Программа итогового государственного экзамена по специальности по магистерской программе 010700/02

1. Уравнение Дирака для свободного электрона. Состояния с отрицательными энергиями. Зарядовое сопряжение. Алгебра матриц Дирака. Состояния электрона с определенным импульсом и поляризацией.

Поляризационные состояния электрона. Состояния электрона с определенными моментом и четностью. Шаровые спиноры.

2. Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле. Дираковский электрон в центрально-симметричном поле.

3. Релятивистская теория атома водорода. Формула Зоммерфельда. Переход. Спин-орбитальное взаимодействие.

4. Теория свободного электромагнитного поля. Уравнения Максвелла. Потенциалы электромагнитного поля. Функция Лагранжа для электромагнитного поля. Тензор энергии импульса. Разложение потенциалов

на плоские волны. Поле как совокупность осцилляторов.

5. Квантование электромагнитного поля. Операторы рождения и уничтожения фотонов. Перестановочные соотношения. Состояния фотонов с определенными импульсом и поляризацией. Поляризационная

матрица плотности.

6. Спин фотона и его связь с поляризацией. Спиральность. Состояния фотона с определенными моментом и четностью, импульсом и поляризацией. Вероятность перехода. Усреднение по поляризациям. Нерелятивистский предел. Силы осцилляторов. Правила сумм Томаса—Рейхе—Куна. Общие соотношения между радиационными процессами. Коэффициенты Эйнштейна. Мультипольное излучение. Электрические и магнитные фотоны. Многофотонные процессы. Двухфотонные переходы в атомах. Многофотонное поглощение.

9. Вычисление сдвига уровней энергии за счет взаимодействия электронов в релятивистской теории атомов. Адиабатическая матрица рассеяния. Формула Гелл-Манна и Лоу. Кулоновское взаимодействие электронов. Обмен поперечным фотоном. Оператор Брейта.

10. Радиационные поправки к энергии. Лэмбовский сдвиг. Ультрафиолетовые расходимости в квантовой электродинамике. Перенормировка и регуляризация. Естественная ширина уровня. Ширина как сумма вероятностей переходов. Теория формы спектральной линии.

11. Свойства решений уравнения Шредингера для одномерного периодического потенциала.

12. Оператор трансляции — определение и спектр. Периодический потенциал. Базис линейно независимых решений. Фундаментальная система. Определитель Вронского. Матрица сдвига и ее свойства.

13. Теорема Флоке. Решения и множители Флоке. Отбор физических решений — теорема Блоха. Функции Блоха.

14. Решения уравнения Шредингера на периоде. Граничные условия. Определение функции S(E), связь ее с матрицей сдвига. Свойства функции S(E) — теорема Крамерса.

15. Простые модели: модель Кронига—Пенни и гребенка Дирака. Общие свойства спектра E(k).

16. Выход в комплексную плоскость. Нули и полюса функции dS(E)/E. Свойства функции E(k) на комплексной плоскости. Обратные функции ε(k), ε(λ) и ε(S) и их свойства. Отображения k→l→S→E на комплексной плоскости. Многолистные римановы поверхности. Разложения обратных функций в ряды Лорана и Фурье и их сходимость.

17. Аналитические свойства функций Блоха для случая комплексных энергий.

18. Нормировка блоховских функций для комплексных энергий. Аналитические свойства функций Фk(x,E) и Фk(x,λ). Поведение Фk(x,E) как функции k. Многолистные римановы поверхности. Разложения обратных функций в ряды Лорана и Фурье и их сходимость. Свойства симметрии функций Блоха.

19. Аналитические свойства функций Ванье для случая комплексных энергий.

20. Прямое и обратное преобразование Фурье — определение функций Ванье. Нормировка функций Ванье и их свойства симметрии. Аналитические свойства и асимптотическое поведение функций Ванье. Их пространственная локализация.

21. Дуальное пространство и обратная решетка. Свойства обратной решетки. Ячейка Вигнера—Зейтца. Зоны Бриллюэна. Циклические граничные условия. Подсчет числа состояний. Плотность состояний. Средняя скорость электрона в блоховском состоянии. Энергия и импульс Ферми. Поверхности постоянной энергии и поверхность Ферми.

22. Пустая решетка или модель свободных электронов. Собственные функции и спектр. Концентрация электронного газа (n) — единственный параметр модели. Зависимость всех физических величин от n. Модель желе.

23. Модель почти свободных электронов. Теория возмущений. Поправки к функциям и к энергии. Проблема вырождения на границе зоны Бриллюэна. Теория возмущений для вырожденного уровня. Образование в спектре запрещенной зоны. Щель в двумерном и трехмерном случае. Изменение формы поверхности постоянной энергии при подходе к границе зоны Бриллюэна. Особенности плотности состояний, связанные с границами зоны Бриллюэна. Аналогия с дифракцией Брэгга.

24. Метод сильной связи. Общее выражение для энергии E(k). Приближение взаимодействия только ближайших соседей. Параметры кристаллического поля и интегралы перескока. Зонная структура и плотность состояний для линейной цепочки, квадратной решетки, простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубических решеток. Особые точки в плотности состояний и поверхности постоянной энергии. Метод сильной связи для кристаллов с несколькими атомами в элементарной ячейке, содержащих несколько орбиталей на каждом атоме.

25. Сравнение зонной структуры и плотности состояний для всех трех моделей.

26. Методы расчета. Разложение по плоским волнам (ПВ).

27. Гамильтониан кристалла. Приближенный вид оператора потенциальной энергии.

28. Базис плоских волн — нормировка, ортогональность. Матричные элементы кинетической и потенциальной энергии на базисе плоских волн. Вид разложения кристаллической одноэлектронной функции по ПВ. Основное уравнение метода. Бесконечные матрицы. Условия обрезания. Сходимость. Замечание о нулевой фурье-компоненте. Недостатки метода ПВ.

29. Методы расчета. Разложение по ортогонализованным плоским волнам (ОПВ)

30. Основная идея метода. Метод проекторов на подпространство остовных функций и его ортогональное дополнение. Задача на собственные значения. Разложение по ОПВ. Основное уравнение метода. Явный вид ОПВ. Матричные элемента на базисе ОПВ. Сходимость метода. Замечание об ошибке связанной с неточностью остовных функций.

31. Недостатки метода ОПВ. Переполнение базиса. Способы борьбы с переполнением базиса. Отнесение переполнения к нулевому собственному числу. Полностью оргогонализованные плоские волны (ПОПВ). Ортогонализация Жирардо.

32. Методы расчета. Метод ячеек Зейтца.

33. Основная идея метода. Периодические граничные условия. Приближение сферически симметричных ячеек. Условия сшивания на поверхности ячеек. Недостатки метода.

34. Методы расчета. Разложение по присоединенным плоским волнам (ППВ).

35. Muffin-tin потенциал. Общий вид ППВ. Условия сшивания функций. Вариационный принцип. Эрмитова форма обобщенного функционала. Разложение по ППВ. Задача на собственные значения. Основное уравнение метода. Матричные элементы на базисе ППВ. Сходимость метода. Недостатки метода ППВ.

36. Методы расчета. Метод рассеянных волн или метод функций Грина.

37. Основная идея метода. Функция Грина и ее свойства. Интегральное уравнение. Вариационный принцип. Переход к матричной задаче. Использование Muffin-tin потенциала. Разложение по сферическим гармоникам функции Грина. Основное уравнение метода. Запись его через фазы рассеяния. Сходимость метода. Недостатки метода.

38. Методы расчета. Метод псевдопотенциала.

39. Основная идея метода. Понятие псевдопотенциала. Псевдопотенциал ОПВ и ППВ. Псевдоволновая функция и интегральная форма псевдопотенциала. Проекционная техника. Обобщенный эрмитовский псевдопотенциал. Задача на собственные значения. Основное уравнение метода. Однопараметрические псевдопотенциалы Филипса— Клеймана. Теорема о компенсации. Модельные псевдопотенциалы Абаренкова—Хейне.

40. Задача Штурма—Лиувиля. Исключение основного состояния из спектра. Преобразование потенциала и собственных функций. Пример прямоугольной потенциальной ямы, кулоновского потенциала и гармонического осциллятора.

41. Общие приемы: разложение по базису и сведение к матричной задаче. Процедура самосогласования. Обратная задача. Отыскание решений по спектру. Матричная задача. Понижение размерности — преобразование Левдина. Проблема неоднозначности получаемых функций.

42. Методы расчета. Метод Хартри—Фока. Полуэмпирические методы.

43. Многоэлектронная волновая функция. Антисимметрия. Детерминант Слейтера. Разделение переменных — произведение одноэлектронных базисных функций. Выбор базиса. Спин-орбитали. Ортогональность. Разложение по детерминантам Слейтера. Однодетерминантное приближение. Проблема построения многоэлектронных собственных функций оператора S²_tot.

44. Оператор Гамильтона кристалла. Ядерная подсистема. Адиабатическое приближение. Энергия Маделунга. Электронная подсистема — одно- и двухчастичные операторы. Их матричные элементы на детерминантах Слейтера. Кулоновские и обменные интегралы.

45. Функционал энергии. Вариационный принцип. Неопределенные множители Лагранжа. Ортогональность. Система нелинейных, интегро-дифференциальных уравнений Хартри—Фока. Ограниченный, неограниченный и спин расширенный варианты метода Хартри—Фока. Описание возбужденных состояний. Проблемы реализации метода для кристаллов.

46. Полуэмпирические схемы на базе метода Хартри—Фока.

47. Разложение по базису. Одноэлектронная матрица плотности. Система уравнений Хартри—Фока—Рутана (ХФР). Оценка одно, двух, трех и четырех центровых интегралов. Основная идея — NDO приближение. Уравнения ХФР в рамках CNDO, INDO и MINDO приближений. Процедура спиновой поляризации. Магнитные состояния. Диэлектрическая щель — поправка на поляризацию.

48. Заселение энергетических зон. Типы твердых тел.

49. Подсчет числа электронов и числа состояний в зоне Бриллюэна. Величина запрещенной зоны для металлов, полупроводников и диэлектриков. Прямая и непрямая диэлектрическая щель. Типы химических связей в кристаллах. ЛКАО приближение. Гибридизация. Заряды на атомах.

50. Статистика Ферми для электронов.

51. Электроны в металлах. Функция распределения Ферми—Дирака. Нормировка на число электронов. Положение уровня Ферми для T > 0.

52. Электроны в полупроводниках и диэлектриках. Электроны и дырки. Эффективная масса. Заселение электронных и дырочных состояний при T > 0. Энергия активации. Положение уровня Ферми для полупроводников для T > 0 — зависимость от эффективной массы.

53. Электронная теплоемкость кристалла.

54. Электронная и фононная составляющие теплоемкости. Средняя энергия на один электрон при T > 0. Электронная теплоемкость металла. Сравнение с классическим идеальным газом.

55. Статическая магнитная восприимчивость.

56. Кристалл в магнитном поле. Диамагнетизм атомных остовов. Парамагнетизм Ван-Влека. Парамагнетизм Паули и диамагнетизм Ландау. Парамагнетизм невзаимодействующих локализованных магнитных моментов. Функция Бриллюэна. Закон Кюри. Молекулярное поле Вейса. Антиферромагнетизм и ферромагнетизм.

57. Движение электронного волнового пакета в кристалле.

58. Волновой пакет из блоховских состояний. Групповая скорость. Ускорение электрона внешним однородным полем. Отражение на границах зоны Бриллюэна. Длина свободного пробега. Тензор обратной массы. Электронные и дырочные токи.

59. Кинетическое уравнение Больцмана.

60. Изменение функции распределения во времени. Диффузия. Внешние поля и градиенты. Процессы рассеяния. Микроскопическая обратимость. Условие стационарности состояния. Уравнение Больцмана.

61. Свойства четности функции распределения по скорости. Функция линейного отклика. Линеаризованное уравнение Больцмана.

62. Оператор столкновений. Приближение времени релаксации. Экспоненциальный закон затухания. Линеаризованное уравнение Больцмана в приближении времени релаксации.

63. Электропроводность и теплопроводность.

64. Вид функции линейного отклика в присутствии электрического поля. Ток частиц. Тензор электропроводности. Основное уравнение электропроводности. Длина свободного пробега. Изменение распределения в k-пространстве. Случай изотропной эффективной массы. Подвижность носителей.

65. Вид функции линейного отклика в присутствии электрического поля и градиента температуры. Обобщенная ЭДС. Ток частиц и ток тепла. Термоэлектрический эффект. Обобщенные уравнения переноса. Тензоры кинетических коэффициентов. Соотношения Онзагера. Внутренняя связь между кинетическими коэффициентами. Их связь с тензором электропроводности.

66. Условие разомкнутой цепи. Ток тепла. Тензор теплопроводности. Выражение его через кинетические коэффициенты. Закон Видемана—Франца. Изменение распределения в k-пространстве. Горячие и холодные электроны. Отличие от электропроводности.

67. Термоэлектрические эффекты. Эффект Зеебека, Пельтье и Томсона.

68. Гальваномагнитные эффекты.

69. Общий вид функции линейного отклика в присутствии магнитного поля. Функция линейного отклика в приближении сферической по верхности Ферми. Продольные и поперечные эффекты. Эффект Холла. Магнетосопротивление.

70. Время релаксации в кристаллах.

71. Классификация процессов рассеяния. Рассеяние на заряженных примесях. Золотое правило Ферми. Упругое рассеяние. Время релаксации для упругого изотропного рассеяния. Дифференциальное и полное сечение рассеяния.

72. Экранирование поля примеси электронным газом. Длина экранирования для потенциала Юкавы. Осцилляции электронной плотности. Правило сумм Фриделя. Удельное сопротивление в борновском приближении и в приближении парциальных волн.

73. Рассеяние на фононах. Оператор электрон-фононного взаимодействия во вторичном квантовании. Модель жестких ионов. Нормальные процессы и процессы переброса. Вид оператора столкновений в кинетическом уравнении Больцмана. Интегрирование в k-пространстве. Сфера Дебая. Фононное сопротивление металла при низких и высоких температурах (закон Блоха—Грюнайзена).
Литература

1. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике: В 2 т. Т.1. М.: Мир, 1974.

2. Павинский П. П. Введение в теорию твердого тела. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1979.

3. Эварестов Р. А. Квантовохимические методы в теории твердого тела. Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1982.

4. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988.

5. Маделунг О. Теория твердого тела. М.: Наука, 1980.

6. Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел: В 2 т. М.: Мир, 1983.

7. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

8. Вейсс Р. Физика твердого тела. М.: Атомиздат, 1968.

9. Блатт Ф. Дж. Теория подвижности электронов в твердых телах. М.: Физматлит, 1963.

10. Абрикосов А. А. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука, 1972.

11. Таут М., Мертиг И., Реннерт П. и др. Достижения электронной теории металлов: Сборник статей: В 2 т. / Под ред. П. Цише и Г. Леманна. М.: Мир, 1984.

12. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. М.: Мир, 1979.

13. Рапопорт Л. П., Зон Б. А., Манаков Н. Л. Теория многофотонных процессов. М.: Атомиздат, 1978.

14. Делоне Н. Б., Крайнов В. П. Атом в сильном световом поле. М.: Атомиздат, 1978; М.: Энергоатомиздат, 1984.

15. Крайнов В. П., Смирнов Б. М. Излучательные процессы в атомной физике. М.: Высш. шк., 1983.

16. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981.

17. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981.

18. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз, 1960.

19. Лабзовский Л. Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессы излучения. М.: Наука, 1996.