Рабочая программа учебной дисциплины ен. Р «Функциональный анализ»
жүктеу/скачать 414.8 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Контрольная работа №8
Контрольная работа №7Контрольные вопросы и задачи 1. Принцип сжимающих отображений. 2. Принцип Шаудера. Примеры. 3. Дифференцирование нелинейных операторов. 4. Производная оператора в конечномерном пространстве. 5. Формула конечных приращений Лагранжа. 6. Определение условия Липшица. 7. Степенные операторные ряды. 8. Неподвижные точки нелинейного оператора. 9. Линейные системы дифференциальных уравнений. 10. Последовательности, сходящиеся к неподвижной точке.
1. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. 2. Аппроксимация, устойчивость и сходимость. 3. Простейшие разностные схемы. 4. Итерационный метод Ньютона. 5. Задача Коши для дифференциального уравнения. 6. Применение схемы Галеркина. 7. Разностные схемы в банаховых пространств. 8. Метод малого параметра. 9. Априорные оценки решений. 10. Неоднородная задача Коши.
Каждому из студентов на 2 академических часа дается 10 из предложенных 200 задач, выбираемых случайным образом. За правильное решение 75% задач ставится оценка 2 (высшая аттестационная), за решение более 50% задач – ставится 1, менее 50% - 0. 4 вопросы и задачи для экзамена и зачета 4.1 Контрольные вопросы 1. Линейные пространства, определения, примеры. 2. Нормированные пространства, определения, примеры. 3. Сходимость в нормированных пространствах. 4. Критерий Коши для последовательностей. 5. Теорема Больцано-Вейерштрасса. 6. Линейная зависимость и независимость. 7. Линейные многообразия и подпространства. 8. Размерность линейного пространства. 9. Пространство непрерывных функций. 10. Изоморфизм линейных пространств. 11. Банаховы пространства, определения, примеры. 12. Пространства со скалярным произведением, определения, примеры. 13. Гильбертовы пространства, определения, примеры. 14. Пополнение пространств со скалярным произведением. 15. Пространства интегрируемых функций. 16. Пространства Соболева, определения, примеры. 17. Ортонормированные системы. Ряд Фурье. 18. Фундаментальны последовательности. Сепарабельность. 19. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. 20. Расстояние от точки до подпространства. 21. Линейные операторы, определения, примеры. 22. Замкнутость и ограниченность линейных операторов. 23. Пространства линейных операторов, определения, примеры. 24. Обратные операторы, определения, примеры. 25. Интегральные операторы в пространствах функций. 26. Последовательности линейных операторов. Сходимость. 27. Операторы в пространствах дифференцируемых функций. 28. Равномерная и сильная сходимость линейных операторов. 29. Ряды линейных операторов. 30. График оператора, замкнутые операторы. 31. Сопряженные пространства. 32. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. 33. Сопряженные и самосопряженные операторы. 34. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах. 35. Линейный ограниченный функционал и его норма. 36. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов. 37. Теорема Рисса о виде функционала в гильбертовом пространстве. 38. Продолжение линейного функционала. 39. Слабая сходимость в нормированных пространствах. 40. Оператор ортогонального проектирования. 41. Компактные множества в нормированных пространствах. 42. Компактность и ограниченность. 43. Критерий компактности Хаусдорфа. 44. Компактность и конечномерность. 45. Линейные вполне непрерывные операторы. 46. Теорема Арцела. Слабая компактность. 47. Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость. 48. Нормально разрешимые операторы. 49. Теорема Шаудера и примеры вполне непрерывных операторов. 50. Альтернатива Фредгольма. 51. Собственные значения линейных операторов. 52. Собственные векторы линейных операторов. 53. Резольвентное множество и спектр линейных операторов. 54. Спектральное разложение самосопряженных операторов. 55. Линейная независимость собственных векторов. 56. Собственные векторы в конечномерных пространствах. 57. Собственные значения вполне непрерывного оператора. 58. Собственные значения самосопряженного оператора. 59. Спектральный радиус линейного оператора. 60. Теорема Гильберта – Шмидта о разложении. 61. Принцип сжимающих отображений. 62. Принцип Шаудера. Примеры. 63. Дифференцирование нелинейных операторов. 64. Производная оператора в конечномерном пространстве. 65. Формула конечных приращений Лагранжа. 66. Определение условия Липшица. 67. Степенные операторные ряды. 68. Неподвижные точки нелинейного оператора. 69. Линейные системы дифференциальных уравнений. 70. Последовательности, сходящиеся к неподвижной точке. 71. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. 72. Аппроксимация, устойчивость и сходимость. 73. Простейшие разностные схемы. 74. Итерационный метод Ньютона. 75. Задача Коши для дифференциального уравнения. 76. Применение схемы Галеркина. 77. Разностные схемы в банаховых пространств. 78. Метод малого параметра. 79. Априорные оценки решений. 80. Неоднородная задача Коши. 5 глоссарий для изучения дисциплины «Функциональный анализ» студентами специальности 010501 «Прикладная математика и информатика» Абсолютная сходимость ряда – сходимость ряда составленного из абсолютных величин (или норм) элементов. Априорная оценка – оценка решения дифференциального уравнения, которое еще не найдено. Базис линейного пространства – максимальная система линейно независимых векторов. Банахово пространство – пространство, в котором все фундаментальные последовательности сходятся. Бесконечномерное линейное пространство – для любого множества линейно независимых элементов найдется еще один, независимый от имеющихся. Взаимно однозначный оператор – каждому образу операора соответствует единственный прообраз и наоборот. Вполне непрерывный оператор – переводит замкнутый шар в компактное множество. Гильбертово пространство – полное нормированное пространство со скалярным произведением. График оператора – графиком оператора F называется совокупность пар {x, F(x)} на всей области определения. Дифференциальный оператор – оператор, содержащий операцию дифференцирования. Евклидово пространство – пространство со скалярным произведением. Задача Дирихле – краевая задача для уравнения Пуассона. Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями. Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Замкнутый оператор – если его график является замкнутым множеством. Замыкание множества – присоединение вех предельных точек, не принадлежащих множеству. Изометрия нормированных пространств – изоморфизм двух пространств с сохранением норм. Изоморфизм – взаимно – однозначное соответствие с сохранением операций. Интеграл Лебега – интеграл, как предел интегральных сумм, образованных разбиением области изменения функции. Интеграл Римана – интеграл, как предел интегральных сумм, образованных разбиением области определения функции. Интегральный оператор – оператор, определяемый интегралом, в котором выделено ядро, как функция двух переменных. Интерполяционный сплайн – приближение с помощью кусочно – полиномиальной функции, обладающей определенной гладкостью. Компактное множество – множество, в котором из ограниченного множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Конечная ε – сеть – конечное множество элементов, в сколь угодно малых окрестностях которых содержатся все элементы множества. Конечномерное линейное пространство – пространство с конечным базисом. Координаты вектора – числовые коэффициенты при разложении вектора по базису. Коэффициенты Фурье – числовые коэффициенты ряда Фурье в гильбертовом пространстве. Критерий компактности Хаусдорфа – множество компактно тогда и только тогда, если существует конечная ε – сеть. Линейная зависимость элементов – любой из элементов можно выразить линейной комбинацией через остальные. Линейная комбинация – сумма элементов, умноженных на скаляры. Линейное многообразие – множество всех линейных комбинаций некоторых элементов. Линейное подпространство – подмножество линейного пространства, обладающее всеми его свойствами. Линейное пространство – множество элементов, на которых определены операции сложения и умножения на скаляр и удовлетворяющее некоторым аксиомам. Линейный оператор – оператор, определенный на линейном многообразии, который линейной комбинации прообразов ставит в соответствие линейную комбинацию образов. Линейный функционал – линейный оператор, областью значений которого является вещественные числа. Матрица Якоби – матрица-производная линейного отображения. Метрическое пространство – пространство, в котором определено расстояние между элементами. Наилучший элемент приближения – элемент, расстояние от которого до некоторого многообразия минимально. Неограниченный линейный оператор – существует последовательность элементов, на которых последовательность значений оператор стремится к бесконечности. Неотрицательный линейный оператор – оператор, порождающий положительно определенную квадратичную форму в гильбертовом пространстве. Неподвижная точка нелинейного оператора – элемент из области определения, значение оператора на котором равно этому элементу. Непрерывность линейного оператора – последовательность значений оператора на сходящейся последовательности из области определения сходится к значению оператора на предельном элементе. Неравенство Бесселя – неравенство, связывающее коэффициенты ряда Фурье элемента и его норму. Неравенство Гельдера – сумма произведения коэффициентов рядов Фурье двух элементов в гильбертовом пространстве не превосходит произведения норм этих элементов. Неравенство Коши – Буняковского – модуль скалярного произведения двух элементов в евклидовом пространстве не больше произведения норм этих элементов. Неравенство Минковского – неравенство «треугольника» для последовательностей и интегрируемых функции. Нигде не плотное множество – для каждого элемента существует окрестность, в которой нет других элементов этого множества. Норма вектора – функционал, удовлетворяющий свойствам однородности, неотрицательности и неравенству треугольника. Норма линейного оператора – максимальное значение нормы значения оператора на единичной сфере. Нормированное пространство – пространство, в котором введена норма. Область значений оператора – множество, в котором оператор принимает значения. Область определения оператора – множество, на котором задан оператор. Обратный оператор – оператор, обратный к данному. Ограниченность множества – существует шар конечного радиуса, в котором содержится данное множество. Ограниченность линейного оператора – ограниченное множество переводит в ограниченное. Ортогональная система элементов – множество попарно ортогональных элементов. Ортогональное дополнение – совокупность всех элементов, ортогональных к данному линейному многообразию. Ортогональное разложение – разложение гильбертова пространства на ортогональные подпространства. Ортогональный базис – базис, состоящий из попарно ортогональных элементов. Открытое множество – множество, каждый элемент которого является внутренним. Плотное линейное многообразие – линейное многообразие, замыкание которого совпадает со всем пространством. Полная ортогональная система – система попарно ортогональных элементов, линейными комбинациями которых можно представить любой элемент гильбертова пространства. Полное линейное пространство – пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел. Пополнение пространства – добавление идеальных элементов для того, чтобы все фундаментальные последовательности сходились в этом пополненном пространстве. Предельная точка – точка, в любой окрестности которой содержится бесконечное множество элементов последовательности. Принцип вложенных шаров – вложенные шары, радиусы которых стремятся к нулю, имеют единственную общую точку. Принцип равномерной ограниченности – если последовательность операторов ограничена на всех элементах пространства, то она ограничена по норме. Принцип Шаудера – о неподвижной точке вполне непрерывного оператора. Произведение операторов – оператор, определенный как последовательное действие двух данных операторов. Пространство Лебега – пространство функций, интегрируемых по Лебегу. Пространство линейных операторов – множество линейных операторов, на котором определены операции сложения и умножения на число, а также норма. Прямая сумма – совокупность пар элементов из разных множеств. Равенство параллелограмма – сумма квадратов суммы и разности двух элементов в гильбертовом пространстве равна удвоенной сумме квадратов этих элементов. Равенство Парсеваля – Стеклова – норма элемента гильбертова пространства равна сумме квадратов коэффициентов Фурье этого элемента. Расстояние от точки до множества – минимальное значение нормы разности между данной точкой и элементами множества. Расширение линейного оператора – определение оператора на множестве, содержащем в себе данную область определения. Резольвента линейного оператора – множество регулярных точек оператора. Ряд Фурье – разложение элементов гильбертова пространства по ортонормированной системе. Самосопряженный оператор – оператор, совпадающий со своим сопряженным. Сепарабельное пространство – пространство, в котором существует счетное всюду плотное множество. Сжимающий оператор – оператор, у которого норма разности образов меньше нормы разности прообразов. Сильная сходимость – сходимость по норме пространства. Скалярное произведение – функционал, который удовлетворяет свойствам коммутативности, однородности, аддитивности. Слабая компактность – из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность. Слабая сходимость – сходимость последовательности на линейных ограниченных функционалах. Собственное значение – число, на которое умножается соответствующий собственный вектор под действием оператора. Собственный вектор – вектор, который под действием оператора только умножается на число. Сопряженное пространство – пространство ограниченных линейных функционалов, определенных на заданном пространстве. Сопряженный оператор – оператор, действующий в сопряженных пространствах. Спектр линейного оператора – дополнение к резольвентному множеству. Сходимость почти всюду – последовательность функций сходится во всех точках, за исключением множества меры нуль. Теорема Арцела – критерий компактности множества непрерывных функций. Теорема Банаха об обратном операторе – ограниченный в банаховом пространстве взаимно однозначный оператор имеет ограниченный обратный. Теорема Банаха о замкнутом графике – замкнутый оператор в банаховом пространстве ограничен. Теорема Банаха – Штейнгауза – о сильной сходимости последовательностей операторов. Теорема Хана – Банаха – о продолжении линейного непрерывного функционала. Теорема Рисса – о виде линейного функционала в гильбертовыом пространстве. Теория Рисса – Шаудера – взаимосвязь между решениями однородного операторного уравнения, неоднородного и сопряженного. Уравнение Лапласа – сумма вторых производных неизвестной функции по всем переменным равна нулю. Условие Гельдера – верхняя грань отношения приращения функции к приращению аргумента ограничена на всей области определения функции. Условие Липшица – норма разности значений операторов в некоторых двух точках пропорциональна норме разности между этими точками. Фактор – пространство – пространство, элементами которого являются классы эквивалентности. Фундаментальная последовательность – последовательность, бесконечная часть элементов которой принадлежит сколь угодно малой окрестности некоторой точки этой последовательности. Функция от оператора – функция, аргументом которой является оператор. Эквивалентные нормы – если последовательность сходится по одной норме, то сходится и по другой. Экстремум функционала – минимальное или максимальное значение функционала. жүктеу/скачать 414.8 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|