыкания системы уравнений динамики необходимо получить выражения для обобщенных моментов в шарнирах. Они определяются типами и параметрами двигателей, механических передач (редукто­ров), а также особенностями системы управления робота. В разделе 7 рассмотрены электромеханические привода общего вида с двигателями пос­тоянного тока, обратимыми зубчатыми редукторами и замкнутыми по положению и скорости следящими системами. Представлены различные по сложности модели приводов, в которых учитываются упругость в шарнирах и нелинейные элементы: люфт, сухое трение, муфты пре­дельного момента, тормоза.

1. Обзор методов описания кинематики и динамики манипуляционных роботов
Формирование эффективных уравнений динамики манипуляционных роботов, которые могут быть рассчитаны на ЭВМ за минимальное время, является одной из важнейших задач в робототехнике. Ее решение необходимо для моделирования динамики манипуляторов в масштабе реального времени, для разработки эффективных алгорит­мов управления роботами с учетом динамики [1], для повышения эффективности исследования и разработки манипуляторов.

Одни из первых результатов в этой области принадлежат Кейну [2] и Виттенбургу [3]. Полученные ими уравнения справедливы не только для роботов, но и для более широкого класса систем, состоящих из шарнирно связанных твердых тел. В дальнейшем было раз­работано большое количество алгоритмов формирования динамических уравнений манипуляторов, в которых использовались различные способы описания кинематики, расчета кинематических и динамических величин, а также различные формы уравнений динамики системы тел.

Описание кинематики – это способ задания систем координат, связанных со звеньями манипулятора, и выбора параметров, которые однозначно определяют взаимное положение звеньев и конфигурацию всего манипулятора. В представлении Денавита-Хартенберга [4] начала систем координат расположены в шарнирах, а их оси формируются по правилам, которые определяются кинематикой манипулятора. В другом методе описания кинематики [5-7] локальные сис­темы координат привязаны к центрам масс звеньев, а их оси направлены вдоль главных осей инерции. Параметры, определяемые относи­тельно таких систем координат, удобны для динамического анализа. В настоящей работе используется метод последовательного формиро­вания систем координат, предложенный в [8] (его описание при­водится в разделе 2).

Еще одной характеристикой методов математического моделирования манипуляторов является способ расчета кинематических и динамических величин, определяющих математическую модель манипу­лятора. Для этого используются однородные координаты и матрицы преобразования координат размерности 4x4, определяющие относи­тельное положение и ориентацию звеньев манипулятора [9-11]; матрицы поворотов размерности 3x3 и вектора относительных пере­мещений [9, 12, 13]; формулы Родриго (впервые применены в [7], далее использовались в [5, 14, 15]); ортогональные тензоры [16]; кватернионы [17]; метод векторных параметров с использованием групп Ли [18, 19].

Хотя вычислительная эффективность того или иного метода формирования динамических уравнений зависит в первую очередь от особенностей его реализации (использования рекурсивных преобразований, динамических аналогий и др.), можно отметить и сущест­венную роль выбора подходящего способа расчета модели манипуля­тора. Например, матрицы преобразования однородных координат раз­мерности 4x4, обладающие универсальностью в кинематическом опи­сании, практически не используются в задачах реального времени из-за больших вычислительных затрат, необходимых для выполнения операций над ними [1]. В то же время, использование матриц по­воротов размера 3x3 позволяет получить эффективные алгоритмы расчета кинематики и динамики, что показано в [1, 9] и в данной работе. Эффективно использование кватернионов, ортогональных тензоров (с их помощью получен самый быстрый алгоритм решения обратной задачи динамики [16]), однако в ряде задач (например, при управлении в декартовых осях, [20]) предпочтительнее исполь­зовать матричные представления.

При выводе уравнений динамики манипуляторов используются различные законы и формулировки общих уравнений динамики систем. Среди них можно выделить методы, основанные на уравнениях Лаг­ранжа, Ньютона-Эйлера, Д'Аламбера, Гаусса, Аппеля, Кейна.

Уравнения динамики в форме Лагранжа впервые были получены в работе Uicker [11] и получили дальнейшее развитие в плане повы­шения эффективности в работах Kahn [10], Vukobratovic [21], Mahil [14], Renaud [22], Thomas и Tesar [13]. Все перечисленные методы позволяли решать прямую и обратную задачу динамики, были удобны в алгоритмической реализации (кроме Renaud), но обладали низкой вычислительной эффективностью. Waters и Hollerbach [9] применили рекурсивные преобразования при выводе динамических уравнений, причем в [9] при использовании матриц поворотов 3x3 было получено значительное сокращение числа операций, но эти методы позволяли решать лишь обратную задачу динамики, поэтому не были пригодны для моделирования. Рекурсивные преобразования и формулы Родриго использовали Vukobratovic и Potkonjak [21], при­чем их метод позволял решать и прямую задачу динамики, хотя его вычислительная эффективность и не столь высока. Значительный прогресс в сокращении числа операций достигнут в работах Renaud [22] и Li [23], также применивших рекурсивные соотношения.

Среди методов, использующих уравнения Ньютона-Эйлера и позволяющих решать прямую задачу динамики, отметим работы Vukobra­tovic и Stepanenko [7], Orin и Walker [24], Armstrong [25], Wang и Ravani [15]. Во всех работах применяется рекурсия, причем в [7] в результате получаются нерекурсивные выражения для динамических коэффициентов, которые можно использовать для анализа динамики. Отметим также алгоритм Balafoutis [16], в котором за минимальное число операций решена обратная задача динамики.

Использование принципа Д'Аламбера для уравнений Лагранжа позволяет получить достаточно эффективные динамические соотношения, в которых в явном виде отражены эффекты влияния вращатель­ного и поступательного движения звеньев на динамику манипулятора [1, 26]. В работе Попова [27] получены уравнения динамики в яв­ном виде с использованием уравнений Аппеля, позволяющие решать прямую и обратную задачи динамики. Уравнения Кейна особенно эффективны для расчета обобщенных моментов манипуляторов с замкнутыми кинематическими цепями [28, 29]. В работах Коноплева [30] для описания динамики манипуляционных систем применяются агрегатив­ные модели; метод удобен для применения символьных преобразова­ний. Погореловым [31] разработан пакет программ моделирования динамики широкого класса механических систем, включая роботы-манипуляторы. Интересный подход и язык программирования уравнений движения сложных механических систем, состоящих их твердых тел, предложен Сазоновым [32].

Среди самых современных методов моделирования динамики манипуляторов отметим подходы, основанные на использовании нейронных сетей [33, 34], пространственных операторов [35, 36], групп Ли [19], методов нечеткой логики [37]. Для описания динамики сложных структур (параллельных роботов, манипуляторов с большой избыточностью степеней подвижности, роботов-гуманоидов) используются методы расчета динамики в операционном пространстве роботов и другие. Полный анализ основных достижений в области моделирования динамики роботов, начиная с первых работ 60-70 годов прошлого века по 2000 г., дан Featherstone и Orin в [38].

В таблице 1 представлены результаты анализа методов описа­ния динамики манипуляторов по форме уравнений, вычислительной

эффективности (для манипуляторов с шестью степенями свободы); также отражено, обеспечивает ли данный алгоритм замкнутость уравнений и возможность решения прямой задачи динамики.

Как показывает анализ таблицы, многие эффективные в вычислительном плане методы не обеспечивают замкнутости системы урав­нений динамики, что ограничивает их применение в задачах управления, а также при анализе влияния различных динамических коэф­фициентов на движение манипулятора.

В последние годы для повышения эффективности уравнений динамики широко применяются символьные преобразования [5, 39, 40, 41] и алгоритмы распараллеливания вычислений [42, 43, 44]. Применение символьных преобразований, как показано в [40], способствует уравниванию различных алгоритмов по вычисли­тельной эффективности. Поэтому важными критериями оценки алго­ритма становятся хорошая алгоритмизуемость (удобство программи­рования), замкнутость уравнений, возможность применения символь­ных преобразований и алгоритмов распараллеливания.

Кроме того, можно отметить, что в работах ряда авторов [9, 45] указывается, что во многих случаях (например в задачах управления роботами) наиболее подходящим способом описания дина­мики являются уравнения Лагранжа. Это отмечено и в работе [46], где утверждается, что при реализации динамических алгоритмов на параллельных процессорах зависимость данных в методах, основанных на уравнениях Ньютона-Эйлера, намного сильнее, чем при использовании уравнений Лагранжа.

Форма Уравнений	Авторы Алгоритма	Число операций		Замкнутость	Прямая задача
		Х	+
Лагранж (II рода)	Uicker/Kahn Vukobratovic/ Potconjak Hollerbach 3x3 Renaud Li	66271 37189 2195 992 951	51548 5652 1719 776 842	+ - - - -	+ + - + +
Ньютон- Эйлер	Vukobratovic/ Stepanenko Walker/Orin Wang/Ravani Wang/Ravani Luh/Walker/Paul Balafoutis/Patel/ Misra	2907 1771 1659 903 792 489	2068 1345 1252 654 662 420	+ - - - - -	+ + + - - -
Д’Аламбер	Lee/Lee/Nigam	2963	2209	+	+
Аппель	Попов	2929	2500	+	+
Кейн	Ma/Xu	1020	851	-	-

Таблица 1.

В случае, когда соседние оси шарниров манипулятора параллельны или перпендикулярны, просто и наглядно описать кинематику робота позволяет метод последовательного формирования систем координат звеньев от основания к схвату.

С основанием манипулятора Т₀ свяжем неподвижную систему координат (СК) S₀, потребовав, чтобы одна из ее осей совпадала с осью первого поворота e_{rot 1}, а начало находилось в центре перво­го шарнира - точке О₁ (см. рис. 1).

Рисунок 1. Рисунок 2а. Рисунок 2б.

Таким образом, как СК S₀ и S₁, так и СК S₁ и S₂ будут иметь одну координатную ось с общим направлением, определяемым для S₀ и S₁ вектором e_{rot 1}, а для S₁ и S₂ вектором e_{rot 2}. Поэтому матрицы перехода от S₀ к S₁ и от S₁ к S₂ будут матрицами поворотов относительно соответствующих координатных осей : C_i ? {C_x, C_y, C_z}, где C_x, C_y, C_z - матрицы поворотов относительно осей x, y и z со­ответственно.

Аналогичным образом определим системы координат S₂, S₃, .., S_n оставшихся звеньев манипулятора (S_i связана со звеном T_i, а ее начало O_i находится в центре i-ого шарнира).

Для однозначного определения СК S₁, .., S_n необходимо задать направления отсчета обобщенных координат q₁, .., q_n (q_i определяет переход от S_i-1 к S_i). С этой целью введем вектора e⁰_qi ? T_i-1 (направлен по одной из координатных осей СК S_i-1, перпендикуляр­ных e_{rot i}) и e¹_qi ? T_i (направлен по одной из координатных осей СК S_i, перпендикулярных e_{rot i}).

Итак, построены системы координат звеньев и заданы обобщен­ные координаты манипулятора. Для полного кинематического описа­ния манипулятора осталось определить матрицы поворотов C_i, за­дающие ориентацию соседних систем координат S_i-1 и S_i, и вектора переноса l_i-1 = O_i-1O_i, определяющие сдвиг между ними (l₀ = 0, т.к. O₀= O₁; l_n = O_nG, где G - конечная точка (схват) манипулятора).

С этой целью рассмотрим манипулятор в “начальном” состоя­нии, т.е. при q₁ = q₂ = ... = q_n = 0. Задав СК S₀ (т.е. оси координат х₀ , y₀ , z₀), выполним последовательно параллельные переносы S₀ в точки O₁ , O₂, ..., O_n. При этом будут определены оси систем коорди­нат S₁, ..., S_n (см. рис. 4в). Теперь легко для каждого звена опре­делить матрицы C_i и вектора l_i.

На рисунках 4а-4в иллюстрируется применение метода последовательного формирования систем координат к описанию кинематики манипулятора большого космического манипулятора (БКМ) – бортового манипулятора космического корабля “Буран”, рис. 4а.

Сперва рассмотрим манипулятор в общем положении и введем локальные СК и направления отсчета углов поворота q₁, q₂, ..., q_n, руководствуясь описанными выше правилами, а также используя особенности геометрии звеньев (рис. 4б). Затем, при q₁ = q₂ = ... = q_n = 0, находим направления осей СК звеньев (рис. 4в). В соответствии с рисунком определяем матрицы C_i и вектора l_i:

C₁ = C_z, C₂ = C₃ = C₄ = C_y, C₅ = C_x, C₆ = C_z;

(l_ix, l_iy, l_iz определяют геометрические размеры звеньев).

1. Рисунок 5.

2. Для описания кинематики робота РМ-01 свяжем с каждым из его звеньев соответствующие системы координат (рис. 6).

(l_ix, l_iy, l_iz определяют геометрические размеры звеньев; l_6я – длина захватного устройства).

Рисунок 6.

Координаты точки G (схвата манипулятора) могут быть найдены из соотношения:

где принято обозначение C_1i = C₁ C₂ … C_i

Рисунок 7.

Линейная скорость схвата определяется выражением:

(здесь учтено, что l_i? = 0, т.к. эти вектора рассматриваются отно­сительно неподвижных систем координат).

C_i? = Q_i C_i q_i?

0 0 0 0 0 1 0 -1 0

где Q_i = { ( 0 0 -1 ), ( 0 0 0 ), ( 1 0 0 )} при C_i = {C_x, C_y, C_z} соответственно

0 1 0 -1 0 0 0 0 0

Введем обозначение:

V_ps = C₁ C₂ ... C_s-1 Q_s C_s ... C_p

Тогда (2.2) примет вид:

Угловая скорость схвата (конечного звена) по теореме сложения угловых скоростей равна геометрической сумме угловых скоростей звеньев:

Теперь можно определить матрицу Якоби манипулятора, используемую при управлении для вычисления программных скоростей в шарнирах по желаемому движению в декартовом пространстве, а также для анализа вырожденных конфигураций манипулятора. По определению матрица Якоби манипулятора J(q) связывает вектора V_G и W_G с вектором обобщенных координат манипулятора q = (q₁, q₂, ..., q_n)^T (символ “T” означает транспонирование):

(V_G, W_G ) = J(q) q? (2.5)

Из (2.5), воспользовавшись выражениями (2.3), (2.4), можно опре­делить компоненты матрицы Якоби:

J_vs = V_ps l_p; J_ws = C_1s e_{rot s} (2.6)

где J_vs - компоненты первых трех строк матрицы Якоби, J_ws - компоненты последних трех строк.

В дальнейшем, при выводе уравнений динамики манипуляторов, нам понадобятся также выражения для радиус-вектора R_i и скорости V_i произвольной точки M_i i-ого звена манипулятора (см. рис. 9):

R_i = l_p⁰ + r_i⁰ = C_1p l_p + C_1i r_i

V_i = ( V_ps q_s?) l_p + V_is q_s? r_i (r_i =О_iМ_i) (2.7)

Рисунок 9.

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.69 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: